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广东省深圳市高级中学2014届高三第一次月考数学文试题 Word版含答案


深圳高级中学 2014 届高三第一次月考试题

数 学(文科)
2013。09 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x x ? 1 ? 0} , B ? {x x ? 3 ? 0} ,则集合 ? CU A? ? B ? ?

A. {x ? 1 ? x ? 3}
2

?

B. {x ? 1 ? x ? 3}

C. {x x ? ?1}

D. {x x ? 3} )

2.如果函数 f ( x) ? x ? ax ? 3在区间(??, 4] 上单调递减,则实数 a 满足的条件是( A. a ? 8 B. a ? 8 C. a ? 4 D. a ? ?4

3.设 S n 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? ( A.3 B.4 C.5 D.6 (



4.在△ ABC 中,若 ?A ? 60? , ?B ? 45? , BC ? 3 2 ,则 AC ? A. 4 3
a b



B. 2 3

C.

3

D.

3 2
( )

5. 设 2 ? 5 ? m ,且 A. 10

1 1 ? ? 2 ,则 m ? a b
C.20 D.100

B.10

6.已知函数 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

3? ? ? ( x ? R ) ,下面结论错误的是 .. 2 ?
B.函数 f (x) 是偶函数

A.函数 f (x) 的最小正周期为 ? C.函数 f (x) 的图象关于直线 x ?

? 对称 4

D.函数 f (x) 在区间 ?0,

? ?? 上是增函数 ? 2? ?
( )

7.直线 ax ? y ? 2a ? 0 与圆 x ? y ? 9 的位置关系是
2 2

A.相离

B .相切

C.相交

D.不确定

8. 给出如下三个命题: ①若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ②命题“若 x ? 2 且 y ? 3 ,则 x ? y ? 5 ”的否命题为“若 x ? 2 且 y ? 3 ,则 x ? y ? 5 ”; ③在 ?ABC 中,“ A ? 45? ”是“ sin A ? A. 3 B. 2

2 ”的充要条件。其中不正确的命题的个数是( 2
C. 1 D. 0

)

9.设直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln x 的图像分别交于点 M , N ,则当 | MN | 达到最小时 t 的
2

值为 ( )ks5u A.1 B.

1 2

C.

5 2

D.

2 2

10.定义:若函数 f (x) 的图像经过变换 T 后所得图像对应函数的值域与 f (x) 的值域相同,则称变 换 T 是 f (x) 的同值变换.下面给出四个函数及其对应的变换 T ,其中 T 不属于 f (x) 的同值变 换的是 A. f ( x) ? ( x ? 1) , T 将函数 f (x) 的图像关于 y 轴对称
2

B. f ( x) ? 2

x ?1

? 1, T 将函数 f (x) 的图像关于 x 轴对称

C. f ( x) ? 2 x ? 3 , T 将函数 f (x) 的图像关于点 ? ?1,1? 对称 D. f ( x) ? sin ? x ?

? ?

??

? , T 将函数 f (x) 的图像关于点 ? ?1, 0 ? 对称 3?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分, 11.若数列 an ? 的通项公式是 an ? (??) ? (?n ? ?) ,则 a? ? a? ? L a?? ? 12.若方程 2ax2 ? 1 ? 0 在 (0,1) 内恰有一解,则实数 a 的取值范围是 .

?

.

13.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线方程是 y ? 3 x ,它的一个焦点与抛物线 a 2 b2


y 2 ? 16 x 的焦点相同,则双曲线的方程为

14.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?),( A, ?, ? 是常数,A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示, f (0) ? ____ 则

第14题图

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 f (? ) ?

x x x 1 ? sin cos ? . 2 2 2 2

3 2 ,求 sin 2? 的值. 10

16. (本小题满分 13 分)在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边, 已知 m ? (cos

C C C C 1 , sin ) , n ? (cos ,? sin ) ,且 m ? n ? . 2 2 2 2 2
3 3 11 , ?ABC 的面积 S ? ,求边 c 的值. 2 2

(1) 求角 C ;(2) 若 a ? b ?

17. (本小题满分 13 分)如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A。 (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程。

ks5u 18. (本小题满分 14 分)设数列 ? an ?
*



?bn ? 满足 a1 ? b1 ? 6, a2 ? b2 ? 4, a3 ? b3 ? 3
*

,且数

列 {an ?1 ? an }( n ? N ) 是等差数列,数列 {bn ? 2}( n ? N ) 是等比数列。 (1)求数列

?a n ?和 ?bn ? 的通项公式;
*

(2)是否存在 k ? N ,使 a k ? bk ? ? 0, ? ,若存在,求出 k ,若不存在,说明理由。

? ?

1? 2?

19. (本小题满分 14 分)设 f ?x ? ?

1 3 x ? mx 2 ? nx . 3

(1)如果 g ?x ? ? f ??x ? ? 2 x ? 3 在 x ? ?2 处取得最小值 ? 5 ,求 f ? x ? 的解析式; (2)如果 m ? n ? 10?m, n ? N ? ? , f ? x ? 的单调递减区间的长度是正整数,试求 m 和 n 的值.(注:区间 ?a, b ? 的长度为 b ? a )

.20.(本小题满分 14 分)设 a ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? ax . (1)讨论函数 f ( x) 的单调区间和极值; ( 2 ) 已 知 x1 ? 明: x2 ? e 2 .
3

e (e ? 2.71828L ) 和 x2 是 函 数 f ( x) 的 两 个 不 同 的 零 点 , 求 a 的 值 并 证

2014 届高三第一次月考试题

数 学(文科)答案
2013。09 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x x ? 1 ? 0} , B ? {x x ? 3 ? 0} ,则集合 (? A) ? B ? U A. {x ? 1 ? x ? 3}
2

B. {x ? 1 ? x ? 3}

C. {x x ? ?1}

D. {x x ? 3} )

2.如果函数 f ( x) ? x ? ax ? 3在区间(??, 4] 上单调递减,则实数 a 满足的条件是( A. a ? 8 B. a ? 8 C. a ? 4 D. a ? ?4

3.设 S n 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? ( A.3 B.4 C.5 D.6 (



4.在△ ABC 中,若 ?A ? 60? , ?B ? 45? , BC ? 3 2 ,则 AC ? A. 4 3
a b



B. 2 3

C.

3

D.

3 2
( )

5. 设 2 ? 5 ? m ,且 A. 10

1 1 ? ? 2 ,则 m ? a b
C.20 D.100

B.10

6.已知函数 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

3? ? ? ( x ? R ) ,下面结论错误的是 ks5u .. 2 ?
B.函数 f (x) 是偶函数

A.函数 f (x) 的最小正周期为 ? C.函数 f (x) 的图象关于直线 x ?

? 对称 4

D.函数 f (x) 在区间 ?0,

? ?? 上是增函数 ? 2? ?
( )

7.直线 ax ? y ? 2a ? 0 与圆 x ? y ? 9 的位置关系是
2 2

A.相离 8.

B .相切

C.相交

D.不确定

给出如下三个命题: ①若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ②命题“若 x ? 2 且 y ? 3 ,则 x ? y ? 5 ”的否命题为“若 x ? 2 且 y ? 3 ,则 x ? y ? 5 ”; ③在 ?ABC 中,“ A ? 45? ”是“ sin A ? A. 3 B. 2

2 ”的充要条件。其中不正确的命题的个数是( 2
C. 1 D. 0

)

9.设直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln x 的图像分别交于点 M , N ,则当 | MN | 达到最小时 t 的
2

值为 ( ) A.1 B.

1 2

C.

5 2

D.

2 2

10.定义:若函数 f (x) 的图像经过变换 T 后所得图像对应函数的值域与 f (x) 的值域相同,则称变 换 T 是 f (x) 的同值变换.下面给出四个函数及其对应的变换 T ,其中 T 不属于 f (x) 的同值变 换的是 A. f ( x) ? ( x ? 1) , T 将函数 f (x) 的图像关于 y 轴对称
2

B. f ( x) ? 2

x ?1

? 1, T 将函数 f (x) 的图像关于 x 轴对称

C. f ( x) ? 2 x ? 3 , T 将函数 f (x) 的图像关于点 ? ?1,1? 对称 D. f ( x) ? sin ? x ?

? ?

??

? , T 将函数 f (x) 的图像关于点 ? ?1, 0 ? 对称 3?
. ?145 . a?
1 . 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,ks5u 11.若数列 an ? 的通项公式是 an ? (??)g(?n ? ?) ,则 a? ? a? ? L ? a?? ? 12.若方程 2ax2 ? 1 ? 0 在 (0,1) 内恰有一解,则实数 a 的取值范围是

?

13.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线方程是 y ? 3 x ,它的一个焦点与抛物线 a 2 b2 x2 y 2 .【解】 ? ? 1. 4 12

y ? 16 x 的焦点相同,则双曲线的方程为
2

14.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?),( A, ?, ? 是常数,A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示, f (0) ? ____ 则

答案:

6 2

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文 字说明,证明过程或演算步骤. 15 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数

x x x1 c2 o ?s s i ? .c o s n 2 2 2 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域; f (x ) ?
(Ⅱ)若 f (? ) ?

3 2 ,求 s i n 的值. ? 2 10

第9题图

解: (1)由已知,f(x)= cos2

x x x 1 1 1 1 ? sin cos ? ? ( ? cosx) sinx ? 1 ? 2 2 2 2 2 2 2

?

? 2 ,2 ? 2 ? , ? cos(x ? ) 所以 f(x)的最小正周期为 2 ? ,值域为 ?? 2 4 ? 2 2 ? ?

(2)由(1)知,f( ? )= 所以 sin2? ? ?cos(

2 ? 3 2 ? 3 cos(? ? ) ? ,所以 cos( ? ? ? ). 2 4 10 4 5

?
2

4 4 16. (本小题满分 13 分)在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边, C C C C 1 已知 m ? (cos , sin ) , n ? (cos ,? sin ) ,且 m ? n ? . 2 2 2 2 2
(1) 求角 C ;(2) 若 a ? b ? 16. 解:(1) 依题知得 也就是 cosC ? (2) S ?

? 2?) ?cos(? ? ? 2

?

2 ) ? 1 ? 2cos(? ?

?

) 1? ?

18 7 ? 25 25

3 3 11 , ?ABC 的面积 S ? ,求边 c 的值. 2 2
1 2


m?n ?

cos2

1 ? ,又 0 ? C ? ? ,所以 C ? 2 3

C C 1 ? sin 2 ? 2 2 2

??3 分

?????????6 分

1 3 3 3 ab sin C ? ab ,且 S ? ,所以 ab ? 6 2 4 2
2 2 2 2 2

?????8 分 ks5u
2

49 7 ? 11 ? 又 c ? a ? b ? 2ab cos C ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab ? ? ? ? 3 ? 6 ? 得c ? . 4 2 ?2?
2

17. (本小题满分 13 分)如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A。 (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程。 17.本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力, 考查函数与方程思想、数形结合思想,满分 12 分。 解:(I)由 ?

? y ? x ? b,
2 ?x ? 4 y

得x 2 ? 4 x ? 4b ? 0 ,(*)
2

因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 ? ? (?4) ? 4 ? (?4b) ? 0, 解得 b=-1。 (II)由(I)可知 b ? ?1, 故方程(*)即为x ? 4 x ? 4 ? 0 ,
2

解得 x=2,代入 x ? 4 y, 得y ? 1. 故点 A(2,1),因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,
2

所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y=-1 的距离,即 r ?|1 ? (?1) |? 2,

所以圆 A 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4.
2 2

18. (本小题满分 14 分)设数列 ? an ?
*



?bn ? 满足 a1 ? b1 ? 6, a2 ? b2 ? 4, a3 ? b3 ? 3
*

,且数

列 {an ?1 ? an }( n ? N ) 是等差数列,数列 {bn ? 2}( n ? N ) 是等比数列。 (1)求数列

?a n ?和 ?bn ? 的通项公式;
*

(2)是否存在 k ? N ,使 a k ? bk ? ? 0, ? ,若存在,求出 k ,若不存在,说明理由。

? ?

1? 2?

a 解: 由题意得: n ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? (an ? an ?1 ) ? 6 ? (?2) ? (?1) ? 0 ? ? ? (n ? 4) (1)

? 6?

?(?2) ? (n ? 4)?(n ? 1) = n 2 ? 7n ? 18
2
2



?3 分

由已知 b1 ? 2 ? 4, b2 ? 2 ? 2 得公比 q ?

1 1 1 bn ? 2 ? (b1 ? 2)( ) n ?1 ? 4 ? ( ) n ?1 , 2 2 2

1 bn ? 2 ? 8 ? ( ) n 2

?6 分

k k ?1 2 7 ? ? ? 1 ? ? 1 ?? 7 ? 2 49 ? (2) f (k ) ? a k ? bk ? ? k ? k ? 9 ? ? ? 2 ? 8 ? ? ? ? ? ?? k ? ? ? ? ? 8 ? ? 1 ? ? 7 , ? ? 2 ?2 ? ? ? 2 ? ? 2 ?? 2 ? 4 ? ?2? ? ? ? ?

∴当 k ? 4 时, f (k ) 是增函数。 又? f (4) ?

1 1 , 所以当 k ? 4 时 f (k ) ? , 2 2
? ? 1? 2?

又? f (1) ? f (2) ? f (3) ? 0 ,所以不存在 k ,使 f (k ) ? ? 0, ? 。 19. (本小题满分 14 分)设 f ?x ? ?

1 3 x ? mx 2 ? nx . 3

(1)如果 g ?x ? ? f ??x ? ? 2 x ? 3 在 x ? ?2 处取得最小值 ? 5 ,求 f ? x ? 的解析式; (2)如果 m ? n ? 10?m, n ? N ? ? , f ? x ? 的单调递减区间的长度是正整数,试求 m 和 n 的值.(注:区间 ?a, b ? 的长度为 b ? a ) .解:(1)已知 f ? x ? ?
'

1 3 x ? mx 2 ? nx ,? f ' ?x ? ? x 2 ? 2mx ? n 3
2

又? g ?x ? ? f ?x ? ? 2 x ? 3 ? x ? ?2m ? 2?x ? n ? 3 在 x ? ?2 处取极值, 则 g ?? 2? ? 2?? 2? ? ?2m ? 2? ? 0 ? m ? 3 ,又在 x ? ?2 处取最小值-5.
'

则 g ?? 2? ? ?? 2? ? ?? 2? ? 4 ? n ? 3 ? ?5 ? n ? 2 ,? f ?x ? ?
2

1 3 x ? 3x 2 ? 2 x 3

(2)要使 f ? x ? ?

1 3 x ? mx 2 ? nx 单调递减,则? f ' ?x ? ? x 2 ? 2mx ? n ? 0 ks5u 3
' 2

又递减区间长度是正整数,所以 f ?x ? ? x ? 2mx ? n ? 0 两根设做 a,b。即有: b-a 为区间长度。又 b ? a ?

?a ? b ?2 ? 4ab ?

4m 2 ? 4n ? 2 m 2 ? n ?m, n ? N ? ?

又 b-a 为正整数,且 m+n<10,所以 m=2,n=3 或, m ? 3, n ? 5 符合。

20.(本小题满分 14 分)设 a ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? ax . (1)讨论函数 f ( x) 的单调区间和极值; ( 2 ) 已 知 x1 ? 明: x2 ? e 2 . 20.(本题满分 14 分) 解:在区间 ? 0, ?? ? 上, f ?( x) ?
3

e( e? 2 . 7 1 8 2 8 和 x2 是 函 数 f ( x) 的 两 个 不 同 的 零 点 , 求 a 的 值 并 证 L )

1 1 ? ax . ?a ? x x

????????2 分

①若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 是区间 ? 0, ?? ? 上的增函数,无极值; ??????4 分 ②若 a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 得: x ?

1 . a

在区间 (0, ) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 是增函数; 在区间 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 是减函数; 在区间 ? 0, ?? ? 上, f ( x) 的极大值为 f ( ) ? ln

1 a

1 a

1 a

1 ? 1 ? ? ln a ? 1 . a
???????7 分

综上所述,①当 a ? 0 时, f ( x) 的递增区间 ? 0, ?? ? ,无极值;

③当 a ? 0 时, f ( x) 的是递增区间 (0, ) ,递减区间是 ( , ??) , 函数 f ( x) 的极大值为 f ( ) ? ? ln a ? 1 . (2) f ( e ) ? 0, ∴

1 a

1 a

1 a

???????9 分

1 1 . ? a e ? 0 ,解得: a ? 2 2 e

???????10 分

∴ f ( x) ? ln x ?

1 2 e

x.

???????11 分

又 Q f (e 2 ) ?

3

5 3 5 3 e 5 e3 ? ? 0 , f (e 2 ) ? ? ? 0 ,? f (e 2 ) ? f (e 2 ) ? 0 2 2 2 2

??13 分

由(1)函数 f ( x) 在 (2 e , ??) 递减,故函数 f ( x) 在区间 (e 2 , e 2 ) 有唯一零点, 因此 x2 ? e 2 .
3

3

5

??????14 分

深圳市高级中学 2014 届第一次月考 数学(理)试题
注:请将答案填在答题卷相应的位置上 ................. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合要求的.

? ? 1 ?x ? ? ? 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x ? ? ? 1? , B ? { x | log 3 x ? 0} ,则 A ? ? CU B ? ? ? ?2? ? ? ?
A.

? x x ? 0?
A. a ? 8

B.

? x x ? 1?
2

C.

? x 0 ? x ? 1?

D.

? x 0 ? x ? 1?

2. 如果函数 f ( x) ? x ? ax ? 3在区间(??, 4] 上单调递减,则实数 a 满足的条件是 B. a ? 8
2

C. a ? 4
2

D. a ? ?4

3. 下列函数中,满足 f ( x ) ? [ f ( x)] 的是 A. f ( x) ? ln x B. f ( x) ?| x ? 1| C. f ( x) ? x
3

D. f ( x) ? e

x

4. 已知函数 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

3? ? ? ( x ? R ) ,下面结论错误的是 .. 2 ?
B.函数 f (x) 是偶函数

A.函数 f (x) 的最小正周期为 ? C.函数 f (x) 的图象关于直线 x ?

? 对称 4

D.函数 f (x) 在区间 ?0,

? ?? 上是增函数 ? 2? ?

5. 给出如下四个命题: ①若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ②命题“若 x ? 2 且 y ? 3 ,则 x ? y ? 5 ”的否命题为“若 x ? 2 且 y ? 3 ,则 x ? y ? 5 ”; ③在 ?ABC 中,“ A ? 45? ”是“ sin A ?

2 ”的充要条件。 2
其中正确的命题的个数是 C. 1 D. 0

④命题 “ ?x0 ? R, e
A. 3

x0

? 0 ”是真命题.
B. 2

6. 定义行列式运算?

? 3 ?a1 a2?=a a -a a ; 将函数 f(x)=? ? ?a3 a4? 1 4 2 3 ?1
)

cos x ? 2π D. 3

sin x?

?的图象向左平移 n(n>0)个单位,

所得图象对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为( π π 5π A. B. C. 6 3 6 7. 函数 y ?

ex ? x 的一段图象是 ex ? x

8. 设函数 f ( x ) ? ?

? x ? [ x], x ? 0 , 其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数,如 [?1.2] =-2, [1.2] =1, ? f ( x ? 1), x ? 0

[1] =1,若直线 y= kx ? k (k ? 0) 与函数 y= f (x) 的图象恰有三个不同的交点,则 k 的取值范围是
A. ( , ]

1 1 4 3

B. (0, ]

1 4

C. [ , ]

1 1 4 3

D. [ , )

1 1 4 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.
9. 已知函数 f ( x) ? ?

?log 3 x, x ? 0 1 ,则 f ( f ( )) ? x 9 ?2 , x ? 0

.

10. 已知 sin(

?
3

? ?) ?

1 5? ,则 cos( ? ? ) ? _____________. 3 6


11. 曲线 y ? 0, y ?

x , y ? x ? 2 所围成的封闭图形的面积为
2

12. 已知函数 f ( x) ? x ? mx ? 1, 若命题“ ?x0 ? 0, f ( x0 ) ? 0 ”为真,则 m 的取值范围是___. 13. 设 2 ? 5 ? m ,且
a b

1 1 ? ? 2 ,则 m ? _________. a b

14. 若关于 x 的方程

x ? kx 2 有四个不同的实数解,则实数 k 的取值范围是 x?4

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? , x ? R 2 2

(I)求函数 f (x) 的最小正周期;

(II)确定函数 f (x) 在 ?0,

? ?? ? 上的单调性并求在此区间上 f (x) 的最小值. ? 2?

16.(本小题满分 12 分) π π 已知函数 f(x)=Asin?3x+φ?,x∈R,A>0,0<φ< ,y=f(x)的部分图象如图所示,P、Q 分别 ? ? 2 为该图象的最高点和最低点,点 P 的坐标为(1,A).

(1)求 f(x)的最小正周期及 φ 的值; 2π (2)若点 R 的坐标为(1,0),∠PRQ= ,求 A 的值. 3 17. (本小题满分 14 分) 已知等比数列 ? an ? 中, a2 ? 32 , a8 ? (Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 Tn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? ??? ? log 2 an ,求 Tn 的最大值及相应的 n 值. 18. (本小题满分 14 分) 设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 满足条件:(1) f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) ;(2)函数在
2

1 , an ?1 ? an . 2

3 y 轴上的截距为 1,且 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? . 2
(1)求 f ( x) 的解析式;

(2)若 x ?[t , t ? 1], f ( x) 的最小值为 h(t ) ,请写出 h(t ) 的表达式; (3)若不等式 ?
f ( x)

1 ? ( )1?tx 在 t ?[?2, 2] 时恒成立,求实数 x 的取值范围.

?

19.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 的图象如图,直线 y ? 0 在原点处 27 与函数图象相切,且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为 . 4 (1)求 f ( x) 的解析式
3 2

(2)若常数 m ? 0 ,求函数 f ( x) 在区间 ? ? m, m ? 上的最大值. 20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x x ? a ? ln x , a? R .

e (Ⅰ)若 a ? 2 ,求函数 f ? x ? 在区间 ?1 ,? 上的最值;
(Ⅱ)若 f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 注: e 是自然对数的底数

深圳市高级中学 2014 届第一次月考 数学(理)答卷
一、选择题:(共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分) 题 号 选 项 二、填空题:(共 6 小题,每小题 5 分,共计 30 分)
9. 10. 11.

1

2

3

4

5

6

7

8

12.

13.

14.

三、解答题:(共 6 小题,共计 80 分,解答写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.

16.

17.

18.

19.

20.

深圳市高级中学 2014 届第一次月考 数学(理)试题 答案
注:请将答案填在答题卷相应的位置上 ................. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合要求的.

? ? 1 ?x ? ? ? 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x ? ? ? 1? , B ? { x | log 3 x ? 0} 则 A ? ? CU B ? ? C ? ?2? ? ? ?
A.

? x x ? 0?
A. a ? 8

B.

? x x ? 1?
2

C.

? x 0 ? x ? 1?

D.

? x 0 ? x ? 1?

2. 如果函数 f ( x) ? x ? ax ? 3在区间(??, 4] 上单调递减,则实数 a 满足的条件是( A ) B. a ? 8
2

C. a ? 4
2

D. a ? ?4

3. 下列函数中,满足 f ( x ) ? [ f ( x)] 的是 C A. f ( x) ? ln x B. f ( x) ?| x ? 1| C. f ( x) ? x
3

D. f ( x) ? e

x

4. 已知函数 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

3? ? ? ( x ? R ) ,下面结论错误的是 C .. 2 ?
B.函数 f (x) 是偶函数

A.函数 f (x) 的最小正周期为 ? C.函数 f (x) 的图象关于直线 x ?

? 对称 4

D.函数 f (x) 在区间 ?0,

? ?? 上是增函数 ? 2? ?

5. 给出如下四个命题: ①若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ②命题“若 x ? 2 且 y ? 3 ,则 x ? y ? 5 ”的否命题为“若 x ? 2 且 y ? 3 ,则 x ? y ? 5 ”; ③在 ?ABC 中,“ A ? 45? ”是“ sin A ?

2 ”的充要条件。 2
其中正确的命题的个数是( D ) C. 1 D. 0

④命题 “ ?x0 ? R, e
A. 3

x0

? 0 ”是真命题.
B. 2

6. 定义行列式运算?

? 3 ?a1 a2?=a a -a a ; 将函数 f(x)=? ? ?a3 a4? 1 4 2 3 ?1
2π D. 3

cos x ?

sin x?

?的图象向左平移 n(n>0)个单位,

所得图象对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为( C) 5π π π A. B. C. 6 3 6 7. 函数 y ?

ex ? x 的一段图象是 B ex ? x

8. 设函数 f ( x) ? ?

? x ? [ x], x ? 0 , 其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数, [?1.2] =-2,1.2] =1,1] =1, 如 [ [ ? f ( x ? 1), x ? 0

若直线 y= kx ? k (k ? 0) 与函数 y= f (x) 的图象恰有三个不同的交点,则 k 的取值范围是 D A. ( , ]

1 1 4 3

B. (0, ]

1 4

C. [ , ]

1 1 4 3

D. [ , )

1 1 4 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.
9. 已知函数 f ( x) ? ?

?log 3 x, x ? 0 1 ,则 f ( f ( )) ? x 9 ?2 , x ? 0

1 4

.

10. 已知 sin(

?
3

??) ?

1 5? 1 ,则 cos( ? ? ) ? ____ ? _________. 3 6 3
10 3 .

11. 曲线 y ? 0, y ?

x , y ? x ? 2 所围成的封闭图形的面积为
2

12. 已知函数 f ( x) ? x ? mx ? 1, 若命题“ ?x0 ? 0, f ( x0 ) ? 0 ”为真,则 m 的取值范围是 ________.(—∞,-2)

1 1 ? ? 2 ,则 m ? _________ 10 a b x 1 14. 若关于 x 的方程 + ? kx 2 有四个不同的实数解,则 k 的取值范围是 ( ,?) x?4 4
13. 设 2 ? 5 ? m ,且
a b

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? , x ? R 2 2

(I)求函数 f (x) 的最小正周期;

(II)确定函数 f (x) 在 ?0,

? ?? ? 上的单调性并求在此区间上 f (x) 的最小值. ? 2?

15 解 则 的最小正周期是 ks5u

,…………3 分

;?????4 分

(2) ? 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

,k ? Z ? k ? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

,k ? Z

? ?? ? 5? ? ? ? 所以函数的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ? ,k ? Z ; 单调递减区间是 ? k? ? , k? ? ,k ? Z .......8分 6 3? 3 6 ? ? ? ?
? ?? ?? ? ? 所以函数f ( x)在 ?0, ? 上单调递增,在 ? , ? 上单调递减???10分 ? 3? ?3 2? 3 ? 1 3 ? ?? 又f (0) ? ? , f ( ) ? ? .所以函数f ( x)在 ?0, ? 上的最小值是 ? ????12分 2 2 2 2 ? 2?
16.(本小题满分 12 分) π π 已知函数 f(x)=Asin?3x+φ?,x∈R,A>0,0<φ< ,y=f(x)的部分图象如图所示,P、Q 分别 ? ? 2 为该图象的最高点和最低点,点 P 的坐标为(1,A).

(1)求 f(x)的最小正周期及 φ 的值; 2π (2)若点 R 的坐标为(1,0),∠PRQ= ,求 A 的值. 3

2π 解析:(1)由题意得 T= =6………………………….2 分 π 3 π π 因为 P(1,A)在 y=Asin?3x+φ?的图象上,所以 sin?3+φ?=1. ? ? ? ? π π 又因为 0<φ< ,所以 φ= …………………………6 分 2 6 (2)设点 Q 的坐标为(x0,-A).

π π 3π 由题意可知 x0+ = ,得 x0=4,所以 Q(4,-A).-----------------------8 分 3 6 2 2π 连接 PQ,在△PRQ 中,∠PRQ= ,由余弦定理得 3 RP2+RQ2-PQ2 A2+9+A2-(9+4A2) 1 cos ∠PRQ= = =- ,解得 A2=3. 2 2RP· RQ 2 2A· 9+A 又 A>0,所以 A= 3.--------------------------------12 分 17. (本小题满分 14 分) 已知等比数列 ? an ? 中, a2 ? 32 , a8 ? (Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 Tn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? ??? ? log 2 an ,求 Tn 的最大值及相应的 n 值.

1 , an ?1 ? an . 2

1 a8 1 1 1.解:(Ⅰ) q ? , an ?1 ? an ,所以: q ? . ? 2 ? a2 32 64 2
6

?(3 分)

a2 32 ?????(5 分) ? ? 64 为首项. 1 q 2 1 n ?1 7?n ? 所以 通项公式为: an ? 64 ? ( ) ? 2 (n ? N ) . ??(7 分) 2
以 a1 ? (Ⅱ)设 bn ? log 2 an ,则 bn ? log 2 2
7?n

?7?n.

???????(8 分) ??????(10 分)

所以 ?bn ? 是首项为 6,公差为 ?1 的等差数列.

Tn ? 6n ?

n(n ? 1) 1 13 1 13 169 . ????(12 分) (?1) = ? n2 ? n ? ? (n ? )2 ? 2 2 2 2 2 8

因为 n 是自然数,所以 n ? 6 或 n ? 7 时, Tn 最大,其最值是 T6 ? T7 ? 21. ??(14 分)

18. (本小题满分 14 分) 设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 满足条件:(1) f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) ;(2)函数在
2

3 y 轴上的截距为 1,且 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? . 2
(1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 x ?[t , t ? 1], f ( x) 的最小值为 h(t ) ,请写出 h(t ) 的表达式; (3)若不等式 ?
f ( x)

1 ? ( )1?tx 在 t ?[?2, 2] 时恒成立,求实数 x 的取值范围.

?

1 2 解: (1) f ( x) ? x ? x ? 1; ??????????4 分 2
5 ?1 2 ? 2 t ? 2t ? 2 , t ? ?2 ? ?1 (2) h(t ) ? ? , ?2 ? t ? ?1 ----------------10 分 ?2 ?1 2 ? 2 t ? t ? , t ? ?1 ?
(3) (??, ?3 ? 5) ? (?3 ? 5, ??) -----------------14 分 19.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 的图象如图,直线 y ? 0 在原点处 27 数图象相切,且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为 . 4 (1) 求 f ( x)
3 2

与 函

(2)若常数 m ? 0 ,求函数 f ( x) 在区间 ? ? m, m ? 上的最大值. 解析:由 f(0)=0 得 c=0,………………….2 分 f′(x)=3x2+2ax+b. 由 f′(0)=0 得 b=0,………………………4 分 ks5u ∴f(x)=x3+ax2=x2(x+a), 27 -a 由∫0 [-f(x)]dx= 得 a=-3. 4 ∴f(x)=x3-3x2………………………………8 分 (2)由(1)知 f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3x( x ? 2) .
2

x, f ?( x), f ( x) 的取值变化情况如下:

x
f ?( x)

(??,0)

0 0

(0, 2)
?

2

(2, ??)

?

0

?

f ( x)

单 递





值 调

单 递 减





值 调

单 递 增

调 增

f (0) ? 0

f (2) ? ?4

又 f (3) ? 0 , ①当 0 ? m ? 3 时, f ( x)max ? f (0) ? 0 ;?????11 分 ②当 m ? 3 时, f ( x) max ? f (m) ? m ? 3m .
3 2

综上可知 f ( x) max ? ? 20.(本小题满分 14 分)

0?m?3 ? 0, . 3 2 ?m ? 3m , m ? 3

?????ks5u????14 分

已知函数 f ? x ? ? x x ? a ? ln x , a? R .

e (Ⅰ)若 a ? 2 ,求函数 f ? x ? 在区间 ?1 ,? 上的最值;
(Ⅱ)若 f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 注: e 是自然对数的底数 . 解:(Ⅰ) 若 a ? 2 ,则 f ( x) ? x x ? 2 ? ln x . 当 x ?[2 ,] 时, f ? x ? ? x 2 ? 2 x ? ln x , e
2 f ? ? x ? ? 2x ? 2 ? 1 ? 2x ? 2x ? 1 ? 0 , x x

e 所以函数 f ? x ? 在 ? 2 ,? 上单调递增; 2 当 x ? ?1, ? 时, f ? x ? ? ? x 2 ? 2 x ? ln x ,
2 f ? ? x ? ? ?2 x ? 2 ? 1 ? ?2 x ? 2 x ? 1 ? 0 . x x

2 所以函数 f ? x ? 在区间 ?1, ? 上单调递减, 2 所以 f ? x ? 在区间 ?1, ? 上有最小值 f ? 2 ? ? ? ln 2 ,又因为 f ?1? ? 1 , f ? e ? ? e ? e ? 2 ? ? 1 ,而 e ? e ? 2 ? ? 1 ? 1 , e 所以 f ? x ? 在区间 ?1 ,? 上有最大值 f ?1? ? 1 ………………………………….5 分 ? (Ⅱ) 函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0 , ? ? .
由 f ? x ? ? 0 ,得 x ? a ? ln x .

x

(*)

1 (ⅰ)当 x ? ? 0 ,? 时, x ? a ? 0 , ln x ? 0 ,

x

不等式(*)恒成立,所以 a? R ;……………………………………….7 分 (ⅱ)当 x ? 1 时,

x ? 现令 h ? x ? ? x ? ln x , 则 h?( x) ? x ? 1 2 ln x , x x
2

①当 a ? 1 时,由 x ? a ? ln x 得 x ? a ? ln x ,即 a ? x ? ln x ,

x

x

? 因为 x ? 1 ,所以 h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 ?1, ? ? 上单调递增,
从而 h ? x ? 的最小值为 1 ,因为 a ? x ? ln x 恒成立等价于 a ? h ? x ?min ,

x

所以 a ? 1 ;………………………………………………….11 ②当 a ? 1 时, x ? a 的最小值为 0 ,而 ln x ? 0 ? x ? 1? ,显然不满足题意……….13 分

x

1 综上可得,满足条件的 a 的取值范围是 ? ??,? . …………………………………14 分


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