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2008中国西部数学奥林匹克


2/1(19年第6期

39

2008中国西部数学奥林匹克
第一天
1.实数数列{n。}满足
ao≠0,1,al=1一afJ,

第二天
5.在一直线上相邻两点的距离都等于l 的pL{个点I:各有一只肯蛙,允i;,f:任意一只青

口。+I=1一n。(I—a。

)(rt=l,2,…). 证明:对任意的jF整数-rz,都仃

蛙以其余■只青蛙巾的某一只为r{?心跳到其
对称点I:.证明:无论跳动多少次后,四只青 蛙所在的点tf-卡H邻两点之l'HJ的料!离不能都等 于2
008.

n。n。…n。(去+去+…+1Ⅱ。)=1. onl…n文瓦+瓦"一+Ⅱ。J


2?

(刘诗雄供题)

(李胜宏供题) 2.如俐l。在△ABC中,AB=AC,其内切,

6.设石、Y、z∈(0,1),满足

圆④,分别切边嬲、倒、/4曰于点D、E、F,P
为El"’(不含点 D的弧)1-.一

、J j詈+q导+o导=2,
求xyz的最大值. (唐立华供题) 7.设n为给定的订j整数.求最大的正整 数k,使得仃在j个f|I非负整数组成的k冗 集
A={zl,菇2,…,z^}, B={YI,Y2,…,YI{, C={zl,。2.…,z^}

点.设线段脾
交o,于另一 点0,直线

EP、删分别
交f£线BC于 点M、/v.证明: (1)P、声1、B、M四点共圆;

满足对任意的歹(1≤歹≤k),都有 (李胜宏供题) z,+乃+刁=n. I“魁, 8.设P为证凡边形A。A:…A。内的任意

(2)型:肋. 平红边( 、≈≯l NE)题供 BP
\‘, 一


3.没整数m(m≥2),以l,a2,…。口。都魁 正整数.征明:存在无穷多个讵整数n,使得 数
al×1“+a2


一点,直线AiP(i=1.2,…,n)交iI:/1,边形
A。A:…A。的边界于另一点E.证明:

2“+…+am



m“

∑PAi≥∑PB。.
第一天
1.m条件町知

(冯志刚

供题)

都是合数.

(陈永高供题)

参考答案

4.没整数m(m≥2),Ⅱ为正实数,b为 非零实数,数列{‰}定义如下: zI=b,髫。+I=(L鬈。m+。b(凡=1.2,…). 证明:(1)?1{b<0且m为偶数时,数列 {%}订界的允要条件是础一’≥一2; (2)当b<0 H.m为奇数,或b>0时,数 列{戈。}有界的允要条件是


l—a。+I=口。(1一a。)=ana。一l(1一a。一1)
=…=o。a。一I…al(1一a J)=a。…aI
a。+I=l—on al…Ⅱ。(il,=1,2,…).
ao,

ab一一≤虹掣.


下面对n"{纳证明. 当^=l时,命题娃然成立.

假设尼=k时,命题成立.
对n=k+1的情形,有

(朱华伟付云皓供题)

万方数据

中等数学

‰¨Ⅶ…(去+去+..。+圭+去) a.…Ⅱ。(去+击+…+去)n㈧+
=no

大.闪此,足无界的. 若如一’≥一2,用iJ 1纳法证明:数列 {‰}的每一项都落在Ⅸ间f b,一b]中. 第一项b已经在Ⅸ问『b,一b]中.如果 某项X。满足b≤x。≤一b,则0≤工:’≤b”.敞
6=口×0”+b≤x。+I≤而”+b≤一6.

at)ai…口^ =仃々+}+Ⅱf)aI…n‘=1.

故命题对Ft=k+1成立. 所以.对f_E意的If!整数n,命题郝成口,

此时,数列{‰}有界的充要条件为 曲”一。≥一2. (2)当b>0时,数列{算。}的每一项都怂 讵数. 先证明:数列{x。I彳f界的充要条件是方 程O,X“+b=戈有I卜实根. 如果方程眦“+b=戈兀正实根,月|5么。 函数P(髫)=似”+b—x衿:(0,+∞)I:fI,J由专 d,fitt:大干0,/fi妨设为t.则对于数列rlI的fE 意连续『舨jsO{k、石。+.,自. z。+I一戈。=f珑?一x。+b. 故数列{算。}中后一项垒少比『j{f??项大 z.此时尤界. 如粜似…+b=戈订J1i吱根,没Ji;?di根 为工o. 接卜.束利J}j p l纳法}il-'.tiJl:数列}X。川t的 每一项郡小于‰. 函‘先筇一项b娃然小于‰.假设浆项 z。<石0'}lI删…+b住f0,+∞)f:足增函数。 知石。+I_础:7+b<似胃+b=x”斟此,数列, 有界. 而心”+b=z有证根的充要条件是 似m—t+旦在(O,+∞)一I:fi;.i最小值不大于I, 而似一1+旦的最小值叮以由平均fJ'i不等式 给出,即

2.(1)联结En由条件I叮知肼’∥BC.故
/.AP,C=[AFE=/AFp+[11FK =/PEkl+[PFE=、800一/FpE. 所以,P、F、B、M pq点≥弋网. (2)itt(I)及利用d-;g幺定理知
sin么FEN EM—sin么ENM— EN—sin/EM~一sin(耳一Z PF’B、)
BF? sin/FPB 一sin/PFB—BP’

结合lib’=liD即矢¨命题成谚. .3.取数nl+2口2+…+mt'i。的质I搏子P. dI旋15小定日!知.埘任意的k(1≤k≤ m),彳f
∥兰后(ilK’【!P).

所以,对仟意的IF整数it/,饲5有
aI×1 P+Ⅱ2×2p+…+Ⅱm×mP

兰nl+2Ⅱ2+…+mam兰0(mod P).

从巾i.数ⅡI



I 9+a2×29+…+o。×

∥。(n=l,2.…)都足合数.
4.(1)uj b<0 f-4.m为偶数时,如果

舶一‘<一2,那么,西。先有曲…+b>一b>0, 于是,n(ab”+b)”+b>ab”+b>0,即
髫3>z2>0.

利用似”+b在(0,+∞)卜瞥调增可 知.数列{%}的每一项都比前一项大,并且从 第二项起每一项都大于一b. 考察数列{%}中的连续二三项髫。、‰+,、 石。+2(凡=2,3,…),有 并。+2一石。+I=口(z:+l一髫:)

似m一?+鱼


=僦一。+赤t…+志 n石+丁i_而+-…+丁if而


=.z(戈。+l—x。)(xm::+工m。+-2I x。+…+算:-。
>口,础J::一‘(戈。+I一石。) >am(一b)“一。(x。+I一戈。) >2m(戈。+l一戈。)>戈。+l—x。.
?

这表明,数列{‰}中相邻两项的启距越来越 万方数据

铮m蒜≤-
此日寸,数列{z。}有界


≥m√芒孬石一.


m厂一;i=r一

—————_::了下————一

..

铮m√i丽二一一≤1

2009年第6期

4t

甘06一-≤垃之匕. m
当b<0,m为奇数时,令扎=?并。.则 Yl=一b>0,儿+I=町m。+(一b). 注意到{菇。}有界的充要条件是{靠}有 界,故可转化为上述情形. 综上,可知(2)成立.
Yj
2 1

因此,I|}≤【夸】“
二下面给出k:【警】4-l的例子.
若n=3m,对1≤,≤m+1,令xj=J一1, m+歹一l,刁=2m一2歹+2;对m+2≤-,≤

2m+1,令≈=_,一l,乃=J—m一2,弓=4m一 2,+3即可. 若n=3m+l,对1≤_『≤m,令≈=歹一1,

第二天
5.将青蛙放在数轴t讨论. 不妨设最初四只青蛙所在的位置为1。 2,3,4.注意到,处于奇数位置上的青蛙每次 跳动后仍处于奇数位置上,处于偶数位置上 的青蛙每次跳动后仍处于偶数位置上.因此。 任意多次跳动后,四只青蛙中总有两只处于 奇数位置上,另两只处在偶数位置上.如果若 干次跳动后,青蛙所在位置中每相邻两只之 间的距离都是2 008,则要求它们处于具有相 同奇偶性的位置上,不可能.

乃=m+歹,刁=2m一2j+2;对m+l≤歹≤2m, 令xi=歹4-1,乃=歹一m—l,弓=4m一巧+1,而 戈2。+l=m,Y2。+I.=2m+l,z2。+l=0即可. 若n=3m+2,对1≤_『≤m+1,令xi= _,一1,乃=m+J,弓=2m一巧+3;对m+2≤歹 ≤2m+l,令%=J,乃=J—rrt一2,zj=4m一 巧+4,而菇2。+2=2m+2,Y2。+2=m,z2。+2=0
即日丁.

6.记“=,磊.则由条件及均值不等式
可知

综上,k的最大值为[夸】+1.
8.记f=【号】+1,并设
A。+』=Aj(-『=1,2,…,rt). 注意到,正rt边形的任意一个顶点与边 界上任意一点之间的距离不大于其最长的对 角线的长度d.因此,对任意的i(1≤i≤n), 有

2u3=2历=i1∑^蕊
?

≤击∑型掣=T3,6一击(x+y+z)
≤掣一历.际:掣一历Mz.
故4H3+2√jⅡ2—3√j≤0,即 (2u一 ̄,j)(2M2+2√j“+3)≤o.

AiP+PB产AiBi≤d.
边,知对任意的i(1≤i≤凡),有



另一方面,由三角形两边之和大于第三

所以,“≤等.

AiP+PA…≥AiA…=d.



依此知舻≤器,等号在石=y=z=寻时
可以取到.

对式①、②分别对i=l,2,…,n求和得

≥:(AfP+朋…)≥nd
‘=I

因此,所求最大值为畚?
7.由条件可知

≥∑(A;P+船i), 即2∑PAj≥∑AiP+∑PBj.
依此可知命题成立. (朱华伟提供)

kn=∑(戤+Yi+毛)

≥3∑k-!江掣.
万方数据

2008中国西部数学奥林匹克
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 引用次数: 朱华伟

中等数学 HIGH-SCHOOL MATHEMATICS 2009,(6) 0次

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