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1.3.2 函数的奇偶性讲义

时间:2017-06-25


1.3.2 函数的奇偶性
一、对称区间(关于原点对称)
[a,b]关于原点的对称区间为[-b,-a] (-∞,0)关于原点的对称区间为(0,+∞) [-1,1]关于原点的对称区间为[-1,1]

二、奇函数与偶函数
(一) 奇函数的定义: 对于任意函数 f(x)在其对称区间(关于原点对称)内,对于 x∈A,
都有 f(-

x)=-f(x),则 f(x)为奇函数。

. . . . . .. . . . .

(二) 偶函数的定义: 对于任意函数 f(x)在其对称区间(关于原点对称)内,对于 x∈A,
都有 f(-x)=f(x),则 f(x)为偶函数。

. . . . . . . . . .

如果函数 f(x)是奇函数或是偶函数,则我们就说函数 f(x)具有奇偶性。

(三)判断函数奇偶性的步骤:
(1)求函数 f(x)的定义域; (2)若函数的定义域不关于原点对称,则该函数不具备奇偶性,此时函数既不是奇函数, 也不偶函数;若函数 f(x)的定义域关于原点对称,再进行下一步; (3)求 f(-x); (4)根据 f(-x)与 f(x)之间的关系,判断函数 f(x)的奇偶性;①若 f(-x)=-f(x),函数是奇 函数;②若 f(-x)=f(x),函数 f(x)是偶函数;③若 f(-x)≠±f(x),则 f(x)既不是奇函数, 也不是偶函数;④若 f(-x)=-f(x),且 f(-x)=f(x),则 f(x)既是奇函数,也是偶函数。 【即 ..

f(x) = 0 ,即定义域关于原点对称的常数函数 f(x) = 0 时,常数函数是 . . . . . . ................. . . . .a ;当 ..a ≠ . . .......

偶函数; 0 时,常数函数既是奇函数,也是偶函数。 】 .... 当 .a = . . ................. . .
例 1:判断下列函数奇偶性。 (1)f(x)=

1 ?x x

(2)f(x)=x +x

3

(3)f(x)= x ? 1 × x ? 1

(4)f(x)=

1 ?1 x3

(5)f(x)=x +cosx

2

【解析】 : (1)奇(2)奇(3)非(4)非(5)偶

变式练习:判断下列函数的奇偶性。

1

(1)f(x)=x×tanx

(2)f(x)= ln(

2? x ) 2? x

(3)f(x)= ?

? x( x ? 1),x ? 0 ?? x( x ? 1),x ? 0

【解析】 : (1)偶(2)奇(3)奇

注意:1、判断函数奇偶性的步骤(1)求定义域,判断函数定义域是否关于原
点对称; (2)计算 f(-x); (3)判断,若 f(-x)=f(x)偶函数,若 f(-x)= -f(x)奇函数,否则为非奇非偶函数。2、直接判断法:偶±偶=偶;偶×偶= 偶;奇±奇=奇;奇×偶=奇。
x ?x 一些重要类型的奇偶函数: (1)f(x)= a ? a 为偶函数,

f(x)= a ? a
x

?x

为奇函

数; (2)f(x)=

1? x a x ? a ?x ) ( a >0 且 a ( a >0 且 a ≠1)为奇函数; (3)f(x)= log a ( x ?x 1? x a ?a
x 2 ? 1) ( a >0 且 a ≠1)为奇函数。

≠1)为奇函数; (4)f(x)= x ? log a ( x ?

三、奇偶函数的性质及应用
(一) 偶函数的性质: ①偶函数的图象关于 y 轴对称; ②f(-x)=f(x)=f(︱
x︱);③偶函数的单调性在其对称区间内的单调性相反;④二次函数 f(x)=ax2 +bx+c(a≠0)是偶函数,则 b=0。

(二)奇函数的性质:①奇函数的图象关于原点对称;②f(-x)=-f(x);③
奇函数的单调性在其对称区间内的单调性相同;④一次函数 f(x)=kx+b(k≠0)是 奇函数,则 b=0;⑤若 = 0 在其定义域内,则有 = 0 。 .x . . . .........f(0) . . . . . . .
例 2: 已知函数 f(x)= a x + b x+c( a ≠0)是偶函数, 则 g(x)=x + b x +cx 是_______函数。 (填奇函数、偶函数、非奇非偶函数) 【解析】 :偶函数
2 变式练习 1: 已知函数 f(x)= a x + b x+3 a + b ( a ≠0)是偶函数,且定义域为[ a -1,2 a ], 则 a =_______, b =___________。 1 【解析】 : 0 3 变式练习 2:下列函数是奇函数又是增函数的是( ) 1 3 A:f(x)=x+1 B:f(x)=-x C:f(x)= D:f(x)=x×|x| x 2 4 3 2

【解析】 :D

变式练习 3:若函数 f(x)=

( x ? 1)( x ? a ) 是奇函数,则 a =_______。 x

2

【解析】 :f(-x)=-f(x),则

(? x ? 1)( ? x ? a) ( x ? 1)( x ? a ) =- ,得 ?x x

x 2 ? (a ? 1) x ? a =- x 2 ? (a ? 1) x ? a ,故 a =-1
例 4:已知 f(x)是 R 上的奇函数,当 x≥0,f(x)=x -2x,求 f(x)的表达式。
2 ? ? x ? 2 x,x ? 0 【解析】 :f(x)= ? 2 ? ?? x ? 2 x,x ? 0

2

2 变式练习:已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ,当 x>0 时,f(x)=x -2x-3,求 f(x)的解

析式。

? x 2 ? 2 x ? 3,x ? 0 ? 【解析】 :f(x)= ?0,x ? 0 ?? x 2 ? 2 x ? 3,x ? 0 ?
例 5:已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(-1)=2,则 f(1)=_______。 【解析】 :f(1)=-2

变式练习 1:若 f(x)是 R 上的奇函数,当 x≤0,f(x)=2x2-x,则 f(1)=_________。
【解析】 :f(1)=-3
x 变式练习 2: 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x>0 时, f(x)= 2 ? 6 , 则 f[f(2)]=(

)

A:-

23 4

B:

23 4

C:-2

D:2

【解析】 :D

变式练习 3:已知 f(x)是奇函数,若 g(x)=f(x)+4,且 g(1)=2,则 f(-1)=_________。
【解析】 :f(-1)=-2

变式练习 4:若 f(x)=x5+ax3+bx-8,且 f(-2)=10,则 f(2)=_________。
【解析】 :f(2)=-26

变式练习 5:已知函数 f(x)= ln( 1 ? 4 x 2 ? 2 x) ? 3 ,则 f( lg 2 )+f( lg

1 )=__________。 2

【解析】 :令 f(x)= g ( x) ? 3 ,g(x)是奇函数,故 f(-x)= g (? x) ? 3 ,f(-x)= ? g ( x) ? 3 , 故 f(x) +f(-x) =6

例 6:已知 f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数且是减函数,满足 f(1- a )+f(1-2 a )>0,求 a 的取值范围。

3

?1 ? a ? 2a ? 1 ? 【解析】 : ?? 1 ? 1 ? a ? 1 ?? 1 ? 1 ? 2 a ? 1 ?

0?a?

2 3

例 7: 已知偶函数 f(x)在区间 ?0,??? 单调递增, 则满足 f(2x-1)<f(

1 )的 x 取值范围是 ( ) 3

1 2 , ) 2 3 1 1 2 【解析】 :︱2x-1︱< ,则 x∈( , ) A 3 3 3
A:( B:( ? ? , C:[

1 2 , ) 3 3

2 ) 3

D: (

2 ,+∞) 3

变式练习 2:设 f(x)是 R 上的偶函数,在区间(-∞,0)上是增函数,且有 f( 2a 2 ? a ? 1 )
<f( 3a ? 2a ? 1 ),求 a 的取值范围。
2

【解析】 :法一: 2a ? a ? 1 = 2( a ?
2

1 2 7 1 2 ) ? >0, 3a 2 ? 2a ? 1 = 3(a ? ) 2 ? >0 4 8 3 3

2a 2 ? a ? 1 > 3a 2 ? 2a ? 1 ,故 0< a <3
法 二 : ︱ 2a ? a ? 1 ︱ > ︱ 3a ? 2a ? 1 ︱ , 则 ( 2a ? a ? 1 ) > ( 3a ? 2a ? 1 ) ,
2 2 2 2

2

2

( 2a ? a ? 1 ) -( 3a ? 2a ? 1 ) >0,( 5a ? a ? 2 )( a ? 3a )<0,0< a <3。
2 2 2 2

2

2

变式练习 3:函数 f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞)时是增函数,若 f(1)=0,求 1 不等式 f[x(x- )]<0 的解集。 2
【解析】 :由于函数是奇函数,在(0,+∞)时是增函数,故在(-∞,0)上是增函数,∵f(1) =0,则 f(-1)=0,则 f[x(x-

1 1 )]<f(-1)或 f[x(x- )]<f(1),得 2 2
1 1 ? 17 1 ? 17 <x<0 或 <x< 2 2 2

1 1 ? ? x ( x ? ) ? ? 1 x ( x ? ) ?1 ? ? ? ? 2 2 或? ? 1 ? x( x ? ) ? 0 ? x( x ? 1 ) ? 0 ? ? 2 2 ? ?
综上所述:不等式的解集为(

?或

1 1 ? 17 1 ? 17 ,0)∪( , ) 2 2 2

例 8:已知 f(x)是定义在 R 上的函数,对于任意的 x∈R,都有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y), 且 f(x)≠0。 (1)求证:f(0)=1; (2)求证:函数 f(x)是偶函数。 【解析】 : (1)令 x=y=0,则 f(0)+f(0)=2f(0)f(0),f(x)≠0,故 f(0)=1; (2)令 x=0,则 f(0+y)+f(0-y)=2f(0)f(y),得 f(y)+f(-y)=2f(y),即 f(-y)=f(y),即 f(-x)=f(x),故函 数 f(x)是偶函数。

4

变式练习 1:若 f(x)的定义域为 R,且对任意 x、y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y)成立。
(1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若当 x>0 时,f(x)>0,判断函数 f(x)的单调性; (3)若 f(8)=4,求 f(-

1 )的值。 2

【解析】 : (1)令 x=y=0,则 f(0)=f(0)+f(0),得 f(0)=0,令 y=-x,则 f(0)=f(x)+f(- x),即 f(-x)=-f(x),故函数是奇函数。 (2)设 a > b ,则 a - b >0,则 f( a - b )>0,则 f( a )=f( b +( a - b ))=f( b )+f( a - b ),即 f( a )-f( b )=f( a - b )>0,即 f( a )>f( b )。故 f(x)在 R 上是增函数。 (3)∵f(8)=f(4)+f(4) =2f(4) =4f(2) =8f(1) =16f(

1 1 ),故 f( )= 2 2

1 1 1 ,函数是奇函数,∴f(- )=- 4 2 4
例 9: 已知偶函数 f(x)在区间 [-3, -1]上是减函数, 则 f(-3), f(1), f(2)的大小关系是____。 【解析】 :f(1)<f(2)<f(-3)

变式练习 1: 设函数 f(x)是定义在 [-6, 6] 上的奇函数,
若当 x[0,6]时,f(x)的图象如图所示,则不等式 f(x)<0 的解集为_____________。 【解析】 :(-3,0)∪(3,6)

变式练习 2: 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≥0,
时,f(x)=x -2x,则不等式 f(x)<3 的解集为____。 【解析】 :[-3,3]
2

变式练习 3:已知 y=f(x)是偶函数,y=g(x)奇函数,它们的定义域都是[-3,3],且它们
在 x∈[0, 3]上的图象如图所示, 则不等式 0 的解集是_______。 【解析】 :由奇、偶函数性质作出整个定义域内的 图象,

f ( x) < g ( x)

f ( x) <0,即 f ( x) g ( x) <0 g ( x)

故:(-2,-1)∪(0,1)∪(2,3)

5

课 后 综 合 练 习
1、若 f ( x) 是奇函数,则其图象关于( A: x 轴对称 【解析】 :C 2、已知函数二次函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)是偶函数,那么 b 的值( A:1 【解析】C 3、下列函数中为偶函数的是( A: y ? ) C: y ? x 2 D: y ? x 3 ? 1 B:2 C:0 D:不确定
2

) C:原点对称 D:直线 y ? x 对称 )

B: y 轴对称

x

B: y ? x

【解析】 :C 4、 已知函数 f ( x) ? 2 x ? a 是奇函数,则 a 的值为( A: ? 1 B: ? 2 C: 1 D:0 )

【解析】 :D 5、已知偶函数 f ( x) 在 [0, ? ] 上单调递增,则下列关系式成立的是( A: f (?? ) ? f (? )

?
2

) ? f (2)

B: f (2) ? f (? D: f ( ?

?
2

) ? f (?? )

C: f (?? ) ? f (2) ? f (? 【解析】 :C

?
2

)

?
2

) ? f (2) ? f (?? )
y 3 2

6、 若函数 y ? f ( x) 是奇函数, f (1) ? 3 , 则 f (?1) 的值为____________ 。 【解析】 :-3 7、 已知 f ( x) 是定义在 ?? 2,0? ? ?0,2? 上的奇函数, 当 x ? 0 时,f ( x) 的 图象如右图所示,那么函数值 y 的取值范围是____________。 【解析】 : ?? 3,?2? ? ?2,3?

O

2

x

8、如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是 ( ) B:增函数且最大值为-5 D:减函数且最大值为-5

A:增函数且最小值为-5 C:减函数且最小值为-5 【解析】 :B

6

9、下列函数是奇函数是( A:f(x)= x ? 2 x
2

) C:f(x)= ( )

B:f(x)= ln x

1 3

x

D:f(x)= x cos x

【解析】 :D 10、下列函数是偶函数是( A:f(x)= 2 ?
x

) C:f(x)= e cos x
x

1 2x

B:f(x)= x sin x

D:f(x)= x ? sin x
2

【解析】 :B 11、已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,则( A:f( 2
0 .7



)<f( ? log2 5 )<f( ? 3 )
0 .7

B: f( ? 3 )<f( 2 D:f( 2 A
0 .7

0 .7

)<f( ? log2 5 )

C:f( ? 3 )<f( ? log2 5 )<f( 2 【解析】 :2
0 .7

)

)<f( ? 3 )<f( ? log2 5 )

<2< log2 5 <3

12、已知 f(x)=

ax ? b 1 2 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f( )= 。 2 2 5 1? x

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)在(-1,1)上的单调性; (3)求解关于 x 的不等式:f(t-1)+f(t)<0

x 【解析】 :f(x)= 增 1? x2

?? 1 ? t ? 1 ? 1 1 ? 0<t< ?? 1 ? t ? 1 2 ?t ? 1 ? ?t ?
f ( x) ? f (? x) <0 的解集 x

13、设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式 为( ) B:(-∞,-1∪(0,1) D: (-1,0)∪(0,1)

A:(-1,0)∪(1,+∞) C:(-∞,-1∪(1,+∞) 【解析】 :

f ( x) ? f (? x) 2 f ( x) = <0,即 x ? f ( x) <0 【数形结合】 x x

D

7


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