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2013年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷


2013 年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷
2013 年 9 月 14 日上午 9::0——11:30

一.填空题(每题 8 分,共 64 分) 1.函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ? 4 ? x 2 的值域是 2.方程 sin(2013? x) ? x2013 的实数根的个数为
?

. .

r />
3.化简 sin 12 sin 48 sin 54 = (用数字作答) . 4.设数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 1 , an ? 3an?1 ? an?2 (n ? 3) ,则 a2013 ? . ??? ? 2 ??? ? ???? 5.设 ?ABC 的外接圆圆心 P 满足 AP ? ( AB ? AC ) ,则 cos ?BAC = . 5 y z ?1 6.设复数 z ? x ? yi 满足 的实部与虚部之比为 3 , 其中 i 是虚数单位,x, y ? R , 则 的 z?2 x 最大值为 . 7.设 1 ? x ? x 2

?

?

?

?

150

= ? ck x k ,其中 c0 , c1 ,..., c300 是常数,则 ? c3k =
k ?0
k ?0

300

100

. .

8.随机选取正 11 边形的 3 个不同顶点,它们构成锐角三角形的概率为 二.解答题(第 9-10 每题 21 分,第 11-12 题每题 22 分,共 86 分) 9.设正三棱锥的底面边长为 1,侧棱长为 2,求其体积和内切球半径.

10.求 所 有 函 数 f : R ? R , 使 得 对 任 意 x, y 都 有 f ( x? y )?

f( x ) ?

f( ? y )

且 2xy

x 2 ? x ? f ( x) ? x 2 ? x .

1 2

1 2

ab ? bc ? c 2 11.设 a, b, c 是不全为 0 的实数,求 F ? 2 的取值范围,a, b, c 分别满足什么条件 a ? 2b 2 ? 3c 2 时, F 取最大值与最小值?

2 ( 1 ? an?1) 12.设数列{ an }满足 a1 ? 1, a2 ? 2, an ? (n ? 3) . an?2

(1)求数列{ an }的通项公式; (2)求证:对任意的正整数 k , a2 k ?1 和

a2 k 都是整数. 2

2013 年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷
2013 年 9 月 14 日上午 9::0——11:30

二.填空题(每题 8 分,共 64 分) 1 函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ? 4 ? x 2 的值域是 2. 方程 sin(2013? x) ? x2013 的实数根的个数为
?

. . . .

3.化简 sin 12 sin 48 sin 54 = (用数字作答) . 4.设数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 1 , an ? 3an?1 ? an?2 (n ? 3) ,则 a2013 ? ??? ? 2 ??? ? ???? 5.设 ?ABC 的外接圆圆心 P 满足 AP ? ( AB ? AC ) ,则 cos ?BAC = 5

?

?

6.设复数 z ? x ? yi 满足 最大值为

y z ?1 的实部与虚部之比为 3 , 其中 i 是虚数单位,x, y ? R , 则 的 z?2 x .

7 设 1? x ? x2

?

?

150

= ? ck x k ,其中 c0 , c1 ,..., c300 是常数,则 ? c3k =
k ?0
k ?0

300

100



7.

8 随机选取正 11 边形的 3 个不同顶点,它们构成锐角三角形的概率为



三.解答题(第 9-10 每题 21 分,第 11-12 题每题 22 分,共 86 分) 13.设正三棱锥的底面边长为 1,侧棱长为 2,求其体积和内切球半径.

14.求 所 有 函 数 f : R ? R , 使 得 对 任 意 x, y 都 有 f ( x? y )?

f( x ) ?

f( ? y )

且 2xy

x 2 ? x ? f ( x) ? x 2 ? x .

1 2

1 2

15.设 a, b, c 是不全为 0 的实数,求 F ? 时, F 取最大值与最小值?

ab ? bc ? c 2 的取值范围,a, b, c 分别满足什么条件 a 2 ? 2b 2 ? 3c 2

2 ( 1 ? an?1) 16.设数列{ an }满足 a1 ? 1, a2 ? 2, an ? (n ? 3) . an?2

(2)求数列{ an }的通项公式; (2)求证:对任意的正整数 k , a2 k ?1 和

a2 k 都是整数. 2

5.


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