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课时作业2 命题及其关系、充分条件与必要条件


课时作业 2
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命题及其关系、充分条件与必要条件
).
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1.设原命题:若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1,则原命题与其逆命题的真假情况是(

A.原命题真,逆命题假 B.原命题假,逆命题真 C.原命题与逆命题均为真命题 D.均为假命题 2 2.已知不等式

(x-1) <1 成立的充分非必要条件是 x∈(1-m,1+m),则实数 m 的取值范围是( ). A.(-∞,1] B.(0,1] C.[0,1] D.(0,1) 3.命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆否命题是( ). A.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 B.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 C.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 D.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 ?1?x-1 4.设 p:log2x<0,q:? ? >1,则 p 是 q 的( ). ?2? A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要 不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知集合 A={x|a-3<x<a+3},B={x|x≤-3 或 x≥5},则 A∩B= ? 的充要条件是( ). A.0<a<2 B.-2<a<2 C.0<a≤2 D.0≤a≤2 6.已知集合 M={x|0<x<1},集合 N={x|-2<x<1},那么“a∈N”是“a∈M”的( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2 7.设集合 M={1,2},N={a },则“a=1”是“N? M”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 x-1 x x 8.已知 p: ≤0,q:4 +2 -m≤0,若 p 是 q 的充分条件,则实数 m 的取值范围是( ).
[来源:学科网]

x

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

A.m>2+ 2 B.m≤2+ 2 C.m≥2 D.m≥6 2 9.命题 “若 m>0,则关于 x 的方程 x +x-m=0 有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命 题的个数为__________. 10.设有如下三个命题: 甲:m∩l=A,m,l ? α,m,l ? β;乙:直线 m,l 中至少有一条与平面β相交;丙:平面α与平面β相交. 当甲成立时,乙是丙的__________条件. 11.已知 p 是 r 的充分不必要条件,q 是 r 的充分条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的必要条件.现有下列 命题: ①s 是 q 的充要条件; ②p 是 q 的充分条件而不是必要条件; ③r 是 q 的必要条件而不是充分条件; ④?p 是 ? s 的必要条件而不是充分条件;⑤r 是 s 的充分条件而不是必要条件.则正确命题的序号是__________. 12.下列各小题中,p 是 q 的充要条件的是__________.(填写正确命题的序号) f?-x? 2 ①p:m<-2,或 m>6;q:y=x +mx+m+3 有两个不同的零点 ②p: =-1;q:y=f(x)是奇函数 f?x? ③p:cos α=cos β;q:tan α=tan β ④p:A∩B=A;q:? UB? ? UA 三、解答题 1 13.给出命题:已知 a,b 为实数,若 a+b=1 则 ab≤ ,判断其逆命题、否命题、逆否命题真假. 4 2 14.求证:关于 x 的一元二次不等式 ax -ax+1>0 对于一切实数 x 都成立的充要条件是 0<a <4.

15.设函数 f(x)=lg(x -x-2)的定义域为集合 A,函数 g(x)=

2

3

x

-1的定义域为集合 B.已知α:x∈A

∩B,β:x 满足 2x+p≤0,且α是β的充分条件,求实数 p 的取值范围.

? ? ? 3 2 16.已知集合 A=?y?y=x - x+1? 2 ? ? ?

?3 ? 2 ,x∈? ,2?,B={x|x+m ≥1},命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,并 ?4 ?

且命题 p 是命题 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围.

参考答案
1.A 解析:可以考虑原命题的逆否命题,即 a,b 都小于 1,则 a+b<2,显然为真. 其逆命题,即 a,b 中至少有一个不小于 1,则 a+b≥2,为假,如 a=1.2,b=0.2,则 a+b<2. 2 2 . D 解析:因为 (x- 1) < 1 ?0 < x < 2 ,故 (1 - m,1 + m) 为 A= {x|0< x < 2} 的真子集即可,结合数轴可得 1-m≥0, ? ? ?1+m≤2, ? ?1-m<1+m, (前两式的等号不能同时成立)? 0<m<1,故选 D.

3.C 解析:由于“x,y 都是偶数”的否定表达是“x,y 不都是偶数” , “x+y 是偶数”的否定表达是“x +y 不是偶数” ,故原命题的逆否命题为“若 x+y 不是偶数,则 x,y 不都是偶数” ,故选 C. 1 ? ?x-1 4.B 解析:由题可知 p:log2x<0,解得 0<x<1;q:? ? >1,解得 x<1.所以 p 是 q 的充分不必要条 ?2? 件,故选 B.5.D
[来源:Z|xx|k.Com]

6.B 解析:因为 M N,所以 a∈M? a∈N,反之,则不成立,故“a∈N” 是“a∈M”的必要而不充分条 件,故选 B. 2 2 7.A 解析: a=1 时,N={1},∴N ? M,∴a=1 是 N? M 的充分条件.若 N? M,则 a =1 或 a =2,∴a =±1 或 a=± 2,∴a=1 不是 N? M 的必要条件.故选 A. x-1 ? x 1?2 1 x x x x 8.D 解析:由 ≤0,得 0<x≤1;由 4 +2 -m≤0,得 m≥4 +2 =?2 + ? - , 2? 4 x ? 1 ? ?2 1 因为 0<x≤1,所以 m≥?2+ ? - =6,即 m≥6. ? 2? 4 9.2 解析:先写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题,逐一判断.或只写出逆命题,判断原命题和逆 命题的真假即可,原命题为真,逆命题为假. 10.充要 解析:由题意乙? 丙,丙? 乙.故当甲成立时,乙是丙的充要条件.11.①②④ 解析:由题意知, ∴s?q,①正确;p? r? s? q,∴ p? q,但 q p,②正确;同理判断③⑤不正确,④正确. 2 2 12.①④解析:若 y=x +mx+m+3 有两个不同的零 点,则 m -4(m+3)>0,解得 m<-2,或 m>6,故①正确; f(-x) 对于②,函数 f(x)=sin x 是奇函数,它不全满足 =-1,故②不满足; f(x) π 对于③,当α=β= 时,cos α=cos β成立,但 tan α=tan β不成立; 2 对于④,∵A∩B=A,∴A? B,? UB? ? UA,反之也成立,故④正确. 1 2 2 2 13.解:a+b=1 ? 1=(a+b) =a +2ab+b ≥4ab? ab≤ .所以原命题为真命题.从而逆否命题亦为真命题; 4 1 若 ab≤ ,显然得不出 a+b=1,故逆命题为假命题,从而否命题亦为假命题. 4
[来源:学,科,网]

14(1)必要性:若 ax -ax+1>0 对 x∈R 恒成立,由二次函数的性质有?

2

? ?a>0, ?Δ<0, ?

即?

? ?a>0, ?a -4a<0, ?
2

∴0<a

<4. 2 2 2 (2)充分性:若 0<a<4,对函数 y=ax -ax+1,其中Δ=a -4a=a(a-4)<0 且 a>0,∴ax -ax+1>0 对 x ∈R 恒成立.由(1)(2)知,命题得证. ? 3 ? 2 15. 解: 依题意, 得 A={x| x -x-2>0}=(-∞, -1)∪(2, +∞), B=?x| -1≥0?=(0,3], ∴A∩B=( 2,3].
?

x

?

p? ? 设集合 C={x|2x+p≤0},则 x∈?-∞,- ?.∵α是β的充分条件, 2? ?
∴(A∩B)? C.则需满足 3≤- ? p≤-6.∴实数 p 的取值范围是(-∞,-6]. 2 3 7 ? 3?2 7 ?3 ? 2 16.解:化简集合 A,由 y=x - x+1,配方,得 y=?x- ? + .∵x∈? ,2?,∴ymin= ,ymax=2. 4 4 2 16 ? ? 16 ? ?
? ? ?7 ?7 ? ∴y∈? ,2?.∴A=?y? ≤y≤2 ?16 ? ? ?16 ? ? ? ?.化简集合 B,由 x+m2≥1,∴x≥1- m2,B={x|x≥1-m2}. ? ?

p

3? ?3 7 3 3 ? ? 2 ∵命题 p 是命题 q 的充分条件,∴A? B.∴1-m ≤ ,解得 m≥ 或 m≤- .∴?-∞,- ?∪? ,+∞? 4? ?4 16 4 4 ? ?


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