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面面平行的判定定理


2.2.2

复习回顾:
1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线与平面 平行的方法呢? (1)定义法; (2)直线与平面平行的判定定理。

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行.
a

?

b

? a ?? ? ? b ?

? ? a // ? ? a // b ? ?
?

线线平行

线面平行

2. 平面与平面有几种位置关系?分别是什么? (1)平行 (2)相交

?//?

? ?? ? a

怎样判定平面与平面平行呢?

情景引入:
(1)三角板的一条边所在直线与桌面平行, 这个三角板所在平面与桌面平行吗? (2)三角板的两条边所在直线分别与桌面平 行,情况又如何呢? 当三角板的两条边所在直线分别与桌面平行时, 这个三角板所在平面与桌面平行。

(1)平面?内有一条直线与 平面?平行,?,?平行吗?

(1)中的平面α,β不一定平行。如图, 借助长方体模型,平面ABCD中直线AD平行 平面BCC’B’ ,但平面 ABCD与平面BCC’B’ 不 平行。

(2)平面?内有两条直线与平 面?平行,?,?平行吗?
(2)分两种情况讨论:
Q P

如果平面β内的两条直线是平行直线,平面 α与平面β不一定平行。如图,AD∥PQ, AD∥平面BCC’B’,PQ∥平面BCC’B’,但平面 ABCD与平面BCC’B’不平行。

如果平面β内的两条直线是相交的直线,两 个平面是不是一定平行?

如图,AC与BD相交,AC∥平面A’B’ C’D’ , BD∥平面A’B’C’D’,在平面A’B’ C’D’上可以找 到两个相交直线A’C’和B’D’与AC和BD分别平 行,显然平面ABCD与平面A’B’ C’D’平行。
两条相交直线才是关键

总结归纳:
两个平面平行的判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面,那么这两个平面平行

图形表示:
?

b

P

a

? 符号表示:
线面平行

线不在多 重在相交

a??,b??,a?b=P,a???,b????????

面面平行

思考:由直线与平面平行的判定定 理,“a∥β,b∥β” ,又可用什么 条件替代?由此可得什么推论? 推论 如果一个 平面内有两条 相交直线分别 a b 平行于另一个 α 平面内的两条 直线,那么这 β 两个平面平行.

小试:
判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)若平面 ? 内的两条直线分别与平面? 平行,则? 与 ? 平行; × (2)若平面? 内有无数条直线分别与平面? 平行,则 ?与 ? 平行;× (3)平行于同一直线的两个平面平行; × (4)两个平面分别经过两条平行直线,这两个平面平 行; × (5)过已知平面外一条直线,必能作出与已知平面平 行的平面.×

例1 、已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求证:平 面AB1D1//平面C1BD 证明: ∵ABCD-A1B1C1D1为正方体, ∴D1C1∥AB,D1C1=AB, ∴D1C1BA是平行四边形, ∴D1A∥C1B, 又D1A ? 平面C1BD, C1B ? 平面C1BD. 由直线与平面平行的判定,可知 D1A∥平面C1BD , 同理 D1B1∥平面C1BD,又 D1A∩D1B1=D1, 所以,平面AB1D1∥平面C1BD。

变式、正方体ABCD——A1B1 C1D1中,E、F 、 G 分别是棱BC、C1D1 、 B1C1的中点。求证:面 EFG//平面BDD1B1.
D1 F

分析:由FG∥B1D1 易得FG∥平面BDD1B1 同理GE ∥平面BDD1B1

G
A1 B1

C1

D E A B

C

∵FG∩GE=G
故得面EFG//平面BDD1B1 线线平行 线面平行

面面平行

方法总结

第一步:在一个平面内找出两条相交直线;

第二步:证明两条相交直线分别平行于另一个平 面。
第三步:利用判定定理得出结论。

课堂练习
已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P,Q, R,分别为 A1A,AB,AD的中点 。 求证:平面PQR∥平面CB1D1.

分析:连结A1B,
PQ∥ A1B

A1B ∥CD1
故PQ∥CD1

P R Q

同理可得,……

小结:
1.证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义,(两个平面没有公共点) (2)面面平行的判定定理,(一个平面内两条相交直线与另一 个平面分别平行) (3)面面平行判定定理的推论,(一个平面的两条相交直线与 另一个平面的两条直线平行) 2.面面平行判定定理的应用:要证面面平行,需要证线面 平行,而要证线面平行,一定要证线线平行。 在立体几何中,证明线线平行,有时需要添加辅助线,但 是做题要按照先找后作的原则,找不到两条相交直线的时 候再作,并且辅助线一般通过找三角形的中位线,或者按 平行四边形的平行关系来完成。


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