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指数函数


第5讲

指数与指数函数

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[最新考纲] 1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的 运算. 3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特 1 1 殊点,会

画底数为 2,3,10,2,3的指数函数的图象. 4.体会指数函数是一类重要的函数模型.

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知识梳理

1.根式
(1)根式的概念

根式的概念
n 如果 x =a 方根

符号表示

备注
n>1且n∈N+

,则x叫做a的n次

当n为奇数时,正数的n次方根 是一个 正数 ,负数的n次方根 是一个 负数 . 当n为偶数时,正数的n次方根 有 两个 ,它们互为 相反数 .

n

a

零的n次方根 是零 负数没有偶次 方根
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n ± a

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(2)根式的性质
①( a)n= a . (n>1,且n∈N+). ? a ,n为奇数, n n ? ? ? a ,a≥0, ② a =? ?|a|=? ? ?-a,a<0,n为偶数 ? n

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2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂:an= ②零指数幂:a0= 1 (a≠0). 1 ③负整数指数幂:a = p (a≠0,p∈N+); a
-p

(n∈N+)

m m n m ④正分数指数幂:a = a (a>0,m,n∈ N+,且 为既 n n 约分数);

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m 1 1 m ⑤负分数指数幂:a- n = m = (a>0,m,n∈N+,且 n n m an a 为既约分数); ⑥0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂 无意义 . (2)有理数指数幂的性质 ①aα aβ = aα+β (a>0,α,β∈Q); ②(aα )β = aαβ ③(ab)α = aαbα (a>0,α,β∈Q); (a>0,b>0,α∈Q).

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3.指数函数的图象与性质 y=ax a>1 0<a<1

图象
定义域 值域 R (0,+∞) 过定点 (0,1) 性质 当x>0时, y>1 ; x<0时,0<y<1 在(-∞,+∞)上是 增函数 当x>0时, 0<y<1 ; x<0时,y>1 在(-∞,+∞)上是 减函数
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辨析感悟
1.指数幂的应用辨析 (1)( -2)4=-2. (2)(教材探究改编)( an)=a. 2.对指数函数的理解 (3)函数 y=3· 2x 是指数函数.
?1? (4)y=?a?x 是 ? ?

4

( ×) n ( ×)

( ×) ( ×)

R 上的减函数.

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(5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大

小关系如图,无论在y轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底
数由大变小. (×)

(6)(2013·金华调研改编)已知函数f(x)=4+ax-1(a>0且a≠1)的图 象恒过定点P,则点P的坐标是(1,5). (√)

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[感悟· 提升] 1.“ a n
n

? n ”与“? ?

?n ? a? ”的区别

当 n 为奇数时,或当 n 为偶数且

n n n n n n a≥0 时, a =a, 当 n 为偶数, 且 a<0 时, a =-a, 而( a) =a 恒成立.如(1)中 -2不成立,(2)中 ?-2? = 2≠ -2. 2.两点注意 一是指数函数的单调性是底数 a 的大小决定的,因 4 6
2

3

3

此解题时通常对底数 a 按 0<a<1 和 a>1 进行分类讨论, 如(4); 二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系, 在 y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小,在 y 轴左侧, 图象从上到下相应的底数由小变大.如(5).
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考点一 指数幂的运算

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规律方法 进行指数幂运算时,一般化负指数为正指数,化根式
为分数指数幂,化小数为分数,同时兼顾运算的顺序.需注意 下列问题: (1)对于含有字母的化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式 表示; (2) 应用平方差、完全平方公式及 apa - p = 1(a≠0) 简化运 算.

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答案 C

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考点二 指数函数的图象及其应用

【例 2】 (1)(2014· 郑州模拟 ) 已知函数 f(x) = 2x - 2 ,则函数 y =
|f(x)|的图象可能是 ( ).

(2)下列各式比较大小正确的是 A.1.72.5>1.73 C.0.8-0.1>1.250.2 B.0.6-1>0.62 D.1.70.3<0.93.1
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(

).

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解析

把x轴下方 (1)y=2 ―――→ y=2 -2 ――――――→ y=|f(x)|. 2个单位 的部分翻折上去
x

x向下平移

(2)A 中,∵函数 y=1.7x 是增函数,2.5<3, ∴1.72.5<1.73. B 中,∵y=0.6x 是减函数,-1<2,∴0.6-1>0.62. C 中,∵(0.8)-1=1.25, ∴问题转化为比较 1.250.1 与 1.250.2 的大小. ∵y=1.25x 是增函数,0.1<0.2, ∴1.250.1<1.250.2,即 0.8
-0.1

<1.250.2.

D 中,∵1.70.3>1,0.93.1<1,∴1.70.3>0.93.1.

答案 (1)B (2)B
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规律方法 (1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比
较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、 对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解. (2)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函 数图象数形结合求解.

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【训练2】 已知实数a,b满足等式2 011a=2 012b,下列五个关 系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤

a=b.其中不可能成立的关系式有
A.1个 C.3个 B.2个 D.4个

(

).

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解析 设2 011a=2 012b=t,如图所示,由函数图象,可得
(1)若t>1,则有a>b>0;'(2)若t=1,则有a=b=0;(3)若0<t <1,则有a<b<0. 故①②⑤可能成立,而③④不可能成立. 答案 B

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考点三 指数函数的性质及其应用
【例 3】 已知函数
? 1 1? ? 3 f(x)=?2x-1+2? x ? . ? ?

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的奇偶性; (3)求证:f(x)>0.
审题路线 由 2x - 1≠0 可求 f(x) 的定义域 ? 分别求 g(x) =

1 1 3 + 与 h ( x ) = x 的奇偶性?可利用 g(-x)± g(x)=0 判断 g(x) 2x-1 2 的奇偶性?利用“奇×奇=偶,奇×偶=奇”判断 f(x)的奇偶 性?先证 x>0 时,f(x)>0?再证 x<0 时,f(x)>0.
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(1)由 2x-1≠0 可解得 x≠0,∴定义域为{x|x≠0}.

1 1 (2)令 g(x)= x +2,h(x)=x3. 2 -1 1 1 1 1 2x 则 h(x) 为奇函数, g( - x) + g(x)= -x +2+ x +2= x+ 2 -1 2 -1 1-2 1 +1=0. x 2 -1 ∴g(x)为奇函数,故 f(x)为偶函数.

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(3)证明 当 x>0 时,2

x

? 1 1? ? 3 -1>0,∴?2x-1+2? x ? >0, ? ?

即 f(x)>0.又∵f(x)是偶函数, ∴当 x<0 时,f(x)=f(-x)>0, ∴f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上恒大于零.∴f(x)>0.

规律方法 (1) 应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大

小.
(2) 与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域 ( 最值 ) 、单调 性、奇偶性的求解方法,与前面所讲一般函数的求解方法一 致,只需根据条件灵活选择即可.

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-2x+b 【训练 3】 已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)解关于 t 的不等式 f(t2-2t)+f(2t2-1)<0.
解 (1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,即

-1+b -2x+1 =0,解得 b=1,所以 f(x)= x+1 .又由 f(1)=-f(- 2+a 2 +a 1 -2+1 -2+1 1)知 =- .解得 a=2. 4+a 1+a

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-2x+1 1 1 (2)由(1)知 f(x)= x+1 =-2+ x . 2 +2 2 +1 由上式易知 f(x)在(-∞, +∞)上为减函数(此外可用定义或导数法 证明函数 f(x)在 R 上是减函数). 又因为 f(x)是奇函数,所以不等式 f(t2-2t)+f(2t2-1)<0 等价于 f(t2 -2t)<-f(2t2-1)=f(-2t2+1).因为 f(x)是减函数,由上式推得 t2 -2t>-2t +1,即 3t
2 2

? ?? 1 ? -2t-1>0,解不等式可得 t?t>1或t<-3 ? ??

? ? ?. ? ?

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1.判断指数函数图象的底数大小的问题,可以先通过令x=1得
到底数的值再进行比较. 2.对和复合函数有关的问题,要弄清复合函数由哪些基本初等 函数复合而成.
3.画指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图象,应抓住三个关键点:
? 1? (1,a),(0,1),?-1,a?. ? ?

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4.熟记指数函数 y=10 ,y=2

x

x

?1? ?1? x ,y=?10? ,y=?2?x 在同一坐标系 ? ? ? ?

中图象的相对位置,由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的 关系.

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易错辨析2——忽略讨论及验证致误
【典例】 (2012· 山东卷)若函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的 最大值为 4,最小值为 m,且函数 g(x)=(1-4m) x在[0,+∞) 上是增函数,则 a=________.

1 [解析] 若 a>1,有 a =4,a =m,此时 a=2,m=2,此
2
-1

时 g(x)=- x为减函数,不合题意.若 0<a<1,有 a 1=4,


1 1 a =m,故 a=4,m=16,检验知符合题意. 1 [答案] 4
2
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[ 易错警示 ]
案.

(1) 误以为 a > 1 ,未进行分类讨论从而求得错误答

(2) 对条件 “g(x) 在[0 ,+∞ ) 上是增函数 ”不会使用,求得结果 后未进行检验得到两个答案. [防范错施] (1)指数函数的底数不确定时,单调性不明确,从而 无法确定其最值,故应分a>1和0<a<1两种情况讨论. (2)根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一,熟

练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基
础.

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【自主体验】
当x∈[-2,2]时,ax<2(a>0,且a≠1),则实数a的范围是 (
A.(1, 2)
? C.? ? ? ? 2 ? , 1 ?∪(1, 2) 2 ? ? B.? ? ? ? 2 ? , 1 ? 2 ?

).

D.(0,1)∪(1, 2)

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解析

x∈[-2,2]时,ax<2(a>0,且 a≠1),

若 a>1, y=ax 是一个增函数, 则有 a2<2, 可得 a< 2, 故有 1<a< 2; 2 2 若 0<a<1,y=a 是一个减函数,则有 a <2,可得 a> 2 ,故有 2
x
-2

<a<1.综上知

? a∈ ? ? ?

? 2 ? , 1 ?∪(1, 2). 2 ?

答案 C

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