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等差数列及其前n项和》(48ppt)


[2012· 龙岩质检] 已知数列{an}的首项 a1=1, 1 x 且点(an,an+1)在函数 f(x)= 的图象上,bn=a (n∈ 4x+1 n ? 点N*). 面 (1)求证: 数列{bn}是等差数列, 并求数列{an}, {bn} 讲 考的通项公式; 点 (2)试问数列{an}中 ak· ak+1(k∈N*)是否仍是{an}中的 项?如果是,请指出是数列的第几项;如果

不是,请说 明理由.

例1

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一、复习 已知等差数列{an}的前n项和Sn ,且a 2=7, S4=24 . 求数列{︱an ︱}的前n项和Tn .

已知数列?an ? 的前n项和S n ? ?2n 2 ? n ? 2.

?2?判断?an ?是否为等差数列? ?an ?的前n项和S n , 求?an ?通项公式 练习: 已知下面各数列
1 、S 2、S
n n

(1)求?an ? 的通项公式

? 2n 2 ? 3n; ? 3n ? 2

变式探究 2 设数列{an}中,Sn 是数列{an}的前 n 项和,a1 2 2Sn 1 =1,且 an= (n≥2).证明数列{S }是等差数列,并求 Sn. 2Sn-1 n

2S2 n 解析:由已知得 Sn-Sn-1= . 2Sn-1 2 去分母得(2Sn-1)(Sn-Sn-1)=2Sn ,Sn-1-Sn=2SnSn-1, 1 1 两边同除以 SnSn-1,得S - =2. S n n-1 1 1 1 ∴{ }是以 = =1 为首项、以 2 为公差的等差数列,故 Sn S1 a1 1 1 2=2n-1(n≥2). Sn=S1+(n-1)· 1 经验证 n=1 时也成立,所以 Sn= (n∈N*). 2n-1

题型三 等差数列的性质及其应用 例 3(1)设等差数列的前 n 项和为 Sn,已知前 6 项和为 36, Sn=324,最后 6 项的和为 180(n>6),求数列的项数 n 及 a9+ a10; Sn (2)等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,且T = n 3n-1 a8 ,求b 的值. 2n+3 8

Sn 3n-1 (2)∵T = , 2n+3 n S15 3×15-1 44 4 ∴T = =33=3. 2×15+3 15 15?a1+a15? ∵S15= =15a8, 2 15?b1+b15? T15= =15b8, 2 a8 15a8 S15 4 ∴b =15b =T =3. 8 8 15

点评:此类问题解法的关键是将性质 m+n=p+q?am+ n?a1+an? an=ap+aq 与前 n 项和 Sn= 结合在一起,采用整体思 2 想,简化解题过程.

变式探究 3 (1)等差数列{an}中, a2+a7+a12=24, 求 S13; (2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 377,项数 n 为奇数, 且前 n 项奇数项和与偶数项和之比为 7∶6,求中间项.

解析:(1)∵a2+a12=a1+a13=2a7, 又 a2+a7+a12=24,∴a7=8. 13?a1+a13? ∴S13= =13×8=104. 2 (2)∵n 为奇数, S奇 n+1 7 ∴ = = ,∴n=13. S偶 n-1 6 ∵13a7=S13=377,∴a7=29. 故所求的中间项为 29.

解析:(1)由题意可知 a1+a2+…+a6=36① an+an-1+an-2+…+an-5=180② ①+②得 (a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216, ∴a1+an=36. n?a1+an? 又 Sn= =324. 2 ∴18n=324. ∴n=18. ∴a1+a18=36. ∴a9+a10=a1+a18=36.

题型四 等差数列前 n 项和的最值问题. 例 4 已知数列{an}满足 2an+1=an+an+2(n∈N*),它的前 n 1 项和为 Sn,且 a3=10,S6=72.若 bn=2an-30,求数列{bn}的 前 n 项和的最小值.

解析:∵2an+1=an+an+2,∴{an}是等差数列, 设{an}的首项为 a1,公差为 d, ? ?a1+2d=10, 由 a3=10,S6=72,得? ? ?6a1+15d=72,
? ?a1=2, ∴? ? ?d=4,

∴an=4n-2.

1 则 bn= an-30=2n-31. 2 ? ?2n-31≤0, 29 31 ? 解 得 2 ≤n≤ 2 . ? ?2?n+1?-31≥0, ∵n∈N*,∴n=15. ∴{bn}前 15 项为负值,∴S15 最小, 可知 b1=-29,d=2, 15?-29+2×15-31? 15×?-60+30? ∴S15= = =-225. 2 2

点评:若{an}是等差数列,求前 n 项和的最值时,①若 a1 ? ?an≥0, >0,d<0,且满足? 前 n 项和 Sn 最大;②若 a1<0, ? ?an+1≤0,
? ?an≤0, d>0,且满足? ? ?an+1≥0,

前 n 项和 Sn 最小;③除上面方法外,

还可将{an}的前 n 项和的最值问题看作 Sn 关于 n 的二次函数问 题,利用二次函数的图象或配方法求解.

变式题 (1)[2012· 郑州质检 ] 在等差 1 数列{an}中,a8=2a11+6,则数列{an}的 ?点 前 9 项和 S9 等于( ) 面 A.24 B.48 讲 C.72 D.108 考 (2)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 点 若 S4≥10 , S5≤15 ,则 a4 的 最 大 值 为 ________.

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变式探究 4 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3= 12,S12>0,S13<0. (1)求公差 d 的取值范围; (2)指出 S1、S2、…、S12 中哪一个值最大,说明理由.

?a3=a1+2d=12, ? ?S =12a +12×11d>0, 1 2 解析:(1)由? 12 ? 13×12 ?S13=13a1+ d<0, 2 ? 24 得- 7 <d<-3. (2)∵S12=6(a1+a12)=6(a6+a7)>0, 13?a1+a13? S13= =13a7<0, 2 ∴a6>0 且 a7<0,故 S6 最大.

归纳总结 ?方法与技巧 1.等差数列的判断方法有 (1)定义法:an+1-an=d(d 是常数)?{an}是等差数列. (2)等差中项法: 2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q 为常数)?{an}是等差数列. (4)前 n 项和公式:Sn=An2+Bn(A、B 为常数)?{an}是等 差数列. 2.方程思想和基本量思想:在解有关等差数列的问题时 可以考虑化归为 a1 和 d 等基本量,通过建立方程(组)获得解.


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