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2009年清华大学自主招生数学试题(理综)


2009 年清华大学自主招生数学试题(理综)
2

1.求值:

2 ? 2e 5

?i

6

? e5

?i

2.请写出一个整系数多项式

f ( x ) ,使得

2 ?

>
3

3

是其一个根

3.有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面?证明你的结论。

4.现有 100 个集装箱,每个集装箱装两件货物。在取出来的过程中货物的顺序 被打乱了,现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中。集装箱体积都是 1,且 每个集装箱最多放两件货物, 若装了一个货物后装不下第二个,那么就将这个集 装箱密封,把这个货物装到下个集装箱中。问在最坏情况下需要多少个集装箱。

5. A , B 两人轮流向黑板上写正整数,规则是:若 a1 , a 2 , ? ? a n 出现在黑板上, 则形如 ?
i

ai xi

的数都不能写,不得不写 1 的人算输。初始状态黑板上写着 5,6

问先写的人还是后写的人有必胜策略?

6.64 匹马能否通过 50 场比赛比出任意两匹马之间的优劣?(每场比赛至多 8 匹马参赛)

7. A , B 两人玩一个游戏, A 提供若干硬币, B 可以任意将这些硬币全部摆放 在顶点上,并确定一个目标顶点 u 。规则是: A 可以选择一个上面至少有两枚硬 币的顶点 v ,并选择一个与它相邻的顶点 w ,将 v 上的两枚硬币取走,并放回一 枚硬币在 w 上。 A 若在有限步内根据规则在 u 上放上一个硬币则获胜。已知 B 不 想让 A 赢且他很聪明,试问在这两种情况下 A 各需要至少几个硬币才能保证自 己能赢。


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