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高中数学选修4-4导学案


高中高二数学选修 4-4 导学案

新课标人教 A 版选修 4-4 第一讲 坐标系 导学案 §4.1.1—第一课 平面直角坐标系
本课提要:本节课的重点是体会坐标法的作用,掌握坐标法的解题步骤,会运用坐标法解决实 际问题与几何问题.

一、 课前小测

?温故而知新

1.到两个定点 A(-

1,0)与 B(0,1)的距离相等的点的轨迹是什么?

2.在⊿ABC 中,已知 A(5,0) ,B(-5,0) ,且 AC ? BC ? 6 ,求顶点 C 的轨迹方程.

二、典型问题

?重点、难点都在这里

【问题 1】 :某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观 测点同时听到一声巨响,正东观测点听到巨响的时间比它们晚 4s.已知各观测点到中心的距离 都是 1020m.试确定巨响发生的位置.(假定声音传播的速度为 340m/s,各观测点均在同一平面 上.) (详解见课本)

【问题 2】 :已知⊿ABC 的三边 a, b, c 满足 b 2 ? c 2 ? 5a 2 ,BE,CF 分别为边 AC,AB 上的中线, 建立适当的平面直角坐标系探究 BE 与 CF 的位置关系.

三、技能训练

?懂了,不等于会了

4.两个定点的距离为 6,点 M 到这两个定点的距离的平方和为 26,求点 M 的轨迹.

5.求直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 与曲线 y ?

1 的交点坐标. x

6.已知 A(-2,0) ,B(2,0) ,则以 AB 为斜边的直角三角形的顶点 C 的轨迹方程 是 . 8.已知 A(-3,0) ,B(3,0) ,直线 AM、BM 相交于点 M,且它们的斜率之积为 点 M 的轨迹方程是 .

4 ,则 9

高中高二数学选修 4-4 导学案

平面直角坐标系中的伸缩变换
【基础知识导学】 1、 坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。 2、 “坐标法”解析几何学习的始终,同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至 终强化这一思想方法。 3、 坐标伸缩变换与前面学的坐标平移变换都是将平面图形进行伸缩平移的变换,本质是一样 的。 知识要点归纳】 思考 1:怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=sin2x?

坐标压缩变换: 设 P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持纵坐标不变,将横坐标 x 缩为原来 1/2,得到

? ' 1 ?x ? x ? 2 点 P’(x’,y’).坐标对应关系为: ? y ' ? y 通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。 ?
思考 2:怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=3sinx?写出其坐标变换。

设 P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持横坐标 x 不变,将纵坐标 y 伸长为原来 3 倍,

? x' ? x ? ' 得到点 P’(x’,y’).坐标对应关系为: ? y ? 3 y 通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变
换。

思考 3:怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。

定义: 设 P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点, 在变换 ? : ?

? x ' ? ?x, (? ? 0)
' ? y ? ?y, ( y ? 0)

的作用下, 点 P(x,y)

对应 P’(x’,y’).称 ? 为平面直角坐标系中的伸缩变换。

【典型例题】 在同一直角坐标系中,求满足下列图形变换的伸缩变换。 将直线 x ? 2 y ? 2 变成直线 2 x? ? y ? ? 4 ,

分析:设变换为 ?

? x? ? ? ? x, (? ? 0), 可将其代入第二个方程,得 2?x ? ?y ? 4 ,与 x ? 2 y ? 2 ? y ? ? ? ? y, ( ? ? 0),

比较,将其变成 2 x ? 4 y ? 4, 比较系数得 ? ? 1, ? ? 4.

【解】(1) ?

? x? ? x ,直线 x ? 2 y ? 2 图象上所有点的横坐标不变,纵机坐标扩大到原来的 4 ? y? ? 4 y

倍可得到直线 2 x? ? y ? ? 4 。

达标检测 A1.求下列点经过伸缩变换 ?

? x' ? 2 x 后的点的坐标: ? y' ? 3 y

(1) (1,2) ; (2) (-2,-1)

A2.点 ( x, y ) 经过伸缩变换 ?

1 ? ? x' ? x ,则 x ? 2 后的点的坐标是(-2,6) ? ? y' ? 3 y

,y ?



A3.将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是( )

? x' ? ? ? A. ? ? y' ? ? ?

2 x 3 3 y 2

? x' ? ? ? B. ? ? y' ? ? ?

3 x 2 2 y 3

C. ?

? x' ? y ? y' ? x

D. ?

? x' ? x ? 1 ? y' ? y ? 1

A4.将直线 x ? 2 y ? 2 变成直线 2 x'? y ' ? 4 的伸缩变换是

.

B6.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 ? (1) 2 x ? 3 y ? 0 ; (2) x 2 ? y 2 ? 1 . 老城高中高二数学选修 4-4 导学案

? x' ? 2 x 后的图形: ? y' ? 3 y

编号:

1.2.1极坐标系的的概念
学习目标
1.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 2.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.

学习过程
一、学前准备 情境 1:军舰巡逻在海面上,发现前方有一群水雷, 如何确定它们的位置以便将它们引爆? 情境 2:如图为某校园的平面示意图,假设某同学在 教学楼处。 (1)他向东偏 60°方向走 120M 后到达什么位置?该

位置唯一确定吗? (2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置,他应如何描述? 问题 1:为了简便地表示上述问题中点的位置,应创建怎样的坐标系呢? 问题 2:如何刻画这些点的位置? 二、新课导学 ◆探究新知(预习教材P8~P10,找出疑惑之处) 1、如右图,在平面内取一个 自 极 点 O 引 一 条 射 线 Ox , 叫 做 个 常取 ,一个 (通常取 方向) ,这样就建立了一个

M ( ? ,? )

?




O ,叫做
) 及其

?
O

;再选定一 (通 。

x

2、设 M 是平面内一点,极点 O 与 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的

,记为

;以极轴

Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的 , 记为 。有序数对 叫做点 M
的 ,记作 。 3、思考:直角坐标系与极坐标系有何异同? ___________________________________________. ◆应用示例 例题 1:(1)写出图中 A,B,C,D,E,F,G 各点的极 坐标 ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) . (2) :思考下列问题,给出解答。 ①平面上一点的极坐标是否唯一?②若不唯一, 那有 多少种表示方法? ③坐标不唯一是由谁引起的?④不同的极坐标是否可以写出统一表达式? ⑤本题点 G 的极坐标统一表达式。 答:

◆反馈练习 在下面的极坐标系里描出下列各点

A(3, 0) 4? ) 3 5? G (6, ) 3 D(5,

B(6, 2? ) E (3, 5? ) 6

C (3, ) 2 F (4, ? )

?

O

X

小结:在平面直角坐标系中,一个点对应

个坐

标表示,一个直角坐标对应 的点的极坐标有 个点。

个点。极坐标系里

种表示,但每个极坐标只能对应

三、总结提升 1.本节学习了哪些内容?答:能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 1.已知 M ? 5,

? ?? ? ,下列所给出的能表示该点的坐标的是 ? 3?
B. ? 5,

A. ? 5,?

? ?

??
? 3?

? ?

4? ? ? 3 ?

C. ? 5,?

? ?

2? ? ? 3 ?
)

D. ? 5, ?

? ?

5? ? ? 3 ?

2、在极坐标系中,与(ρ ,θ )关于极轴对称的点是( A、 ( ? , ? ) B、 ( ? ,?? )

C、 ( ? , ? ? ? )

D、 ( ? , ? ? ? )

3、设点 P 对应的复数为-3+3i,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐 标为( ) A.( 3 2 ,

3 5 5 ? ) B. ( 3 2 , ? ) C. (3, ? ) 4 4 4

D. (3,

3 ?) 4

4、 (课本习题 1.2 第二题) 老城高中高二数学选修 4-4 导学案 编号:

1.2.2. 极坐标与直角坐标的互化 学习目标
1.掌握极坐标和直角坐标的互化关系式。2. 会实现极坐标和直角坐标之间的互化。

学习过程
一、学前准备 情境 1:若点作平移变动时,则点的位置采用直角坐标系描述比较方便; 情境 2:若点作旋转变动时,则点的位置采用极坐标系描述比较方便。 问题 1:如何进行极坐标与直角坐标的互化? 问题 2:平面内的一个点的直角坐标是 (1, 3) ,这个点如何用极坐标表示?

二、新课导学 ◆探究新知(预习教材P11~P11,找出疑惑之处) 直角坐标系的原点O为极点, x 轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内 任意一点P的指教坐标与极坐标分别为 ( x, y ) 和 ( ? ,? ) , 则由三角函 数的定义可以得到如下两组公式:

x ? ? cos? { y ? ? sin ?

? 2 ? x2 ? y2
{

tan? ?

y x

说明:1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式 2 、通常情况下,将点的直角坐标化为极坐标时,取 ? ≥ 0 , 0 ≤

? < 2? 。

3、互化公式的三个前提条件 (1). 极点与直角坐标系的原点重合;(2). 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合; (3). 两种坐标系的单位长度相同. ◆应用示例 例 1.将点 M 的极坐标 (5, 解:

2? ) 化成直角坐标。(教材 P11 例 3) 3

例2.将点 M 的直角坐标 (? 3,?1) 化成极坐标(教材P11例4) 解:

◆反馈练习 1.点 P 1,? 3 ,则它的极坐标是 A. ? 2,

?

?

? ?

??
? 3?

B. ? 2,

? ?

4? ? ? 3 ?

C. ? 2,?

? ?

??
? 3?

D. ? 2,?

? ?

4? ? ? 3 ?


2.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A. (2,

?
3

)

B. (2, ?

?
3

)

C. (2,

2? ) 3

D. (2, 2k? ?

?
3

), (k ? Z )

三、总结提升 1.本节学习了哪些内容?答:极坐标和直角坐标之间的互化。

课后作业

?? ?? ? ? 1.若 A ? 3 , ? ,B ? 4, (其中 O 是极点) ? ? ,则|AB|=___5____, S ?ABO =_6_________。 ? 3? 6? ?
S ?AOB ?

2.已知点的极坐标分别为 (3,

?
4

) , ( 2,

2? ? 3 ) , ( 4, ) , ( , ? ) ,求它们的直角坐标。 3 2 2

3.已知点的直角坐标分别 (3, 3 ) , (0,?

7 5 ) , ( ,0) , (?2,?2 3) ,为求它们的极坐标。 2 3 2? ) ,求 A, B 两点间的距离。 3

4.在极坐标系中,已知两点 A(3,?

?
3

) , B (1,

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编号:

圆的极坐标方程
本课提要:本节课的重点是掌握一些特殊位置下的圆(如过极点或圆心在极点的圆)的极坐标 方程.

一、 课前小测

?温故而知新
.2.曲线 ? ? cos? 的直角坐标方是 .

1.圆 x 2 ? y 2 ? 1 的极坐标方程是 二

典型问题

?重点、难点都在这里

【问题 1】 :求以点 C (a,0)(a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆 C 的极坐标方程.

3.求圆心在点(3,0) ,且过极点的圆的极坐标方程.

4.求以 ( 4,

?
2

) 为圆心,4 为半径的圆的极坐标方程.

【问题 2】 :已知圆心的极坐标为 M ( ? 0 ,? 0 ) ,圆的半径为 r ,求圆的极坐标方程.

【问题 3】 :已知一个圆的极坐标方程是 ? ? 5 3 cos? ? 5 sin ? ,求圆心的极坐标与半径.

三练习

5.在极坐标系中,求适合下列条件的圆的极坐标方程:

(1)圆心在 A(1,

? 3? ) ,半径为 1 的圆; ) ,半径为 a 的圆. (2)圆心在 ( a , 4 2

6.把下列极坐标方程化为直角坐标方程: (1) ? ? 2 ; (2) ? ? 5 cos? .

7.求下列圆的圆心的极坐标: (1) ? ? 4 sin ? ; (2) ? ?

2 cos(

?
4

??) .

8.求圆 ? 2 ? 2? (cos? ? 3 sin ? ) ? 5 ? 0 的圆心的极坐标与半径.

变式训练 四、

?试试你的身手呀

9 .设有半径为 4 的圆,它在极坐标系内的圆心坐标是 (4, ? ) ,则这个圆的极坐标方程 是 .

10.两圆 ? ? 2 cos? 和 ? ? 4 sin ? 的圆心距是

.

11.在圆心的极坐标为 (a,0)(a ? 0) ,半径为 a 的圆中,求过极点的弦的中点的轨迹.

五、 本课小结 你有什么收获?写下你的心得

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编号:

直线的极坐标方程
本课提要:本节课的重点是掌握一些特殊位置下的直线(如过极点或垂直于极轴的直线)的极 坐标方程.

一、 课前小测

?温故而知新
. .

1.直线 x ? y ? 1 的极坐标方程是 2.曲线 ? cos? ? 1 的直角坐标方程是 二、典型例题

【问题 1】 :求经过极点,从极轴到直线 l 的夹角是

? 的直线 l 的极坐标方程. 4

练一练:

3.经过极点,且倾斜角是 4.直线 ? ?

3? ( ? ? R ) 的直角坐标方程是 4

? 的直线的极坐标方程是 6
.

.

【问题 2】 :设点 P 的极坐标为 ( ?1 , ?1 ) ,直线 l 过点 P 且与极轴所成的角为 ? ,求直线 l 的极坐 标方程.

三、技能训练

?懂了,不等于会了
? ? 的直线; (2)过点 ( 2, ) ,并且和极轴垂直的直线. 3 3

5.在极坐标系中,求适合下列条件的直线的极坐标方程: (1)过极点,倾斜角是

6.把下列极坐标方程化为直角坐标方程:
(1) ? sin ?

? 2; (2) ? ? 2 sin ? .
5? ? ( ? ? R) ; (2) ? sin(? ? ) ? 1 . 6 4

7.求下列直线的倾斜角: (1) ? ?

8.已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ?

?
4

)?

7? 2 ) 到这条直线的距离. ,求点 A( 2, 4 2

四、变式训练
(2, 9.过点

?试试你的身手呀
.

?
4

) ,且平行于极轴的直线的极坐标方程为

10.直线 ? cos? ? 2 关于直线 ? ?

?
4

对称的直线的极坐标方程为________________

五、 本课小结 你有什么收获?写下你的心得

六、课后作业 11. 直线 ? ? ? 和直线 ? sin(? ? ? ) ? 1 的位置关系是 12.在极坐标系中,点 M ( 4, . .

?
3

) 到直线 l : ? (2 cos? ? sin ? ) ? 4 的距离 d ?

13.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线 ? ? cos? 于 A、B 两点,则

AB ?



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编号:

柱坐标系与球坐标系简介
本课提要:本节课的重点是了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法,并掌握柱坐标、球坐
标与直角坐标的互化.

一、课前小测

?温故而知新

1.如何确定一个圆柱侧面上的点的位置? 2.如何确定一个球面上的点的位置? 二、典型例题

?重点、难点都在这里
?
6 ,7) ,则它的直角坐标是
. . . ; . ;

【问题 1】 : (1)点 A 的柱坐标是 ( 2,

(2)点 B 的直角坐标是 (1, 3,4) ,则它的柱坐标是 3.点 P 的柱坐标是 ( 4,

?
3

,?2) ,则它的直角坐标是

4.点 Q 的直角坐标是 (1,? 3,2) ,则它的柱坐标是 【问题 2】 : (1)点 A 的球坐标是 (2,

? ?

, ) ,则它的直角坐标是 4 4

(2)点 B 的直角坐标是 (?2,2, 2 2 ) ,则它的球坐标是 【问题 3】 :建立适当的球坐标系,表示棱长为 2 的正方体的顶点.

三、

5.将下列各点的柱坐标化为直角坐标: P ( 2,

技能训练

?懂了,不等于会了

?
6

,1), Q (4,

2? ,?3) . 3

6.将下列各点的球坐标化为直角坐标: A(4,

? 5?
2 , 3

), B(5, ? ,

3? ). 2

7.将下列各点的直角坐标化为球坐标: M (1,1, 6 ), N (?4 2 ,0,?4 2 ) .

8.建立适当的柱坐标系与球坐标系,表示棱长为 3 的正四面体的四个顶点.

四、

变式训练

?试试你的身手呀

9.设 M 的球坐标为 ( 2,

? 5?
4 , 4

) ,则它的柱坐标为

.

10.在球坐标系中, P (3,

? ?

? 3? , ) 与 Q (3, , ) 两点间的距离是 6 4 6 4

.

11.球坐标满足方程 r ? 3 的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.

五、 本课小结 你有什么收获?写下你的心得

六、

试题链接

走出教材,你真有长进啦

12.点 A 的柱坐标是 ( 2,?

?
6

,4) ,则它的直角坐标是

.

13.点 M 的球坐标是 (8,

? 5?
3 , 6

) ,则它的直角坐标是

.

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1.1.1参数方程的概念 学习目标
1.通过分析抛射物体运动中时间与物体位置的关系,了解一般曲线的参数方程,体会参数的意 义

学习过程
一、学前准备 复习:在直角坐标系中求曲线的方程的步骤是什么? 二、新课导学 ◆探究新知(预习教材P21~P22,找出疑惑之处) 问题 1:由物理知识可知,物资投出机舱后,它的运动是下列两种运动的合成: 问题 2:由方程组

? x ? 100 t ? 2 ? 1 2 ,其中是 g 重力加速度( g ? 9.8 m / s ) y ? 500 ? g t ? ? 2
可知,在 t 的取值范围内,给定 t 的一个值,由方程组可以 比如,当 t ? 3s 时, x ? ,y? 。 确定 x , y 的值。

归纳:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x , y 都是某个变数 t 的函数

? ? x ? f ?t ? (1) ,并且对于 t 的每个允许值,由方程组(1)所确定的点 M ? x, y ? 都在这条曲线 ? ? ? y ? g ?t ? 上,那么方程(1)叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x , y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。
相对参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 说明:(1)一般来说,参数的变化范围是有限制的。 (2)参数是联系变量 x,y 的桥梁,可以有实际意义,也可无实际意义。 ◆应用示例 例 1.已知曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? 3t
2 ? y ? 2t ? 1

(t 为参数)

(1)判断点 M1(0,1),M2(5,4)与曲线 C 的位置关系; (2)已知点 M3(6,a)在曲线 C 上,求 a 的值。 (教材P22例1) 解:

◆反馈练习 1.下列哪个点在曲线 ?
? x ? sin? ? y ? cos 2? (?为参数) 上( )

A.(2,7)

B. ( , )

1 2 3 3

C. ( , )

1 1 2 2

D.(1,0)

三、总结提升 ◆本节小结 1.本节学习了哪些内容?

答:了解一般曲线的参数方程,体会参数的意义

学习评价
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课后作业
1、对于曲线上任一点 M ? x , y ? ,下列哪个方程是以 t 为参数的参数方程( A、 y ? x 2 ? t x ? 3 C、 ? B、 y ? t 2 ? 2 t ? 1 D、 ? )

? x ? 2cos ? ? y ? 2sin ?

? ?x ? t ? 2
2 ? ? y ? 1? t

2、已知曲线 C 的参数方程是 ?

?x ? 3t
2 ? y ? 2t ?1

( t为参数 ) ,且点 M ? a ,3? 在曲线 C 上,则实数 a
D、无法确定

的值为( ) A、 3 B、 ?3 C、 ? 3 3、关于参数方程与普通方程,下列说法正确的是( ) ①一般来说,参数方程中参数的变化范围是有限制的; ②参数方程和普通方程是同一曲线的两种不同表达形式; ③一个曲线的参数方程是唯一的; ④在参数方程 ? A、① ② C、②③

? x ? f (t ) ( t为参数 ) 和普通方程 F ( x, y) ? 0 中,自由变量都是只有一个。 ? y ? g (t )
B、② D、①②④ )

1 ? ?x ? t ? 4、方程 ? t 表示的曲线为( ? ?y ? 2
A、一条直线 B、两条射线 老城高中高二数学选修 4-4 导学案

C、一条线段 编号:

D、抛物线的一部分

2.1.2圆的参数方程
学习目标
1.通过求做匀速圆周运动的质点的参数方程,掌握求一般曲线的参数方程的基本步骤. 2.熟悉圆的参数方程,进一步体会参数的意义。

学习过程
一、学前准备 1.在直角坐标系中圆的标准方程和一般方程是什么? 二、新课导学 ◆探究新知(预习教材P12~P16,找出疑惑之处) 如图:设圆 O 的半径是 r , 点 M 从初始位置 M 0 ( t ? 0 时的位置)出发,按逆时针方向在圆
y r O M

?
x M0 x

O 上作匀速圆周运动,点 M 绕点 O 转动的角速度为 ? ,以圆心 O 为原点, OM 0 所在的直线为

x 轴,建立直角坐标系。显然,点 M 的位置由时刻 t 惟一确定,因此可以取 t 为参数。如果在

时刻 t ,点 M 转过的角度是 ? ,坐标是 M ? x, y ? ,那么 ? ? ?t 。设 OM ? r ,那么由三角函 数定义,有

cos ?t ?

x y ,sin ?t ? , 即 r r

? x ? r cos?t ? ? y ? r sin ?t

(t为参数)

这就是圆心在原点 O ,半径为 r 的圆的参数方程,其中参数 t 有明确的物理意义(质 点作匀速圆周运动的时刻) 。考虑到 ? ? ?t ,也可以取 ? 为参数,于是有

? x ? r cos? ? ? y ? r sin ?
◆应用示例

(?为参数)

例1.圆 O 的半径为2, P 是圆上的动点, Q ? 6,0? 是 x 轴上的定点, M 是 PQ 的中点,当点 P 绕 O 作匀速圆周运动时,求点 M 的轨迹的参数方程. (教材P24例2) 解:

◆反馈练习 1.下列参数方程中,表示圆心在 (1, 0) ,半径为 1 的圆的参数方程为( )

A、 ?

? x ? cos ? ? y ? sin ?

B、 ?

? x ? 1 ? cos ? ? y ? sin ?

C、 ?

? x ? cos ? ? y ? 1 ? sin ?

D、 ?

? x ? 1 ? cos ? ? y ? 1 ? sin ?

三、总结提升 ◆本节小结 1.本节学习了哪些内容? 答:熟悉圆的参数方程,进一步体会参数的意义

学习评价
一、自我评价

课后作业
1.曲线 ? A.
1 2
? x ? cos? ? y ? sin? (?为参数) 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( )

B.

2 2

C.1

D. 2

2、动点 M 作匀速直线运动,它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 3m / s 和 4m / s ,直角坐标 系的单位长度是 1 m ,点 M 的起始位置在点 M 0 (2,1) 处,求点 M 的轨迹的参数方程。

4、 已知 M 是正三角形 ABC 的外接圆上的任意一点,求证 MA ? MB ? MC

2

2

2

为定值。

新课标第一网 4.(选做题)已知 P( x, y ) 是圆心在 (1 , 1) ,半径为 2 的圆上任意一点,求 x ? y 的最大值和最 小值。

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编号:

3.1.3 参数方程与普通方程的互化
学习目标
1.明确参数方程与普通方程互化的必要性. 2.掌握参数方程化为普通方程的几种基本方法,能选取适当的参数化普通方程为参数方程.

学习过程
一、学前准备 复习:1、在解方程组中通常用的消元方法有哪些?
2 2 2 2 2. 写出圆 x ? y ? r 的参数方程,圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 呢? 2 2

二、新课导学 ◆探究新知(预习教材P24~P26,找出疑惑之处)
2 问题1:方程 ? x ? 3 ? ? y ? 1 表示什么图形? 2

问题2:上节课例2中求出点 M 的参数方程是 ?

? x ? cos ? ? 3 , 那么点 M 的轨迹是什么? y ? sin ? ?

小结:1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. 2.曲线的参数方程与普通方程一般可以互化. ◆应用示例 例 1.把下列参数方程化为普通方程,并说明它表示什么曲线: (1) ?

? ?x ? t ?1 ? ? y ? 1? 2 t

( t 为参数)

(2) ?

? x ? sin ? ? cos ? ( ? 为参数) ? y ? 1 ? sin 2?
x2 y 2 ? ? 1 按以下要求化为参数方程: (1)设 x ? 3cos ? , ?为参数 9 4

例 2 .将椭圆普通方程

(2) y ? 2 t , t为参数

◆反馈练习 1.把下列的参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线。 (1) ?

? x ? cos ? (? 为参数) ) ? y ? cos 2? ? 1

(2) ?

? x ? 5cos ? (?为参数) ? y ? 3sin ?

2.根据下列要求,把曲线的普通方程化为参数方程: 1) y 2 ? x ? y ?1 ? 0 设 y ? t ?1 , t为参数 .

2)已知圆的方程 x 2 ? y 2 ? 2 y ,选择适当的参数将它化为参数方程.

老城高中高二数学选修 4-4 导学案 编号: 课题:椭圆的参数方程

一、三维目标

1.知识与技能: (1).椭圆的参数方程. (2).椭圆的参数方程与普通方程的关系。

二、学习重难点
学习重点:椭圆参数方程的推导.参数方程与普通方程的相互转化 学习难点:(1)椭圆参数方程的建立及应用.(2)椭圆的参数方程与普通方程的互化

三、学法指导:认真阅读教材,按照导学案的导引进行自主合作探究式学习 四、知识链接:
将下列参数方程化成普通方程 1 ?

? x ? a cos? (?为参数) ? y ? b sin ?

2 ?

? x ? b cos? (?为参数) ? y ? a sin ?

五、学习过程
(一)椭圆的参数方程 1 焦点在 x 轴: ?

? x ? a cos? (?为参数) ? y ? b sin ?

2 焦点在 y 轴: ?

? x ? b cos? (?为参数) ? y ? a sin ?

(二)典型例题
例 1 参数方程与普通方程互化 1 把下列普通方程化为参数方程. (1)

x2 y2 ? ?1 4 9

(2) x ?
2

y2 ?1 16

2 把下列参数方程化为普通方程 (1)

? x ? 3 cos? (?为参数) ? ? y ? 5 sin ? ? x ? 2cos? ? y ? sin ?

(2) ?

? x ? 8 cos? (?为参数) ? y ? 10sin ?

A 练习:已知椭圆的参数方程为 ?

? ( 是参数) ,则此椭圆的长轴长为

______,短轴长为_______,焦点坐标是________,离心率是_-________。 B 例 2、在椭圆 x ? 8 y ? 8 上求一点 P,使 P 到直线 l: x ? y ? 4 ? 0 的距离最小.
2 2

思考: 与简单的线性规划问题 进行类比,你能在实数 x, y满足 求出z ? x ? 2 y的最大值和最小值吗? x2 y2 ? ? 1的前提下, 25 16

C 例 3、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 有一内接矩形 ABCD,求矩形 ABCD 的最大面积。 100 64

六、达标检测 ( 1、当参数?变化时,动点 P(3 cos? ,2 sin ? )所确定的曲线必过

)

A、点(2,3), B、点(3,0), C、点(1,3), D、点(0, ) 2 2 2 2、已知圆的方程为 x ? y ? 4 x cos ? ? 2 y sin ? ? 3 cos 2 ? ? 0, (?为参数 ),
那么圆心的轨迹的普通 方程为 __________ __________ ?

?

3、求定点(2a,0)和椭圆 {

x ? a cos? y ? b sin ?

(?为参数)上各点连线的中点轨迹 方程。

七、学习小结反思

老城高中高二数学选修 4-4 导学案 编号: 课题:双曲线、抛物线的参数方程

一、三维目标
1.知识与技能: (1). 双曲线、抛物线的参数方程. (2). 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的关系。 2.过程与方法: (1). 了解双曲线、抛物线的参数方程,了解参数方程中系数 a , b 的含义. (2).通过学习双曲线、抛物线的参数方程,进一步完善对双曲线、抛物线的认识,理解参数方 程与普通方程的相互联系.并能相互转化.提高综合运用能力 3.情感态度价值观:使学生认识到事物的表现形式可能不止一种。
王新敞
奎屯 新疆

二、学习重难点
学习重点:双曲线、抛物线参数方程的推导 学习难点:(1) 双曲线、抛物线参数方程的建立及应用.(2) 双曲线、抛物线的参数方程与普通 方程的互化

三、学法指导:认真阅读教材,按照导学案的导引进行自主合作探究式学习 四、知识链接:

焦点在 x 上的椭圆的参数方程________________________________________ 焦点在 y 上的椭圆的参数方程________________________________________

五、学习过程(阅读教材 29-34 完成)
(一)双曲线的参数方程 1 双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的参数方程___________________________ a2 b2

注: (1) ? 的范围__________________________ (2) ? 的几何意义___________________________

y2 x2 2 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的参数方程___________________________ a b
(二)抛物线的参数方程

抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的参数方程___________________________ (三)典型例题

B例1、如图O是直角坐标原点, A, B是抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0)上异于顶点的两动 、 点,且OA ? OB, OM ? AB并于AB相交于点M,求点M的轨迹方程。

y A M
六、达标检测
A1、求双曲线 {

o
x ? 2 3 sec ? 的两个焦点坐标 __________ _ y ? 4 3 tan ?

x B

B2、双曲线 {

x ? 3 sec? y ? tan?

(?为参数)的渐近线方程为__________ ____

B3、设 M为抛物线 y 2 ? 2 x上的动点,给定点 M 0 (?1,0),点 P为 线段 M 0 M的中点,求点 P的轨迹方程。

七、学习小结反思
老城高中高二数学选修 4-4 导学案 三维目标: 知识与技能:了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法:能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 学习重点:参数 t 的含义,直线单位方向向量 e ? (cos? , sin ? ) 的含义。 学习难点:如何引入参数 t ,理解和写直线单位方向向量 e ? (cos? , sin ? ) 学法指导:认真阅读教材,按照导学案的导引,深刻领会数学方法,认真思考、独立规范作答。 知识链接: 我们学过的直线的普通方程都有哪些? 编号:

直线的参数方程(第一课时)

学习过程: 问题 1 已知一条直线过点 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角 ? ,求这条直线方程。 问题 2 在直线 l 上,任取一个点 M ( x , y ) ,求 M0 M 坐标。 问题 3 试用直线 l 的倾斜角 ? 表示直线 l 的方向单位向量 e 。 问题 4 设 M 0 M ? t ,则 e 与 M0 M 具有什么位置关系?用 t 能否表示出这种关系。

问题 5 通过坐标运算,用 M 0 ( x0 , y0 ) , ? , t 把在直线 l 上,任取一点 M ( x , y ) 的坐标表示 出来 即过定点 M( x0 , y0 ) 倾斜角为 ? 的直线的参数方程:

问题 6 在直线 l 的参数方程中,哪些是变量,哪些是常量?

问题 7由M0 M ? te, 你能得到直线l的参数方程中参数t 的几何意义吗? 问题 8 参数 t 的取值范围是什么?分别代表什么含义?
0 ? ? x ? 3 ? t sin 20 练习:A1、直线 ? ( t 为参数)的倾斜角是( 0 ? ? y ? t cos 20

)

A,

200

B,

700

C,

1100

D,

1600

A2、求直线 x ? y ? 1 ? 0 的一个参数方程。

A3、若点 P 是极坐标方程为 ? ? 交点,则 P 点的坐标为

?
3

的直线与参数方程为 ? .

? x ? 2 cos? ( ? 为参数)的曲线的 ? y ? 1 ? cos2?

B 例 1 :已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? x 2 交与 A, B 两点,求线段 AB 的长度和点

M (?1,2) 到 A, B 的距离之积.

问题 9 直线与曲线 y ? f ( x) 交于 M 1 M 2 两点,对应的参数分别为 t1 , t 2 , (1)曲线的弦 M 1 M 2 的长是多少? (2)线段 M 1 M 2 的中点 M 对应的参数 t 的值是多少?

课堂小结

课堂反思: 老城高中高二数学选修 4-4 导学案 三维目标: 知识与技能:了解直线参数方程的条件及参数的意义 编号:

直线的参数方程(第二课时)

过程与方法:能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 学习重点:参数 t 的含义,直线单位方向向量 e ? (cos? , sin ? ) 的含义。 学习难点:如何引入参数 t ,理解和写直线单位方向向量 e ? (cos? , sin ? ) 学法指导:认真阅读教材,按照导学案的导引,深刻领会数学方法,认真思考、独立规范作答。 知识链接: 1、直线参数方程的形式。 2、参数 t 的几何意义 . B 例 1、已知直线 L:x+y-1=0 与抛物线 x2+y2=4 交与 A、B 两点,求 AB 的长和 M(-1,2)到 A、B 两 点距离之和与距离之积。

C 例 2、当前台风中心 P 在某海滨城市 O 向东 300km 处生成,并以 40km/h 的速度向西北方向 移动,已知距台风中心 250km 以内的地方都属于台风侵袭的范围,那么经过多长时间后,该城 市开始受到台风侵袭?

训练: A1、若点 P 是极坐标方程为 ? ? 交点,则 P 点的坐标为

?
3

的直线与参数方程为 ? .

? x ? 2 cos? ( ? 为参数)的曲线的 ? y ? 1 ? cos2?

B2、直线 L 经过点 M 0 (1,5) 、倾斜角为

? (1)求直线 l 的参数方程; 3

(2)求直线 l 和直线 x ? y ? 2 3 ? 0 的交点到点 M 0 (1,5) 的距离; (3)求直线 l 和圆 x ? y ? 16 的两个交点到点 M 0 (1,5) 的距离的和与积.
2 2

C3、经过点 M(2,1)作直线 L,交椭圆 中点,求直线 L 的方程。

x2 y2 ? ? 1 于 A,B 两点,如果点 M 恰好为线段 AB 的 16 4

课堂小结: 课后反思:


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