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三角函数的基础知识复习


顺德英才教育 九年级(下)数学 三角函数

九年级(下)数学之三角函数的基础知识 年 月 日 学生姓名 出题时间 2011-12-15 主要目标
知识点:

出题人:谢芳元

所在学校 第几单元/课 第一单元第一课

所在年级班别 备课标题

三角函数的概念及性质

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一、锐角三角函数的概念
如图,在 ?ABC 中, ?C ? 90? ,我们把锐角 A 的 ①对边与斜边的比叫做 ?A 的正弦,记作 sin A , ?A的对边 a 即: sin A ? ? ; 斜边 c ②邻边与斜边的比叫做 ?A 的余弦,记作 cos A , ?A的邻边 b ? ; 即: cos A ? 斜边 c ③锐角 A 的对边与邻边的比叫做 ?A 的正切,记作 tan A , ?A的对边 a ? ; 即: tan A ? ?A的邻边 b 说明: ①当 ?A 固定时,?A 的正弦值, 余弦值,正切值,余切值都是固定的,这与 ?A 的两边长短无关. ②上面各式从整体看是一个等式,而右边是一个分式,因而具有等式、分式的性质,当已知式中 两个量时,可求第三量. 锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做 ?A 的锐角三角函数. ③由于锐角三角函数都是线段的比值,因而都是正数,而且没有单位. ④求一个角的三角函数,在初中来说只能在直角三角形里面求. 特殊角度( 30?,45?,60? )的三角函数值: 三角函数
30?
1 2
3 2 3 3

45?
2 2 2 2

60?
3 2 1 2
3

sin ?

cos?
tan?

1

锐角的三个三角函数的变化: 正弦:角度越大,正弦越大,即正弦随角度的增大而增大; 余弦:角度越大,余弦越小,即余弦随角度的增大而减小; 正切:角度越大,正切越大,即正切随角度的增大而增大;

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二、各锐角三角函数之间的关系式:

(1)互余关系: sin A ? cos(90? ? A) , cos A ? sin?90? ? A? , (2)平方关系: sin 2 A ? cos2 A ? 1 . (3)倒数关系: tan A tan(90? ? A) ? 1, . sin A (4)相除关系: tan A ? . cos A

三、解直角三角形
解直角三角形的概念: 在直角三角形中,除直角外,一共有 5 个元素,即 3 条边和 2 个锐角,由直角三角形中除直角外 的已知元素求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形. 解直角三角形的工具: 在 Rt ? ABC 中, ?C ? 90 ? , ?A , ?B , ?C 所对边分别为 a, b, c . 1、三边之间的关系: a 2 ? b 2 ? c 2 (勾股定理). 2、锐角之间的关系: ?A + ?B = 90 ? . a b a b a b 3、边角之间的关系: sin A ? , cos A ? , tan A ? , sin B ? , cos B ? , tan B ? c c b c c a 说明: ①利用这些关系,知道其中的 2 个元素(至少有一个边),就可以求出其余的 3 个未知元素. ②已知两个角不能解直角三角形,因为有两个角对应相等的两个三角形相似,不一定全等.因此 其边的大小不确定. 直角三角形解法: 直角三角形解法按除直角外已知 2 个元素的不同情况可大致分为四种类型: 1、已知一条直角边和一个锐角(如 a , ?A )其解法为: a ?B ? 90? ? ?A, c ? , b ? a ? tan B(或b ? c 2 ? a 2 ) ; sin A 2、已知斜边和一个锐角(如 c , ?A )其解法为:
?B ? 90 ? ? ?A, a ? c ? sin A, b ? c ? cos A(或b ? c 2 ? a 2 ) ; 3、已知两直角边(如 a , b ),其解法为: a c ? a 2 ? b 2 ,由 tan A ? 得?A, ?B ? 90 ? ? ?A ; b 4、已知斜边和一直角边(如 c , a ),其解法为: a b ? c 2 ? a 2 ,由sin A ? 得?A, ?B ? 90 ? ? ?A . c

在这里最重要的思想是:数型结合
典型的例题: 考点 1:已知其中一个三角函数能够,能够求出其他的三角函数; 3 例题 1 在直角三角形中,∠C=90°,sinA= ,则 cosA=______,tanA=_______;sinB=______ 5

练习:在直角三角形中,∠C=90°,tanB=

5 ,则 sinA=______,cosB=________; 12

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例题 2 在直角三角形中,∠C=90°, a ? 5, b ? 12 ,则 sinA=_______,sinB=_________;

注意分清楚那个是直角; 练习:在直角三角形中,∠A=90°, a ? 4, b ? 3 ,则 sinB=_______,tanB=_________; 例题 3:在△ABC 中,∠A=45°,AC=5,AB=8,求 tanB=?

注意我们求三角函数时,只能在直角三角形中求; 练习:在△ABC 中,∠B=30°,AB=4,BC= 5 3 ,求 tanC,sinC;

考点 2:求三角函数时,有两种方法,一种是直接在该角所在的直角三角形,另一种找一个和它相等 的角所在的直角三角形; 例题 4: 已知 Rt△ABC, ∠C=90°, 是 AB 边上的高, AB=5, CD 若 BC=4, sin∠ACD, 求 cos∠BCD;

练习:已知 Rt△ABC,∠C=90°,CD 是 AB 边上的高,若 CD=4,AD=3,求 sinA,tanB,cosA;

例题 5:在等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,求 sinB,sinC,cos

A ; 2

练习:已知等腰△ABC,AB=AC,BC=6,若 tan

A 3 = ,求 AC,及△ABC 的面积; 2 4

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考点 3:三角函数的增减性; 例题 6:已知锐角∠A>30°,则下列说法正确的是( A sinA>
3 2

) D 无法确定

B cosA<

1 2

C

sinA>

1 2

练习:1、已知 sinA>

3 ,则锐角 A 的取值范围是( 2

) D 无法确定

A 90°>A>30° B 90°>A>60° C 60°>A>30° 1 2、已知 cosB< ,则锐角 B 的取值范围是_________; 2 3、已知 sinA<sinB,则锐角 A 和锐角 B 的大小关系是_________; 4、已知 cosA>cosB,则锐角 A 和锐角 B 的大小关系是_________; 考点 4:三角函数之间的关系; 3 例题 6:若 sinA= ,则 cos(90°-A)=_______; 5 3 例题 7:若 tanA= ,则 tan(90°-A)=_______; 4 练习:1、在△ABC 中,若 sinA=cosB,则这是一个_________三角形; 2、在△ABC 中,若 tanAtanB=1,则这是一个________三角形; 3、在 Rt△ABC 中,∠C=90°,则 sinA_____cosB, tanAtanB=_____; 考点 5:计算
(1)sin230° +cos245°+ 2 sin60°·tan45°; (2)

cos 2 30? ? cos 2 60? + sin45° tan 60?? tan 30?

考点 6:解直角三角形 例题 1:在△ABC 中,∠C 为直角,AB=4,∠A =45°,解这个直角三角形.

练习.由下列条件解直角三角形:在 Rt△ABC 中,∠C=90°: (1)a=4,b=8, (2)b=10,∠B=60°(3)c=20,∠A=60°(4)a=5,∠B=35°

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【综合练习题】 1.在直角三角形中,各边都扩大 2 倍,则锐角 A 的正弦值与余弦值都( A、缩小 2 倍 B、扩大 2 倍 C、不变 D、不能确定 2.在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,下列式子不一定成立的是( ) A.sinA = sinB B.cosA=sinB C.sinA=cosB D.∠A+∠B=90° 3.直角三角形的两边长分别是 6,8,则第三边的长为( ) A.10 B.2 2 C.10 或 2 7 D.无法确定



4.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,当已知∠A 和 a 时,求 c,应选择的关系式是( ) a a a A.c = B.c = C.c = a·tanA D.c = sin A cos A tan A 1 5.已知∠A 为锐角,且 cosA≤ ,则( ) 2 A、0°≤A≤60° B、60°≤A <90° C、0°<A ≤30° D、30°≤A≤90° 6.在正方形网格中,△ABC 的位置如图所示,则 cos∠B 的值为( ) A.
1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

3 3

7.在 Rt△ABC 中,∠C=900,则下列式子成立的是( A、sinA=sinB B、sinA=cosB

) D、cosA=tanB

C、tanA=tanB

3 8. 如图, 在△ABC 中, ∠C=90°, 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D, AB 连结 BD, AD=8cm, 若 cos∠BDC= , 5

则 BC 的长是( A. 6.4cm

) 。 C. 8cm D. 10cm )

B. 6cm

9.如图,在四边形 ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,则 AB=( (A)4 (B)5 (C) 2 3 (D)
8 3 3
M C D A N B

10.等腰三角形的三边的长分别为 1、1、 3 ,那么它的底角为 A.15° B.30° C.45° 11.ABC 中,∠A=60°,AB=6 cm,AC=4 cm,则△ABC 的面积是 A.2 3 cm2 B.4 3 cm2 C.6 3 cm2 ( D.60° D.12 cm2 )

12.在菱形 ABCD 中, ?ABC ? 60? ,AC=4,则 BD 的长是
A、 8 3 B、 4 3 C、 2 3

D、 8

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13.如图,沿 AE 折叠矩形纸片 ABCD ,使点 D 落在 BC 边的点 F 处.已知 AB ? 8 , BC ? 10 ,AB=8, 则 tan∠EFC 的值为 ( ) 3 4 3 4 A. B. C. D. 5 4 3 5

A

D E

B

F
第 18 题图

C
落在 A1 处,已知 OA ? 3 , AB ? 1,

14.如图,在直角坐标系中,将矩形 OABC 沿 OB 对折,使点 A 则点 A1 的坐标是( )

15.如图,在等腰直角三角形 ?ABC 中, ?C ? 90? , AC ? 6 , D 为 AC 上一点,若 tan ?DBA ? 则 AD 的长为( A. 2 ) B. 2 C. 1 D. 2 2

1 , 5

16.如图, Rt ?ABC 中, ?C ? 90? , D 是直角边 AC 上的点,且 AD ? DB ? 2a , ?A ? 15? ,则 BC 边的 长为 . 4 17.如图 5,在矩形 ABCD 中, E 、F 、G 、H 分别为 AB 、BC 、CD 、DA 的中点,若 tan ?AEH ? , 3 四边形 EFGH 的周长为 40 ,则矩形 ABCD 的面积为 ______. 18.已知:∠ ? 是锐角, sin ? ? cos36? ,则 ? 的度数是 19.已知 ?? 为锐角,若 sin? ? cos30 0 , tan? = ;若 tan 70 0 ? tan? ? 1,则 ?? ? _______;

图5

图 12

1 AD ,则 cosC ? ____. 2 21.等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半,则底角的余弦值为______.

20.如图所示, ?ABC 中, AB ? AC , BD ? AC 于 D , BC ? 6 , DC ?

2 (2 cos 45? ? sin 90?) ? (4 ? 4? )? ? ( 2 ? 1) ?1

sin 30? ? cos60? ? tan 45? ? tan 60? ? tan 30?

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