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湖北省黄冈中学2013-2014学年高一上学期期中考试 数学试题 Word版含解析

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湖北省黄冈中学 2013-2014 学年高一上学期期中考试 数学试题(教师版)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 如右图所示, U 是全集, A 、 B 是 U 的子集,则图中阴影部分表示的集合是( ) A. A ? B C. A ? B B. B ? (? U A) D. A

? (? U B )

【答案】B 【解析】由交集、补集的定义可知选 B. 2.函数 y ? x ln(1 ? x) 的定义域为集合 A ,则集合 A ? ( A. ) D. ? 0,1?

? 0,1?

B.

? 0,1?

C.

? 0,1?

【答案】B 【解析】要使解析式有意义: ?

?x ? 0 ,解得: x ? ? 0,1? ,故选 B; ?1 ? x ? 0
) B. f ( x) ?| x | 与 g ( x ) ? D. f ( x ) ?
3

3.下列各组函数中表示同一函数的是( A. f ( x) ? x 与 g ( x ) ? ( x ) C. f ( x) ? ln e 与 g ( x) ? e
x
2

x3

ln x

x2 ?1 与 g ( x) ? x ? 1( x ? 1) x ?1

【答案】D 【解析】A、B 选项, f ( x), g ( x) 定义域不同;B 选项,值域不同或者对应关系不同. 4.函数 y ? log 2

1 , ( x ? 0) 的大致图象为( x



【答案】C 【解析】 y ? log 2

1 ? ? log 2 x ,只需将 y ? log 2 x 图像关于 x 轴作对称变换即可得到; x

5. 下列函数中,既是偶函数又在区间 ? 0, ?? ? 上单调递减的是( A. y ?

) D. y ? lg | x |

1 x

B. y ? e

?x

C. y ? ? x ? 1
2

【答案】C 【解析】由“偶函数”条件,可以排除 A,B;由“在区间 ? 0, ?? ? 上单调递减”可以排除 D; 故选 C; 6.已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f (?1) ? g (1) ? 2, f (1) ? g (?1) ? 4 ,则 g (1) ? ( A. 4 ) B. 3 C. 2 D. 1

【答案】B 【解析】? f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,? f (?1) ? ? f (1), g (?1) ? g (1)

?? f (1) ? g (1) ? 2 ? f (1) ? 1 ,解方程可得: ? ?由题可得: ? ? f (1) ? g (1) ? 4 ? g (1) ? 3
7.已知 x, y 为正实数,则( A. 2lg x?lg y ? 2lg x ? 2lg y C. 2lg x ?lg y ? 2lg x ? 2lg y 【答案】D 【解析】由对数、指数运算性质可知选 D;
?3.71, (0 ? m ? 4) ? 8. 拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的话费由 f (m) ? ? 给出, 其中 ? m? 是 ?1.06?(0.5 ? m ? ? 2), ( m ? 4) ? 不超过 m 的最大整数,如: ?3.74? ? 3 ,从甲地到乙地通话 5.2 分钟的话费是( ) A. 3.71 B. 4.24 C. 4.77 D. 7.95 【答案】C

) B. 2lg? x ? y ? ? 2lg x ? 2lg y D. 2lg? xy ? ? 2lg x ? 2lg y

【解析】 f (5.2) ? 1.06 ? (0.5 ? ?5.2? ? 2) ? 4.77 9.集合 A ? x ? R ax ? ax ? 1 ? 0 的子集只有 2 个,则 a ? (
2

?

?

) D. 0 或 4

A. 4 【答案】A

B. 2

C. 0

【解析】集合 A 子集只有 2 个,则集合 A 中元素只有一个,方程 ax ? ax ? 1 ? 0 只有一个
2

根;当 a ? 0 ,不合题意;当 a ? 0 , ? ? a ? 4a ? 0 ,解得: a ? 0(舍)或a ? 4 ;故选 A.
2

10.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间 [0, ??) 单调递减. 若实数 a 满足

f (log2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (1) ,则 a 的取值范围是(
2

) D.
? 1? ? 0, ? ? ? 2, ?? ? ? 2?

A. ? 2, ?? ? 【答案】D 【 解 析 】

B.

1? ? ? ??, ? ? ? 2, ?? ? 2? ?

?1 ? C. ? , 2 ? ?2 ?

f (log2 a) ? f (log 1 a) ? f (log2 a) ? f (? log2 a) ? 2 f (log2 a) ? 2 f (1) , 所 以
2

,所以 f ( l 2 o ) g f (1) 由“函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间 [0, ??) 单调递减” a ?
log 2 a ? 1 ,即 log 2 a ? 1, 或 log 2 a ? ?1 ,所以 a ? 2, 或0 ? a ?

1 ;故选 D 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

11.函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的反函数的图象过点 (9, 2) ,则 a 的值为_______.
x

【答案】3 【解析】由题知: 12.计算 3 【答案】0 【解析】 3
log3 4

y ? a x 图象过点 (2,9) ,则 a 2 ? 9 ,又 a ? 0 ,所以 a ? 3 .
2 3

log 3 4

? 27 ? lg 0.01 ? ln e 3 ? _______.

? 27 3 ? lg 0.01 ? ln e3 ? 4 ? 3

2

3?

2 3

? lg(10)?2 ? 3

? 4?9? 2?3 ? 0
13.已知函数 f ( x) 的图象如右图所示,则此函数的定义域是 ________,值域是_______. 【答案】 ? ?3,3? , ? ?2, 2? 【解析】由图像可知;

B 14. 给定集合 A 、 , 若 B 定义 A※B ? x x ? m ? n, m ? A, n ? B , A ? ?4,5, 6? , ? ?1, 2,3?
则集合 A※B 中的所有元素之和为_______. 【答案】15 【解析】A※B ? ?1, 2,3, 4,5? ,元素之和为 15;

?

?

a2 ? 13 ,若 15.设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? x

f ( x) ? a ? 1对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为_______.
【答案】 a ? ?2

? a2 9 x ? ? 13, x ? 0 ? x ? ? x ? 0 ; ? f ( x) ? a ? 1 对一切 x ? 0 【解析】 ? f ( x) 解析式为:f ( x ) ? ?0, 因为 y ? 2 ?9 x ? a ? 13, x ? 0 ? x ?
成立,?当x ? 0时,f (0) ? 0 ? a ? 1,? a ? ?1 ;?当x ? 0时,f ( x) ? a恒成立 ?

f ( x)min ? a , 而x>0时,f ( x) min ? f (

a2 ) ? 2 9a 2 ? 13 ? 6 a ? 13 ,由 a ? ?1 ,所以 9

f ( x)min ? ?6a ? 13 ? a ? 1 ,解得 a ? ?2 ;
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)设集合 A ? ? x x是小于6的正整数? , B ? x ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,

?

?

C ? ? x (m ? 1) x ? 1 ? 0? ;
(1)求 A ? B , A ? B ; (2)若 B ? C ? C ,求由实数 m 为元素所构成的集合 M . 解: (1) A ? ? x x是小于6的正整数? ? ?1, 2,3, 4,5? , B ? ?1, 2?

A ? B ? ?1, 2? , A ? B ? ?1, 2,3, 4,5? ;????????????????????(6
分) (2)? B ? C ? C ,?C ? B 当 C ? ? 时,此时 m ? 1 ,符合题意;????????????????????(8 分)

当 C ? ? 时, m ? 1,此时 C ? ? x x ? 解得: m ? 2或

? ?

1 ? 1 ? 1或2 ; ? ,? C ? B ,? m ? 1? m ?1

3 2
? ? 3? 2?

综上所述:实数 m 为元素所构成的集合 M ? ?1, 2, ? ?????????????(12 分) 17.(本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? log 2 (1)求 f ( x) 的定义域和值域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性并证明.

x ?1 ; x ?1

x ?1 ? 0 ,解得: x ? ?1, 或x ? 1 ; x ?1 所以定义域为 ? ??, ?1? ? ?1, ?? ? ???????????????????????(3
解: (1)由题可得: 分) 设u ?

x ?1 2 ,当 x ? ? ??, ?1? ? ?1, ?? ? 时, u ? ? 0,1? ? ?1, ?? ? ? 1? x ?1 x ?1 ? y ? log 2 u ? ? ??, 0 ? ? ? 0, ?? ?

? f ( x) 值域为 ? ??, 0 ? ? ? 0, ??? ??????????????????????(6
分) (2) f ( x) 的定义域关于原点对称;

x ?1 ?x ?1 ? log 2 x ?1 ? x ?1 x ?1 x ?1 ? log 2 ? log 2 x ?1 x ?1 x ? 1 x ?1 ? log 2 ( ? ) ? log 2 1 ? 0 x ?1 x ? 1 ? f (? x) ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 为奇函数;???????????????????(12 f ( x) ? f (? x) ? log 2
分)

18.(本小题满分 12 分)已知定义域为 R 的函数 (1)求实数 b 的值; (2)判断并证明函数 f ? x ? 的单调性;

f ( x) ?

?2 x ? b 是奇函数; 2 x ?1 ? 2

(3)若关于 x 的方程 f ? x ? ? m 在 x ? ? 0,1? 上有解,求实数 m 的取值范围. 解: (1)?

f ( x) 为奇函数? f (0) ? 0 ,此时有 f (0) ?

?1 ? b ? 0 ,解得 b ? 1; 4

??????????????????????(4 分) (2)由(1)知: f ? x ? ?

?2 x ? 1 1 2 ? ?(?1 ? x ) x ?1 2 ?2 2 2 ?1

任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ,则

1 2 1 2 f ? x2 ? ? f ( x1 ) ? ?(?1 ? x2 ) ? ?(?1 ? x1 ) 2 2 ?1 2 2 ?1 1 2 2 2 x1 ? 2 x2 ? ( x2 ? x1 ) ? x1 2 2 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 x2 ? 1)
? x1 ? x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 0, 2 x1 ? 1 ? 0, 2 x2 ? 1 ? 0 ? f ? x2 ? ? f ( x1 ) ? 0 即? f ? x2 ? ? f ( x1 )

? f ? x ? 为减函数;?????????????????????????????(8
分) (3)由(2)知: f ( x) 为减函数;

1 ? 1 ? x ? ? 0,1? 时, f ( x)max ? f (0) ? 0 , f ( x) min ? f (1) ? ? ;故 f ( x) ? ? ? , 0 ? 6 ? 6 ?
? 1 ? ? 关于 x 的方程 f ? x ? ? m 在 x ? ? 0,1? 上有解,所以只需要 m ? ? ? , 0 ? ?????(12 ? 6 ?
分) 19. (本小题满分 12 分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产一台仪

1 2 ? ?400 x ? x ,0 ? x ? 400 器需增加投入 100 元,已知总收益满足函数: R ( x) ? ? ,其 2 ?80000 , x ? 400 ?
中 x 是仪器的产量; (1) 将利润 f (x) 表示为产量 x 的函数(利润=总收益-总成本) ; (2) 当产量 x 为何值时,公司所获利润最大?最大利润是多少元? 解(1)当 0 ? x ? 400 时,

f ( x) ? 400 x ?
当 x ? 400 时

1 2 1 x ? 100 x ? 20000 = ? x 2 ? 300 x ? 20000 ; 2 2

f ( x) ? 80000 ? 100 x ? 20000 ? 60000 ? 100 x
? 1 2 ?? x ? 300 x ? 20000 ,0 ? x ? 400 所以所求 f ( x) ? ? 2 ??????????????(6 ?60000 ? 100 x, x ? 400 ?
分) (2)当 0 ? x ? 400 时

f (x) ? ?

1 2 1 x ? 300 x ? 20000 ? ? ( x ? 300 ) 2 ? 25000 2 2

当 x ? 300 时, f max ( x) ? 25000 当 x ? 400 时

f ( x) ? 60000 ? 100 x ? f (400 ) ? 20000 ? 25000
所以当 x ? 300 时, f max ( x) ? 25000 答:当月产量 x 为 300 台时,公司获利润最大,最大利润为 25000 元???????(12

分) 20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ax ? bx ? c(a, b, c ? R, a ? 0) , 对任意的 x ?R ,
2

都有 f ( x ? 4) ? f (2 ? x ) 成立; (1)求 2a ? b 的值; (2)若 a ? 1 , f (0) ? 2 , f ( x) 在区间 ?t , t ? 1? (t ? R ) 上的最小值为 2,求 t 的值; (3)若函数 f ( x) 取得最小值 0,且对任意 x ?R ,不等式 x ? f ( x) ? ( 函数 f ( x) 的解析式. 解: (1)由 f ( x ? 4) ? f (2 ? x ) 有 a( x ? 4) ? b( x ? 4) ? c ? a(2 ? x) ? b(2 ? x) ? c
2 2

x ?1 2 ) 恒成立,求 2

整理即得: ax ? (b ? 8a) x ? 16a ? 4b ? ax ? (b ? 4a) x ? 4a ? 2b
2 2

?上式对于任意 x ?R 都成立
?b ? 8a ? ?(b ? 4a ) ?有 ? ,可得 2a ? b ?16a ? 4b ? 4a ? 2b

? 2a ? b ? 0 ???????????????????????????????(4
分) (2)由(1)知: 2a ? b ,又 a ? 1, f (0) ? 2 ,可求得 f ( x) ? x ? 2 x ? 2
2

二次函数 f ( x) 的对称轴为: x ? ?1 ; 当 t ? 1 ? ?1时,则 t ? ?2 , 此时函数 f ( x) 在 x ? ?t , t ? 1? 上为减函数,

f ( x)min ? f (t ? 1) ? t 2 ? 4t ? 5 ? 2 ,解得 t ? ?1或-3
又由 t ? ?2 ,可得 t ? -3 当 t ? ?1 ? t ? 1 时,则 ?2 ? t ? ?1, 此时, f ( x)min ? f (?1) ? 1 ? 2 ,故不符合题意; 当 t ? ?1 时, 此时函数 f ( x) 在 x ? ?t , t ? 1? 上为增函数,

f ( x)min ? f (t ) ? t 2 ? 2t ? 2 ? 2 ,解得 t ? 0或-2
又由 t ? ?1 ,可得 t ? 0 综上: t ? 0或 ? 3 ?????????????????????????????(9 分)

(3) 由(1) ,可设 f ( x) ? ax ? 2a ? c
2

?函数 f ( x) 取得最小值 0,? f ( x) min ?
? f ( x) ? ax 2 ? 2ax ? a

4ac ? (2a) 2 ? 0 ,即得: c ? a 4a

方法一:由题:对任意 x ?R ,不等式 x ? ax 2 ? 2ax ? a ? (

x ?1 2 ) 恒成立;也即: 2

?ax 2 ? (2a ? 1) x ? a ? 0 ? ? 2 ?(4a ? 1) x ? (8a ? 2) x ? 4a ? 1 ? 0 ?
2

(1) (2)
2

恒成立;

不等式(1)恒成立,可得 ?1 ? (2a ? 1) ? 4a ? 0 ,解得: a ?
2

1 4
2

不等式(2)恒成立, (4a ? 1) x ? (8a ? 2) x ? 4a ? 1 ? (4a ? 1)( x ? 1) ? 0 恒成立,可得:

a?

1 4 1 4

综合可得: a ?

? f ( x) ?
方法二:

1 2 1 1 x ? x? 4 2 4 x ?1 2 ) 恒成立 2

?对任意 x ?R ,不等式 x ? f ( x) ? (

1?1 2 ) ,即 1 ? f (1) ? 1,? f (1) ? 1 ? x ? 1 时,有 1 ? f (1) ? ( 2
? f (1) ? a ?12 ? 2a ? a ? 4a ? 1 ,解得 a ?
此时 f ( x) ?

1 4

1 2 1 1 x ? x? 4 2 4 1 2 1 1 x ?1 2 x ? x? ?( ) 恒成立; 4 2 4 2

经检验:对任意 x ?R ,不等式 x ?

? f ( x) ?
分)

1 2 1 1 x ? x ? ??????????????????????????(13 4 2 4

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) 的定义域为 R ,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 1 ,且对任意

a, b ? R 的,恒有 f (a ? b) ? f (a ) ? f (b) ;

(1) 求 f (0) 的值; (2) 求证: f ( x )在(-?,?) + 上为增函数; (3) 若 f (1)=2, ? A

?? m, n? f ? n? ? f ? 2m ? m ? ?
2

2,m, n ?Z ,

?

B?

?? m, n ? f ? n ? m ? ? 16, m, n ? Z? ,求 A I

B.

解: (1)方法一:令 a ? 0, b ? 0, 则 f (a) ? f (a)?f (0), 由题 f (0) ? 1 方法二:令 a ? 1, b ? 0, 同理可得 f (0) ? 1 ???????????????????(2 分) (2) 令x ? 0, 则 ? x ? 0,? f (? x) ? 1,

?1 ? f (0) ? f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x), ? f ( x) ? 1 ;? f (? x) ? 1,? f ( x) ? (0,1) f (? x)

结合(1)及条件可知: x ? R时,f ( x) ? 0 ???????????????????(4 分) 设 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 , 则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ? ( x2 ? x1 ) ? x1 ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 )?f ( x1 ) ? f ( x1 )?1 ? f ( x2 ? x1 ) ? ? ? x1 ? x2 ,? x2 ? x1 ? 0,? f ( x2 ? x1 ) ? 1,?1 ? f ( x2 ? x1 ) ? 0
又由前可知: f ( x1 ) ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即f ( x1 ) ? f ( x2 )

? y ? f ( x)在R上为增函数; ????????????????????????(9
分) (3)由 f (1) ? 2,得f ( ? ) ? f ( ) ? 2
2

1 2

1 2

1 2

1 ? x ? 0时f ( x) ? 1,? f ( ) ? 2.而f (n) ? f (2m ? m 2 ) ? 2 2 1 ? f (n ? 2m ? m 2 ) ? f ( ), 又f ( x)在R上为增函数, 2

? n ? 2m ? m 2 ?

1 2
2 4



? 又 f (4) ? f (2) ? f (2) ? f (2) ? f (1)=16, f (n ? m) ? 16 ? f (4)

? 而 f ( x)在R上为增函数, n ? m ? 4



代②入①可解得:

3 ? 23 3 ? 23 ?m? , 由 m, n ? Z 得 m ? 0,1, 2,3 2 2

从而由②可得: n ? 4,5, 6, 7,? A ? B ? ?(0, 4), (1,5), (2, 6), (3, 7)? ?????????(14 分)


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