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高中数学椭圆课件


椭圆

一.椭圆定义
第一定义:

平面内与两个定点F1、F2的距离的 和等于常数(大于∣F1F2∣)的点的 轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点 ,两焦点的距离叫椭圆的焦距.

注意:|PF1|+|PF2|=2a>2c

第二定义:到定点的距离和到定直线 的距离之比是常数:e=c/

a(0<e<1) 的点的轨迹. PF2 =e PQ

二.椭圆的标准方程
(1).焦点在x轴

x y ? 2 =1(a ? b ? 0) 2 a b
(2).焦点在y轴

2

2

y x ? = 1 ( a ? b ? 0 ) 2 2 a b 看分母大小

2

2

三.椭圆的几何性质
标准方程

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
A1 ? B2 y ? O ? B1 A2 ?x

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a bA y
2

?

图 形

B1

?

O
? A1

B2 ?

x

焦点坐标 范 围 对称性 顶 点

(-c,0)和(c,0) (0,-c)和(0,c) ? a ? x ? a, ? b ? y ? b ? a ? y ? a, ? b ? x ? b
坐标轴是对称轴; 原点是对称中心,叫椭圆的中心.

(±a,0)和(0,±b)

(±b,0)和(0,±a)

A1A2叫长轴, B1B2叫短轴, 且|A1A2|=2a, |B1B2|=2b

离心率

e=c/a(0<e<1,且e越小,椭圆越接近圆)

三.椭圆的几何性质
标准方程
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
B2 y

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a
A2 y ?
F2

图 形

A1

?

?

? B1

O F2
2

?x

A2

B1

?

O
? A1

B2 ?

x

准线

a x?? c B y
2

a2 y?? c

焦 三 角

A1

?

? F O F ?x 2 1 B?
1

P

A2

如图:△PF1F2称作焦三角形

1.若|MF1|+ |MF2|=2a(2a是常数) 椭圆 当2a>|F1F2|时,点M的轨迹是________ ; 线段F1F2 ; 当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是________ 不存在 当2a<|F1F2|时,点M的轨迹是________. 2.标准方程 求椭圆标准方程的方法: x2 y2 ----------待定系数法. 焦点在 ? 2 ?1 2 x 轴上 a b 求椭圆标准方程的步骤: 2 2 y x (1)确定焦点位置,设椭圆 焦点在 ? 2 ?1 2 y 轴上 的标准方程 a b (a>b>0,且c2=a2-b2) (2)求a,b(常建立方程 组) (3) 下结论

( (

) )

1. 判断下列方程是否表示椭圆, 若是, 求出 a, b, c. x2 y2 (1) ? ? 1 (不是) 22 22 x y (2) ? ? 1 (是, a=2,b=c= 2) 4 2 2+By2 =1在 2 2 注 : 方程 Ax x y (3) ? ? 1 (不是) A,B>0 且A≠B时表示椭圆. 4 2 (4) 4y2+9x2 =36 (是, a=3,b=2,c= 5 )
x2 y2 ? ? 1 表示椭圆 焦点在 (5)若 , x轴上的椭圆 24 ? k 16 ? k

则k的取值范围是(____________. (-16,4) 16,4)∪(4,24) 2.若动点M到F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为2,则M的轨迹是__ A.椭圆 B.直线F1F2 C.线段F F D.直线F F 的中垂线

复习检测
(0,8),(0,-8) y x 10 8 16 1.已知椭圆 ? ? 1,则a ? __;c ? __;焦点_____; 焦距 ? ____ 100 36 x2 y2 14 2.已知椭圆 ? ? 1, 它上点P到F 则|PF2 |? __ 1距离为6, 100 36
2 2

a=10,2a=20,20-6=14 x y 或3 3.椭圆 ? ? 1的焦距2, 则m ?5 ___ m 4 4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: x2 y2 (1) 与 椭 圆 ? ? 1共 焦 点 ,且 过 点 M (0,?2); 9 5 (2) 经过点 P1 ( 6 ,1), P2 (? 3 ,? 2 ). 注:1.当焦点位置不确定时,应分类讨论; 2.椭圆的一般方程为mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n)
2 2

基础练习: 1. 若椭圆的两焦点将长轴三等分,那 么两准线间距离是焦距的 ( ) C
A.18倍 B 12倍 C 9倍 D 4倍

2.若椭圆的焦点在x轴上,焦点到短轴顶 点的距离为2,到相应准线的距离为3, 则椭圆的标准方程为 . 2 2 x /4+y /3=1

3.求适合下列条件的椭圆的离心率 (1) 椭圆的两焦点把椭圆的对称轴上 夹在两准线间的线段三等分。

3/3
(2)椭圆短轴的一个端点看长轴两 个端点的视角为1200 6 4. 已 知 椭 圆 经 过 原 点 , 并 且 焦 点 为 F1(1,0),F2(3,0),则其离心率为_______ 1/2

3

5.椭圆mx ? ny ? mn ? 0
2 2

(m ? n ? 0)的焦点坐标是( C ) A.(0,? m ? n ) B.(? m ? n ,0) C.(0,? 2 n ? m2) D.(? n ? m ,0) x y 6.椭圆 2 ? 2 ? 1的焦点为F1 (?c,0)、 5 4 F2 (c,0),AB是椭圆的焦点F1的弦, 则△ ABF2的周长是( A ) A.20 B.16 C.12 D.10

x y 7.椭圆 ? ? 1上有点P,到左准线的 25 9 A 距离等于2.5,那么P到右焦点的距离是() 25 9 15 A.8 B. C. D. 6 2 8
2 2

2

2

x y 8.方程 ? ? 1表示椭圆的充要 K ?3 5? K (3,4) ? (4,_ 5) 条件是 __________

题型1.椭圆的定义与方程
例1.已知动圆P过定点A(-3,0),并且在圆B: (x-3)2+y2=64的内部与其相内切,求动圆圆 心P的轨迹方程. y

x y ? ?1 16 7

2

2

P A O B x

题型2.椭圆的几何性质(焦三角形中的问题)

例1.已知点P是以F1,F 2为焦点的 x y 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)上的一点, a b 1 若 PF1 ? PF2 ? 0, tan ?PF1 F2 ? , 2 5 则此椭圆的离心率为 ___
3
2 2

练习: 考例2的变式;

题型2.椭圆的几何性质(焦三角形中的问题)

例 2 .已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点, P 为椭圆上一点,∠F1PF2=600 (1)求椭圆离心率的范围. (2) 求证△ F1PF2 的面积只与椭圆的短轴 长有关.
x 2 4.椭圆 ? y ? 1的焦点为F1 , F2 , 点P为其上一点, 4 且?F1 PF2 ? 60?, 则?F1 PF2的面积是 _________;
2

题型3.椭圆中的最值

x y 例. 在椭圆 ? ? 1上求一点P, 16 9
使它到直线L:3x+4y-50=0的距离最大 或最小,并求出这个最大最小值。 变式. (1)求3x+2y的最大值; (2)求x2+y2的最大值.
小结:1).三角法 2).转为二次函数(注意变量范围) 3).数形结合

2

2

题型六、最值问题(范围问题) 小结: 1 .三角代换,转化为三角函数求最值; 2 .转化为二次函数求最值(注意自变量的范围); 3. 数形结合求最值: 利用第一或第二定义、利用三角形不等式、利 用边界点或线、利用光线路径最短(对称) 4. 利用隐含的不等关系,如均值不等式,点在 椭圆内,判别式△等

F是椭圆的右焦点,在椭圆上有一点 M,使
1 变式:⑴若 2|MP|+|MF|的最小值?

x y ? ? 1 内有一点 P(1,-1) , 1.已知椭圆 4 3

2

2

|MP|+2|MF|的值最小,求M 的坐标.

⑵ |MP|-|MF|的值最小
(3) |MP|+|MF|的值最小

(4)|MF|的最小值
(5)MA|的最小值,其中A(0.5,0)

题型3.椭圆中的最值

1.已知F是椭圆5 x ? 9 y ? 45的右焦点,
2 2

P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点, 3 求 | PA | ? | PF | 的最小值。 2
2.P193.考例4变式

题型3.椭圆中的最值

3、设p(x,y)是椭圆

x2 y2 ? ?1 64 28

上的一点,F1为左焦点,求 PF1 的最大 值和最小值.


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