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湖北省黄冈中学2016届高三数学1月调研考试试题 理


湖北省黄冈中学 2016 年元月高三年级调研考试数学试卷(理科)
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.函数 A.(-3,0) C.(-3,3) 的定义域为( ) B.(0,3) D.[-3,3)

2.复数

(i 为虚数单位

)的共轭复数对应的点位于复平面内( )

A.第一象限 C.第三象限

B.第二象限 D.第四象限

3.已知 a、b、c、d 四位技术员各自对甲、乙两变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别 求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表: a r m 0.85 101 b 0.75 116 c 0.68 128 d 0.81 105

则哪位技术员的试验结果体现甲、乙两变量有更强的线性相关性( ) A.a C.c B.b D.d

4.若 a<0,则 0.5a,5a,5-a 的大小关系应是( ) A.5-a<5a <0.5a B.5a <0.5a <5-a
1

C.0.5 <5

a

-a

<5

a

D.5

a

<5

-a

<0.5

a

5.x,y 满足约束条件

那么目标函数 z=2x+y 的最大值等于( )

A. C.3

B.-5 D.5

6.△ABC 中,若已知三边长为连续正整数,最大角为钝角,则最大的边长为( A.3 C.5 B.4 D.不存在



7.如果函数 f(x)满足

,那么方程

的一个解是( )

A.

B. D.π

C.

8.甲、乙两位同学各拿出 4 本书,用作投骰子的奖品.两人商定:骰子朝上的面的点数为奇数时甲 得 1 分,否则乙得 1 分,先积得 3 分者获胜得所有 8 本书,并结束游戏.比赛开始后,甲积 2 分, 乙积 1 分,这时因意外事件中断游戏,以后他们不想再继续这场游戏,下面对这 8 本书分配合理的 是( ) A.甲得 6 本,乙得 2 本 C.甲得 4 本,乙得 4 本 B.甲得 5 本,乙得 3 本 D.甲得 7 本,乙得 l 本

9.下列说法正确的是( ) A.命题“ ”的否定是“ ”
2

B.观察下列各式:a+b=1,a +b C.方程

2

2

=3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,?,则 a +b =123. 的曲线形状是一条直线 x+y+l=0 和一个圆 x2+y2-4=0

3

3

4

4

5

5

10

10

D.条形图是用其面积来表示取各值的频率.

10.执行如图所示的程序框图,则在执行程序过程中,不可能出现的 S 的值为( )

A.3 C. 21

B.-15 D.10

11.已知 f′(x)=a(x+1)(x-a)是函数 f(x)的导函数,若 f(x)在 x=a 处取得极大值,则实数 a 的 取值范围是( ) A.(0,+∞) C.(-l,0) B.(-∞,-1) D.[-l,+∞)

12.已知 x,y 之间满足

,下列命题中正确的个数是( )

3

(1)方程

表示的曲线经过点(1,

),则 b=2;

(2)动点(x,y)在曲线

上变化,则 x2+2y 的最大值为



(3)由

不能确定一个函数关系式 y=f(x),如再加条件 xy<0 就可使 x,y 之间

建立函数关系; (4)若方程 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆,点(1,2)在该椭圆外,则 b

成立的等价范围是



A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.平面向量 a,b,已知 a=(-8,6),|b|=1,且 a·b=0,则向量 b=_________.

14.设

,且

,那么

15. 《数学通讯》 是我们大家喜爱的中学数学杂志, 它的邮发代号为 42—1152,设 an 表示 42n+1152n 的个位数字,则 =________.

16.圆周率π 和自然对数的底 e 是数学中非常重要的两个常数,对π 和 e 的研究,在数学发展史上 具有突出的地位.下面是有关π 和 e 的两个优美表达式:

4

根据上述等式,

可以看作是无穷多项的连乘之积,其中第 1 项

第2项

,第 3



,?;此外,

也可以看作是无穷多项的连乘之积,其中第 1 项

,第 2 项

,第 3 项

,?.如果按此规律类推出π

100

和 e100,那么

=____________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 l0 分)已知命题 p:在 时,不等式 x2+ax-2>0 恒成立;命题 q:方程 ax2

+2x+1=0 有且只有一个负根.若命题“p∨q”是真命题,求实数 a 的取值范围.

18. (本题满分 12 分)在△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 求角 B 的大小; (2)若 增区间.

, b=2,

. (1)

,求 f(x)的对称中心,并求函数 g(x)=f(-x)的单调递

19.(本题满分 12 分)等差数列{an}有无穷多项,其前 n 项和为 Sn,已知



(I)数列{an}的通项 an. (Ⅱ)是否存在 n,使得 取最小值,如果存在,求出 n 的值.如果不存在,请说明理由.

5

20.(本小题满分 12 分)2015 年 10 月 29 日,党的中共十八届五中全会决定,坚持计划生育的基本 国策,全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策.某社区为了了解本社区的愿意生两个孩子的育龄妇 女的基本情况,以便应对本社区将来发展的需要,随机的在本社区收集了愿意生两个孩子的(以下简 称育龄妇女)100 位育龄妇女相关数据,整理如下: 育龄妇女的年龄 [20,25) (单位:岁) 育龄妇女的人数 m 20 30 n 10 [25,30) [30,35) [35,40) [40,+∞)

统计结果显示:愿意生两个孩子的 100 位育龄妇女中 30 岁以上(包括 30 岁)的占 60%,据统计 本社区大约有 5000 名育龄妇女,元旦将至,社区决定对 30 岁以上(包括 30 岁)愿意生两个孩子的育 龄妇女发放慰问品(每人一件).(注:视频率为概率) (1)试确定 m、n 的值,并估计该社区应准备纪念品的数量; (2)现任意选择该社区 4 位育龄妇女,求获得慰问品的人数ξ 的分布列与数学期望.

21.(本小题满分 12 分)已知△ABC 的三个顶点均在椭圆

(a>b>0)上,且点 A 在 y 轴的正

半轴上,由回归方程

=4x+838.19 可估计出 y 与 x 的增长速度之比为 b,椭圆长轴长为



(I)试求椭圆的方程; (II)若∠BAC=90°,试证直线 BC 恒过定点.

22.(本小题满分 12 分)已知函数



(1)如果函数 y=f(x)在[1,+∞)上是单调减函数,求 a 的取值范围; (2)若 a=8 时,求证: ;

6

(3)是否存在实数 a>0,使得方程

在区间

内有且只有两个不相等

的实数根?若存在,请求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

答案与解析 1.D 解析: .

7

2.A 解析:由 ,∴复数 的共轭复数在复平面内对应点的坐

标为

,是第一象限的点,故选 A.

3.A 解析:根据线性相关的知识,检查模拟情况的差别,要尽量保证相关系数|r|接近 1,同时保证残差 平方和尽可能小,根据实验结果,显然 A 要好一些. 4.B 解析:当 a<0 时,幂函数 y=xa 单调递减,故 .

5.C 解析:作出可行域,当 x=2,y=-1 时,Zmax=3. 6.B 解析:设三边 a=k-1,b=k,c=k+1,k∈N*且 k>1, ∵C 为钝角,∴ ,解得 1<k<4,

∵k∈N*,∴k=2 或 3,但 k=2 时不能构成三角形应舍去, 当 k=3 时,a=2,b=3,c=4, .答案选 B.

7.C 解析:f(x)=-cosx,由 ,有 ,得 为其一解.

8.A 解析:由题意,为了决出胜负,最多再赛两局,用“甲”表示甲胜,用“乙”表示乙胜,于是这两 局有四种可能:(甲,甲),(甲,乙),(乙,甲),(乙,乙).

8

其中甲获胜有 3 种,而乙只有 1 种,所以甲获胜的概率是

,乙获胜的概率是



所以甲得到的书的本数为

,乙得到书的本数为

;故选 A.

9.B 解析:观察,可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,?,其规律为从第三项起,每一项等于其前相邻两 项的和,所求的值为数列中的第十项,继续写出此数列为:1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,?,第十 项为 123,即 a10+b10=123. 对于 C,原方程可化为 或 x+y+1=0.显然方程表示直线 x+y+1=0 和圆 x2+y2-

4=0 在直线 x+y+1=0 的右上方部分,本题易忽视 x+y+1≥0,而误认为 x2+y2-4=0 是一个完整 的圆. 10.C 解析:程序运行过程为:i=1,S=0→S=0-1 =-1,i=2→S=-1+2 =3,i=3 时 S=-1+2 -3 = -6,i=4 时,S=-1+2 -3 +4 =10,由于判断条件 i<6,∴当 i=5 时,执行最后一次后输出 S 的值,∴S=-1+22-32+42-52=-15. 11.C 解析:当 a>0 时,f(x)在(-∞,-1)上单增,在(-1,a)单减,在(a,+∞)单增,在 x=a 处取极小 值; 当-1<a<0 时,f(x)在(-∞,-1)上单减,在(-1,a)单增,在(a,+∞)单减,在 x=a 处取极大值; 当 a<-1 时,f(x)在(-∞,a)上单减,在(a ,-1)单增,在(-1, +∞)单减,在 x=a 处取极小值; 当 12.C 解析:(1) ,b=2.(2)根据 得 时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,x=-1 不是极值点.
2 2 2 2 2 2 2

9



时,即 b≥4 时(x2+2y)max=2b+4



时,即 0≤b≤4 时

(3)如再加条件 xy<0 就可使 x,y 之间建立函数关系 (4) 且 b>2,则 .

13.

解析:设

,由





解得



,故





14.

解析:由



.

15.10080 解析:此题初看起来无从下手,但若仔细分析一下就会知道 42n 的个位数字只与 2 有关,1152 n 的 个位数字也只与 2 有关,而 42n 的个位数字是以 4 为周期的数列,即 2、4、8、6、?,1152
n

的个

位数字也是以 4 为周期的数列,即 2、4、8、6、?.故 42n+1152n 的个位数字是以 4 为周期的数列: 4、8、6、2、?.∴ .

16.

10

解析:根据已知有



,故



17、若命题 p 为真命题,则由 x +ax-2>0 得

2

在 x∈[-2,-1]上恒成立,设



f(x)在[-2,-1]上是减函数,则-1≤f(x)≤1,所以 a<-1.?????3 分 若命题 q 为真命题,即方程 ax2+2x+1=0 有且只有一负根. 当 a=0 时,方程为 2x+1=0,其根为 ,方程只有一负根,符合条件.???4 分

当 a≠0 时,方程 ax2+2x+1=0 有实根,则Δ =4-4a≥0,所以 a≤1,当 a=1 时,方程有一负根 x= -1.

当 a<1 时,若方程有且只有一负根,则

所以 a<0.

6分

故方程 ax +2x+1=0 有且只有一个负根的充要条件为 a≤0 或 a=1.???????8 分

2

当命题 p 与 q 同时为假命题时有

解得 a>0 且 a≠1.

9分

则命题 p 与 q 至少有一个命题是真命题, 即命题 “p∨q” 是真命题时有 a≤0 或 a=1. ???????? 10 分 18、(Ⅰ)由 得 ,由 得 ,又 b<a,B<A 得



4分

(Ⅱ)由余弦定理 a =b +c -2bccosA 可得 c=2, ∴

2

2

2



7分





,所以,函数 f(x)的对称中心为

(k∈Z).

11

????9 分 ,



(k∈Z)得:

(k∈Z)

所以函数 g(x)的单调递增区间为

(k∈Z).????????12 分

19、(Ⅰ)设等差数列{an}的公差等于 d,那么

所以

,所以数列

是等差数列

????

6分 (Ⅱ)(1)当 an=4n-1 时,设 且仅当 n=7 时取最小值; (2)当 an=19-4n 时, 时 无最小值;????????12 分 随 n 单调递减,此 当

20、(1)由已知,100 位育龄妇女中,30 岁以上(包括 30 岁)愿意生两个孩子的育龄妇女有 n+40= 100×60%,n=20;m=100-(20+30+20+10)=20. 该社区应准备慰问品的数量大约为 件.????????4 分

(2)由(1)可知 1 位育龄妇女获得慰问品的频率即为概率 故 4 位育龄妇女获得慰问品的人数ξ 服从二项分布 B

.???5 分

.???????7 分

12






, ,

ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 4

P

????????10 分 数学期望 .



.????????12 分

21、(Ⅰ) y 与 x 的增长速度之比即为回归方程的斜率,即 b=4.???2 分, 由椭圆长轴长为 =2a 得 ,????????4 分,

故所求的椭圆方程为

.????????5 分

(Ⅱ)由(1)得 A(0,4),B(x1,y1),C(x2,y2) AB⊥AC,得 ①?????6 分

设直线 BC 方程为 y=kx+t,代入 4x +5y =80 得 , ?????8 分

2

2

????????9 分

13

????????10 分

代入①式得,

,解得 t=4(舍)或

????????11 分

故直线

过定点

.????????12 分

22、(1)当 a=0 时,f(x)=2x 在[1,+∞)上是单调增函数,不符合题意,舍去.显然 a>0 不符合题 意,舍去. 当 a<0 时 y= f(x)的对称轴方程为 , 由于 y= f(x)在[1,+∞)上是单调减函数, 所以 ,

由 a<0 解得 a≤-2,所以 a≤-2.?????2 分 (2)当 x<0 时恒成立,当 x>0 时令 h(x)=4x +2x-lnx, 则 在 上递减,在 ,∵ 时,h′(x)<0, 时,h′(x)>0,∴h(x) ,
2

上递增,∴h(x)的最小值为



,移项两边取指数得





.????????6 分

(3)把方程

整理为



即为方程 ax2+(1-2a)x-lnx=0.????????7 分 设 H(x)= ax2+(1-2a)x-lnx(x>0),原方程在区间 数 H(x)在区间 内有且只有两个不相等的实数根,即为函

内有且只有两个零点.????????8 分

令 H′(x)=0,因为 a>0,解得 x=1 或

(舍),当 x∈(0,1)时,H′(x)<0,H(x)

是减函数;当 x∈(1,+∞)时,H′(x)>0,H(x)是增函数.

14

H(x)在

内有且只有两个不相等的零点,只需

???????11 分

.???????12 分

15


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