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重庆一中高2013级10-11学年(下)期末试题——数学[1] 2

时间:2014-07-06


秘密★启用前

2011 年重庆一中高 2013 级高一下期期末考试

数 学 试 题 卷 2011.6
数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦 干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a9 ? 10 ,则 a5 的值为(
[来源:高&考%资(源#网 KS 5U ]

)

A.5 B.6 C.8 D.10 2. 某校高一数学竞赛初赛考试后,对 90 分以上(含 90 分)的成绩进行统计,其频率分布直方图如 图所示.若 130~140 分数段的人数为 2 人. 估计这所学校成绩在 90~140 分之间学生的参赛人数为 ( ) 人
频率/组距

0.045

A. 20

B . 40

C. 50

D.60
0.025 0.015 0.01 0.005 成绩

90

100

110

120

130

140

3.某小组有 3 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名同学参加演讲比赛,那么互斥不对立的两个事件是 ( ) B.至少有 1 名男生与全是男生 D.恰有 1 名男生与恰有 2 名女生

A.至少有 1 名男生与全是女生 C.至少有 1 名男生与至少有 1 名女生

4.下列命题中,正确的个数是( ) ①垂直于同一直线的两个平面互相平行; ②垂直于同一平面的两条直线互相平行 ③平行于同一直线的两个平面互相平行; ④平行于同一平面的两条直线互相平行 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5.设变量 x , y 满足 x ? y ? 1, 则 x ? 2 y 的最大值和最小值分别为( A.1,-1 B.2,-2 C.1,-2 D.2,-1
) D. 94

)

开始
i ? 1, s ? 1
i ? i ?1

6. 如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? ( A.10 B.22 C.46

s ? 2( s ? 1)
i?4

输出s



结束

7.如图,一个空间几何体的正视图,侧视图,府视图均为全等的等腰直角三角形;如直角三角形的直 角边的长为 1,那么这个几何体的体积为( ) A.

1 6 1 3

B.

1 2
俯视图 正视图 侧视图

B.C.

D.1

8. 已知不等式 x2+px+q<0 的解集为{x| 1<x<2}, 则不等式 A. (1, 2) C. (-∞, -1)∪(1, 2)∪(6, +∞)

x 2 ? px ? q >0 的解集为 ( x2 ? 5x ? 6



B. (-1, 1)∪(2, 6) D. (-∞, -1)∪(6, +∞)

9.设 M 是 ?ABC内一点 , 且AB ? AC ? 2 3, ?BAC ? 30?, 定义f (M ) ? (m, n, p),其中m、 n、p 分别是 ?MBC , ?MCA, ?MAB的面积, 若f ( M ) ? ( , x, y )则 ?

1 2

1 x

4 的最小值是( y



A.8 B.9 C.16 D.18 10.如图,坐标纸上的每个单元格的边长为 1,由下往上的前六个点:1,2,3,4,5,6 的横纵坐标 分别对应数列 ?an ? (n ? N ) 的前 12 项,如下表所示:
*

a1 x1

a2 y1

a3 x2

a4 y2

a5 x3

a6 y3

a7 x4

a8 y4

a9 x5

a10 y5

a11 x6

a12 y6
[高考学习

按如此规律下去,则 a2009 ? a2010 ? a2011 ? ( A.1003 B.1005 C.1006

) D.2011

二、 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上.

11. 某校高一年级 8 个班级参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示,则这组数据的平均数是 ____ _____________ ; 8 9 12. 已知圆台的上、下底面半径分别是 r , R ,且侧面面积等于两底面积 之和,则圆台的母线长等于 . 9 7 3 1 6 4 0 2

13.在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1 , an ? an?1 ? an?2 ? 公式是 .
2 2

? a2 ? a1 (n ? N*, n ? 2) ,则这个数列的通项

14.关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 ,若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2] 任取的一个数,方程有实根的概率为

15. 5 5 5 5 5 5 的计算可采用如图 5 所示的算法,则图中①处应填的条件 是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
2 2 16. (本小题满分 13 分)解关于 x 的不等式 x ? ax ? 2a ? 0

17.(本小题满分 13 分)投掷一个质地均匀,每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面中, 有两个面的数字是 0 ,两个面的数字是 2,两个面的数字是 4.将此玩具连续抛掷两次,以两次朝上 一面出现的数字分别作为点 P 的横坐标和纵坐标. (1)求点 P 落在区域 C : ?

?0 ? x ? 3 上的概率; ?0 ? y ? 3

(2)若以落在区域 C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域 M,在区域 C 上随机撒一 粒豆子,求豆子落在区域 M 上的概率.

18. (本小题满分 13 分) 已知 ABCD 是正方形,PD⊥平面 ABCD,PD=AD=2. E 为 PB 的中点,F 为 DC 的中点. (1)求证:面 PDB⊥平面 PAC (2)求证; EF 面PDA ; (3)求四棱锥 E ? ABFD 的体积; 19.(本题满分 12 分)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 ( n, (1)设 bn ? 2n?2 ? an , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn

Sn )( n ? N ?) 均在函数 y=-x+9 的图像上. n

1 ,是否存在最大整数 m ,使得 ? n ? N? ? , Pn ? c1 ? c2 ? ? cn ( n ? N? ) n ?12 ? an ? m 对任意的 n ? N ? ,均有 Pn ? 成立,若存在,求出 m 值;若不存在,请说明理由。 32
(2)设 cn ? 20. (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ?

1 2 9 x ? ( a ? b) x 2 ? 1 ? , 2 2

g ( x) ? ax2 ? b ( a、b、x ? R ), A ? [? 15, ? 3] [ 3, 15]
(1)如果 b ? 0 ,对任意 x ? A 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的范围; (2)如果 b ? 0 ,当“ f ( x) ? 0 对任意 x ? A 恒成立”与“ g ( x) ? 0 在 x ? A 内必有解”同时成 立时,求 3a ? b 的最大值. 21.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 和 ?bn ? ,对一切正整数 n 都有:

a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ?

? anb1 ? 3n?1 ? 2n ? 3 成立.

(1)如果数列 ?bn ? 为常数列, bn ? 1,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)如果数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ,求证数列 ?bn ? 是等比数列. (3)如果数列 ?bn ? 是等比数列,数列 ?an ? 是否是等差数列?如果是,求出这个数列的通项公式; 如果不是,请说明理由.

2011 年重庆一中高 2013 级高一下期期末考试(本部)

数 学 试 题 答 案 2011.6
一、选择题
1-5 ABDBB 6-10 CACDB

二、 填空题:
11. 91.5 12:

R2 ? r 2 R?r

13. an ? ?

? 1 n?2 ?2

(n ? 1) (n ? 2)

14.

2 3

15. T ? T ? a

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16. 解: x 2 ? ax ? 2a 2 ? 0 ? ( x ? 2a)(x ? a) ? 0 得: 当 a ? 0 时, ?x | ?a ? x ? 2a 当 a ? 0 时, ?x | 2a ? x ? ?a 当 a ? 0 时, ? 17. 解: (1)点 P 的坐标有: (0,0) , (0,2) , (0,4) , (2,0) , (2,2) , (2,4) , (4,0) , (4,2) , (4,4) ,共 9 种,其中落 在区域 C:?

? ?

?0 ? x ? 3 上的点P的坐标有 : (0,0),(0, 2),(2,0),(2, 2), 共 4 种 . 故 点 P 落 在 区 域 ?0 ? y ? 3

?0 ? x ? 3 4 C:? 上的概率为 . 9 ?0 ? y ? 3
(2)区域 M 为一边长为 2 的正方形,其面积为 4,区域 C 的面积为 9,则豆子落在区域 M 上的概 率为 .

4 9

PD ? 面ABCD ? AC ? PD ? ? 18: (1)证明: ABCD正方形 ? AC ? BD ? ? AC ? 面PDB ? 面PAC ? 面PDB ? PD DB ? D ?
(2)证明:取 PA 的中点 M 连接 DM,则在 ?PAB 中为中位线,所以 ME ∴ ME DF , 所以四边形 MEFD 为平行四边, 所以 EF MD 且
?

1 1 AB , DF AB ? 2 ? 2

MD ? 面PDA
所以 EF 面PDA (3) 解: 设 AC 与 BD 的交点为 O, 连接 EO 则 E O 即为所求四棱锥的高

1 PD ,EO=1 ?2

1 1 1 S ABFD EO ? ? (1 ? 2) ? 2 ?1 ? 1 3 3 2 Sn ? ? n ? 9 ,即 Sn ? n(?n ? 9) ? ?n 2 ? 9n . 19.解 (1)由题设得 n 当 n ? 1 时, an ? a1 ? S1 ? 8 ; 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 = ?2n ? 10 ;
∴ VP ? ABFD ? (2)错位相减法 Tn ? ?11 ? 2n? 2n?1 ? 5 (3) cn ? 由于 n=1 也满足,从而数列 {an } 的通项公式是 an ? ?2n ? 10 .

1?1 1 ? 1? 1 ? 1 ? Pn ?min ? P1 ? ? ? ? , Pn ? ? ?1 ? ? , ?Pn ? 递增, 2 ? n n ?1 ? 2 ? n ?1 ? 4 m 1 ?P ? m ? 8 ? mmax ? 7 1 ? 32 4 1 2 9 2 20.解: (1) f ( x) ? 0 恒成立也就是 f ( x) ? x ? a x ? 1 ? ? 0 恒成立, 2 2 1 2 9 1 9 x ? ? a x 2 ? 1 ,即 a x 2 ? 1 ? x 2 ? , 2 2 2 2
1 2 9 x ? 1 x2 ? 9 2 2 2 ? a ? ? , x ?1 ? 1 x2 ? 1 2 x2 ? 1

1? 8 ? ? ? x2 ? 1 ? ? 恒成立, 2? x2 ? 1 ?
因为

1? 2 8 ? 1 ? x ?1 ? 2 ? ? ? 2 8 ? 2 2 ,所以 a ? 2 2 . 2? x ?1 ? 2

1 2 9 x ? 2 2 ? 1 x ?9 (2)对任意 x ? A , f ( x) ? 0 恒成立,? a ? b ? 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1
得a ?b ? 2 2 ,
2 由 g ( x) ? ax ? b ? 0 有解, ax ? b ? 0 有解,即 a ? ?
2

?b ? , 2 ? ? x ?max

b ? b ? b ? 0 ,? a ? ? 2 ? ? , b ? 3a . ? x ?max 3
?a ? b ? 2 2 ? ? a, b 满足条件 ?3a ? b 所表示的区域,设 3a ? b ? t , b ? ?3a ? t ,根据可行域求出 ?b ? 0 ?

当a ?

2 3 2 时取得. 所以 3a ? b 的最大值为 3 2 . ,b ? 2 2

21 解:(1) bn ? 1,由已知得: a1 ? a2 ? 将 n 用 n ? 1 迭代得: a1 ? a2 ?

? an ? 3n?1 ? 2n ? 3 ,

(n ? 2) ? an?1 ? 3n ? 2 ? n ?1? ? 3 .

两式相减得: an ? 2 ? 3n ? 2 ,当 n ? 1 时,适合 an ∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 ? 3n ? 2 . (2) an ? n ,由已知得: bn ? 2bn?1 ? 3bn?2 ? 将 n 用 n ? 1 迭代得: bn?1 ? 2bn?2 ? 两式相减得: bn ? bn?1 ?

? nb1 ? 3n?1 ? 2n ? 3 ,

(n≥2) ? ? n ?1? b1 ? 3n ? 2 ? n ?1? ? 3 .

? b1 ? 2 ? 3n ? 2 , ? b1 ? 2 ? 3n?1 ? 2 .

将 n 用 n ? 1 迭代得: bn?1 ? bn?2 ?

两式相减得: bn ? 4 ? 3n?1 ,经检验 b1 也适合. 所以数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 4 ? 3n?1 . 故数列 ?bn ? 是 4 为首项,公比为 3 的等比数列. (3)设数列 ?bn ? 的首项为 b1 ,公比为 q ,由已知得:

a1 b ? a q n? 1 q 2 nb ? 2 ?

a 3n? b 3? q ?

n?

n?1 a1 1? bq a ? n 3 1 b 2?

3? n

即: ? a1bn?1 ? a2bn?2 ? a3bn?3 ?

? an?1b1 ? q ? anb1 ? 3n?1 ? 2n ? 3

n n ?1 即: 3 ? 2 ? n ? 1? ? 3 q ? anb1 ? 3 ? 2n ? 3

?

?

所以: an

3 ? q ? 3n ? 2n ?1 ? q ? ? ? 3 ? q ? ? ? b1
4n ,数列 ?an ? 为等差数列. b1

若 q ? 3 时, an ?

若 q ? 3 时,∵a2-a1≠a3-a2 ,∴ an ?

?3 ? q ? 3n ? 2n ?1 ? q ? ? ?3 ? q ? ,不是等差数列.
b1

故 q ? 3 时,数列 ?an ? 为等差数列; q ? 3 时数列 ?an ? 不为等差数列.


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