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云南省师大附中2016届高三适应性月考(六)数学(理)试卷

时间:2016-03-23


云南师范大学附属中学 2016 届高三适应性月考(六) 理科数学试卷 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? x y ? lg(2 ? x) ,集合 B ? ? x A. x x ? ?2

?

?

/>
? 1 ? ? 2 x ? 4 ? ,则 A ? B ? ( ? 4 ?



?

? ?

B. x ?2 ? x ? 2 D. x x ? 2

?

?

C. x ?2 ? x ? 2 2.若复数

?

?

?


2a ? 2i (a ? R) 是纯虚数,则复数 2a ? 2i 在复平面内对应的点在( 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

x2 y 2 1 3.设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,右焦点 F (c, 0) ,方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的 a b 2
两个根分别为 x1 , x2 ,则点 ( x1 , x2 ) 在( A.圆 x ? y ? 2 上
2 2 2


2

B.圆 x ? y ? 2 内 D.以上三种情况都有可能

C.圆 x ? y ? 2 外
2 2

5.观察下列各式:55 ? 3125 ,56 ? 15625 ,57 ? 78125 ,58 ? 390625 ,??,则 52015 的 末四位数字为( A.3125 ) C.0625 D.8125 )

B.5625

6.执行如图 1 所示的程序框图, 如果输入的 m ,n 分别为 1848, 936, 则输出的 m 等于 (

1

A.168

B.72

C.36

D.24 )

7.某几何体的三视图如图 2 所示,则该几何体的表面积为(

A.

1 2

B.

1 3

C. 2 2

D. 2 3

8.在如图 3 所标的矩形 ABCD 中, AB ? 2 , AD ? 1 , E 为线段 BC 上的点,则 AE ?DE 的最小值为( )

??? ? ????

A.2

B.

15 4

C.

17 4

D.4

9.在直角坐标系 xOy 中,已知 ?ABC 的顶点 A(?6, 0) 和 C (6, 0) ,若顶点 B 在双曲线

2

x2 y 2 sin A ? sin C ? ? 1 的左支上,则 ?( 25 11 sin B
A.

)

5 6

B. ?

5 6

C.

4 3

D.

3 5

10.棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的所有顶点均在球 O 的球面上, E , F , G 分别 为 AB , AD , AA1 的中点,则平面 EFG 截球 O 所得圆的半径为( A. 2 )

B.

15 3

C.

2 6 3

D. 3

11.已知函数 f ( x) ?

x ex

( x ? R) ,若关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 1 ? 0 恰好有 3 个不相等的
) C. (1, ? 1)

实数根,则实数 m 的取值范围为( A. (1,

2e ? 1) 2e

B. (0,

2e ) 2e

1 e

D. (

2e ,1) 2e


12.已知函数 f ( x) ? ln x , a ? b ? 0 , f (a ) ? f (b) ,则 C. 2 ? 3

a 2 ? b2 的最小值等于( a ?b

A. 2 2

B. 5

D. 2 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.关于 x 的一元二次方程 bx 2 ? 2ax ? b ? 0 ,若 a 是从区间 ? 0,3? 任取的一个数,b 是从区 间 ? 0, 2? 任取的一个数,则上述方程有实根的概率为_____. 14. ( ? 1) n 的展开式按 x 升幂排列,若前三项的系数成等差数列,则 n ? _____. 15. S n 是数列 an 的前 n 项和,且 a1 ? 1 , an ?1 ? 2an ? n ? 1 ,则 S10 ? _____. 16.若 f ( x) 是定义在 R 上的函数,对任意的实数 x 都有: f ( x ? 6) ? f ( x ? 2) ? 4 和

x 2

f ( x ? 4) ? f ( x ? 2) ? 2 ,且 f (1) ? 1 ,则 f (2013) ? _____.
三、解答题 (共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 解 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c , 且 ( 3c ? 2b) cos(? ? A) ? 3a cos C
3

(Ⅰ)求解 A 的值; (Ⅱ)若角 B ?

?
6

, BC 边上的中线 AM ?

7 ,求 ?ABC 的面积.

18.(本小题满分 12 分) 如图 4,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 AB ? 侧面 BB1C1C , BC ? 1 , CC1 ? 2 ,

BC1 ? 3 .

(Ⅰ)求证: BC1 ? 平面 ABC ; (Ⅱ)当二面角 A ? CC1 ? B 为 19. (本小题满分 12 分) 某校准备从报名的 7 位教师(其中男教师 4 人,女教师 3 人)中选 3 人去边区支教. (Ⅰ)设所选 3 人中女教师的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望; (Ⅱ)若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教,求甲地是男教师的情况下,乙地为女教 师的概率. 20. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,点 P (a, b) ? a ? b ? 0 ? 为动点, F1 , F2 分别为椭圆 G : 的左、右焦点, A 为椭圆 G 的左顶点,已知 ?F1 PF2 为等腰三角形. (Ⅰ)求椭圆 G 的离心率; (Ⅱ)过 F2 的直线 m :x ? 1 与椭圆 G 交于点 M ( M 点在第一象限), 平行于 AM 的直线 l 与 椭圆 G 交于 B , C 两点,判断直线 MB , MC 是否关于直线 m 对称,并说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ? x ? x ln a (a ? 0, a ? 1)
x 2

?
3

时,求三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积.

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

4

(Ⅰ)当 0 ? a ? 1 时,求证:函数 f ( x) 在 (??, 0) 上单调递减; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) ? t ? 1 有三个零点,求 t 的值; (Ⅲ)对于任意 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ? 1 ,试求 a 的取值范围. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答 时请写清题号。 22.(本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 如图 5,已知在 ?ABC 中, AE , AD 分别为其角平分线和中线, ?ADE 的外接圆为 ? O ,

? O 与 AB , AC 分别交于 M , N ,求证:

(Ⅰ)

AB BE ; ? AC EC

(Ⅱ) BM ? CN . 23.(本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标与参数方程】

1 ? x ? ?2 ? t ? 2 ? 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) , 直线 l 与曲线 C : 3 ?y ? 2? t ? ? 2
( y ? 2) 2 ? x 2 ? 1 交于 A , B 两点.
(Ⅰ)求 AB 的长; (Ⅱ)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,设点 P 的极坐标为

3? ? ? 2 2, 4 ?

? ? ,求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离. ?

24.(本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】

5

设函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 3 ; (Ⅱ)存在 x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 2m 2 ? 4m ,求实数 m 的取值范围.

云南师大附中 2016 届高考适应性月考卷(六) 理科数学参考答案 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

6

题号 答案 【解析】

1 C

2 B

3 B

4 C

5 D

6 D

7 D

8 B

9 A

10 B

11 A

12 A

1.∵A ? {x | x ? 2} , B ? {x | ?2≤x≤2} ,∴A ? B ? {x | ?2≤x ? 2} ,故选 C. 2.
2a ? 2i (2a ? 2i)(1 ? i) ? ? a ? 1 ? (1 ? a)i ,由题意得 a ? ?1 ,所以 2a ? 2i ? ?2 ? 2i ,在复平 1? i 2

面内对应的点是 (?2,2) ,在第二象限,故选 B.

a9 a3 ? 1 a 1 a 1 4.由题意 d ? 9 3 ? , 3 ? ? 1 ? 2 ? ,∴a1 ? 0 ,∴S12 ? 11 ,故选 C. 9?3 6 3 3 1 6
5.由题意 55 ? 3125 ,56 ? 15625 ,57 ? 78125 ,58 ? 390625 ,59 ? 1953125 ,510 ? 9765625 ,
511 ? 48828125 得规律,故选 D.

6.由程序框图知这是用辗转相除法求两个数的最大公约数,1848 与 936 的 最大公约数是 24,故选 D. 7.由题意知该几何体为如图 1 放置的正四面体,其棱长为
1 π ? 2 ? 2 ?sin ? 4 ? 2 3 ,故选 D. 2 3
2 ,故其表面积为

8.以 B 为坐标原点,BC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,则 A(0,2) , D(1,2) , E ( x,0) ,
2 ??? ? ???? 1 ? 15 ? 可得 AE ? DE ? ( x,? 2) ?( x ? 1,? 2) ? x 2 ? x ? 4 ? ? x ? ? ? , 因为 E 为线段 BC 上的点, 2? 4 ?

所以 x ? [0, 1] ,则当 x ?

??? ? ???? 1 15 时, AE ? DE 取得最小值 ,故选 B. 2 4
| BC | | AB | | AC | ? ? ? 2 R(R sin A sin C sin B
7

9. 由条件可知 | BC | ? | BA |? 10 , 且 | AC |? 12 , 又在 △ABC 中有

为△ABC 外接圆的半径) ,从而

sin A ? sin C | BC | ? | AB | 5 ? ? ,故选 A. sin B | AC | 6

10.如图 2,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的外接球球心 O 为对角线 AC1 的中点,球半径 R ? 3 ,

?2 3? 15 2 3 ? 球心 O 到平面 EFG 的距离为 ,所以小圆半径 r ? R 2 ? ? ,故选 B. ? ? ? 3 3 ? 3 ?

2

11.当 x≤0 时, f ( x) ?

?x x 为减函数, f ( x) min ? f (0) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? x , x e e 1 ? 2x 1 1 ? 1? f ?( x) ? ,则 x ? 时, f ?( x) ? 0 , 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 在 ? 0, ? 上 x 2 2 2 xe ? 2?

2e ?1? ?1 ? 递增,在 ? ,? ? ? 上递减, f ( x)极大值 ? f ? ? ? .其大致图象如图 3 所示,若关于 ? 2 ? 2e ?2 ?

x 的方程 f ( x) ? m ? 1 ? 0 恰好
有 3 个不相等的实数根,则 0 ? m ? 1 ?
2e 2e ,即 1 ? m ? 1 ? ,故选 A. 2e 2e

12 .因为 f ( x) ?| ln x | ,f (a) ? f (b) ,所以 | ln a |?| ln b | ,即 ln a ? ? ln b ,又 a ? b ? 0 ,所以 所以 ln a ? ? ln b,ab ? 1 , 且a?b ?

a 2 ? b 2 (a ? b)2 ? 2ab 2 ? ? ( a ? b) ? ≥2 2 , 当且仅当 ab ? 1 a?b a?b a ?b

a 2 ? b2 2 时取等号,所以 的最小值是 2 2 ,故选 A. a?b a?b
第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

8

题号 答案

13
2 3

14 8

15 1991

16 2013

13.在直角坐标平面中,设区域 A ? {(a, b) | 0≤a≤3, 0≤b≤2} ,则区域 A 表示的矩形面积 =6.方程有实根, ?≥0 ,得 a≥b≥0 .设区域 B ? {(a, b) | 0≤a≤3, 0≤b≤2, a≥b≥0} , 区域 B 表示的直角梯形面积=4,方程有实根的概率为 P ? 14 .前三项的系数为 1 ,
4 2 ? . 6 3

n n(n ? 1) n n(n ? 1) , ,由它们成等差数列得 ? 2 ? 1 ? ,整理得 2 8 2 8

,或 n ? 8 ,即 n ? 8 . n 2 ? 9n ? 8 ? 0 ,解得 n ? 1 (舍去) 15.由 an ?1 ? 2an ? n ? 1 得 an ?1 ? n ? 1 ? 2(an ? n) ,所以数列 {an ? n} 是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列, S10 ?

2(1 ? 210 ) (1 ? 10) ? 10 ? ? 1991 . 1? 2 2

16. 又 f ( x ? 6)≤f ( x ? 2) ? 4 , ∵f ( x ? 6)≥f ( x ? 4) ? 2≥f ( x ? 2) ? 4 , ∴f ( x ? 6) ? f ( x ? 2) ? 4 ,
f ( x ? 4) ? f ( x) ? 4 ,∴f (2013) ? f (1 ? 4 ? 503) ? f (1) ? 2012 ? 2013 .

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 ( 3c ? 2b) cos( π ? A) ? 3a cos C , 得 2sin B cos A ? 3 sin( A ? C ) ? 3 sin B . 又 sin B ? 0 ,所以 cos A ? 又 A ? (0,π) ,所以 A ? (Ⅱ)由 B ?
3 . 2

??????????????(3 分)

π . 6

?????????????????????(6 分)

π π , A ? ,知 a ? b . 6 6

在 △ACM 中,由余弦定理得 cos 求得 b ? 2 ,

2π ? 3

b2 ?

b2 ?7 1 4 ?? , 2 b 2

???????????????????????????(10 分)
1 3 ? 2? 2? ? 3. 2 2

所以 △ABC 的面积 S△ABC ? 18. (本小题满分 12 分)

???????????(12 分)

(Ⅰ)证明: ∵BC ? 1 , CC1 ? 2 , BC1 ? 3 , 则 CC12 ? BC 2 ? BC12 ,∴BC1 ? BC .

9

∵AB ? 侧面 BB1C1C ,∴AB ? BC1 .

∵AB ? BC ? B ,
∴BC1 ? 平面 ABC .

????????????????????????(6 分)

(Ⅱ)解:方法一: 如图 4,作 BE ? CC1 ,垂足为 E,连接 AE, AC1 .

∵AB ? 侧面 BB1C1C ,
∴AB ? BC , AE ? CC1 ,

即 ?AEB 为二面角 A ? CC1 ? B 的平面角,∴?AEB ? 由 BC ? 1 , CC1 ? 2 , BC1 ? 3 得 BE ?
∴AB ? BE ? tan π 3 3 ? ? 3? . 3 2 2 3 , 2

π . 3

由(Ⅰ)知 BC1 ? 平面 ABC,∴BC1 即为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的高, 所以三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积 V ? 方法二: 如图 5,建立空间直角坐标系 B ? xyz ,
1 1 3 3 3 .????????(12 分) ? AB ? BC ? BC1 ? ? ? 1 ? 3 ? 2 2 2 4

则 A(0,0,m) , C (1,0,0) , C1 (0, 3,0) , m ? 0 ,
???? ???? ? 即 AC ? (1,0,? m) , AC1 ? (0, 3,? m) .

10

? 设平面 ACC1 A1 的法向量为 u1 ? ( x,y,z ) ,

? ? x ? mz ? 0, 得? ? ? 3 y ? mz ? 0, ? ? ? 3 m , m , 1 则平面 ACC1 A1 的一个法向量为 u1 ? ? ? ? ?, 3 ? ?
? 平面 BB1C1C 的一个法向量为 u 2 ? (0,0, 1) , ? ? 1 1 π u1 ?u 2 3 3 ? 得 ? ,解得 m ? ,即 AB ? . 所以由 cos ? ? 2 3 | u1 | ?| u 2 | 2 2 1 m2 ? m2 ? 1 3

由(Ⅰ)知 BC1 ? 平面 ABC,∴BC1 即为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的高, 所以三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积 V ? 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)X 的所有可能取值为 0,1,2,3, 且 P( X ? 0) ?
2 C1 C3 4 18 3C4 4 , ? P ( X ? 1) ? ? , 3 3 C7 35 C7 35

1 1 3 3 3 . ??? (12 分) ? AB ? BC ? BC1 ? ? ? 1 ? 3 ? 2 2 2 4

P( X ? 2) ?

2 1 C3 C4 12 C3 1 3 , ? P ( X ? 3) ? ? , 3 3 C7 35 C7 35

所以 X 的分布列为:

X P

0
4 35

1
18 35

2
12 35

3
1 35

故 E( X ) ? 0 ?

4 18 12 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 35 35 35 35 7

????????????(6 分)

(Ⅱ)设事件 A 为“甲地是男教师”,事件 B 为“乙地是女教师”, 则 P( A) ?
2 1 1 C1 C1 4 2 4 A6 4 C3 C5 , ? P ( AB ) ? ? , 3 3 A7 7 A7 7

所以 P( B | A) ?

P( AB) 1 ? . P( A) 2

????????????????????(12 分)

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 F1 (?c,0),F2 (c,0)(c ? 0) ,由题意得:

11

| PF2 |?| F1 F2 | ,即 (a ? c) 2 ? b 2 ? 2c ,

c c 1 ?c? c 所以 2 ? ? ? ? 1 ? 0, ? ?1 (舍)或 ? , a a 2 ?a? a

2

所以椭圆 G 的离心率 e ?

1 . 2

?????????????????????(4 分)

(Ⅱ)过椭圆 G 右焦点 F2 的直线 m: x ? 1 与椭圆 G 交于点 M,
∴c ? 1 ,

由(Ⅰ)知

c 1 ? , a 2

∴a ? 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,

∴椭圆 G 的方程为

x2 y 2 ? ?1, 4 3 ? 3? ∴A(?2, 0) , M ?1, ? , ? 2?
1 . 2

??????????????????(6 分)

∴k AM ?

设直线 l: y ?
? x2 y 2 ? ? 1, ? ?4 3 由? ?y ? 1 x ? n ? ? 2

1 x ? n, n ? 1 ,点 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) , 2

得 x 2 ? nx ? n 2 ? 3 ? 0 ,

? ? n 2 ? 4(n 2 ? 3) ? 12 ? 3n 2 ? 0 ,
∴ ? 2 ? n ? 2 且 n ? 1 , x1 ? x2 ? ?n , x1 x2 ? n 2 ? 3 ,

kMB ? kMC

3 3 y2 ? 2 2 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ?

1 3 1 3 x1 ? n ? x2 ? n ? 2?2 2 ?2 x1 ? 1 x2 ? 1

?1?
?1?

(n ? 1)( x1 ? x2 ? 2) n ?1 n ?1 ? ?1? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1
(n ? 1)(n ? 2) ?0, n2 ? n ? 2

∴直线 MB,MC 关于直线 m 对称. 21. (本小题满分 12 分)

????????????????(12 分)

(Ⅰ)证明: f ?( x) ? a x ln a ? 2 x ? ln a ? 2 x ? (a x ? 1) ?ln a ,
12

由于 0 ? a ? 1 ,故当 x ? (??, 0) 时,
ln a ? 0 , a x ? 1 ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 ,

故函数 f ( x) 在 (??, 0) 上单调递减. (Ⅱ)解:当 a ? 0 , a ? 1 时,

????????????????(4 分)

因为 f ?(0) ? 0 ,且 f ?( x) 在 R 上单调递增,故 f ?( x) ? 0 有唯一的解 x ? 0 , 所以 x, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示.

x
f ?( x) f ( x)

(??, 0)

0 0 极小值

(0, ? ?)

? 单调递减

+ 单调递增

又函数 y ?| f ( x) ? t | ?1 有三个零点, 所以方程 f ( x) ? t ? 1 有三个根, 而 t ? 1 ? t ? 1 ,所以 t ? 1 ? [ f ( x)]min ? f (0) ? 1 ,解得 t ? 2 . ???????(8 分)

(Ⅲ)解:因为对于任意 x1 , x2 ? [?1, 1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ≤e ? 1 , 所以当 x ? [?1, 1] 时, | [ f ( x)]max ? [ f ( x)]min |? [ f ( x)]max ? [ f ( x)]min ≤e ? 1 , 由(Ⅱ)知, f ( x) 在 [?1, 0] 上递减,在 [0, 1] 上递增, 所以当 x ? [?1, 1] 时, [ f ( x)]min ? f (0) ? 1 , [ f ( x)]max ? max{ f (?1), f (1)} ,
1 ?1 ? 而 f (1) ? f (?1) ? (a ? 1 ? ln a) ? ? ? 1 ? ln a ? ? a ? ? 2 ln a , a a ? ?

1 记 g (t ) ? t ? ? 2 ln t (t ? 0且t ? 1) , t

因为 g ?(t ) ? 1 ?

1 2 ?1 ? ? ? ? ? 1? ? 0 , t2 t ? t ?

2

1 所以 g (t ) ? t ? ? 2 ln t 在 (0, ? ?) 上单调递增,而 g (1) ? 0 , t

所以当 t ? 1 时, g (t ) ? 0 ; 当 0 ? t ? 1 时, g (t ) ? 0 .

13

也就是当 a ? 1 时, f (1) ? f (?1) ;当 0 ? a ? 1 时, f (1) ? f (?1) . 当 a ? 1 时,由 f (1) ? f (0)≤e ? 1 ? a ? ln a≤e ? 1 ? 1 ? a≤e ; 当 0 ? a ? 1 时,由 f (?1) ? f (0)≤e ? 1 ?
?1 综上所述,所求 a 的取值范围为 a ? ? , ?e
1 1 ? ln a≤e ? 1 ? ≤a ? 1 . a e

? 1? ? (1, e] . ?

?????????(12 分)

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4? 1:几何证明选讲】 证明: (Ⅰ)如图 6,过 C 作 CF∥AB ,

CF 与 AE 的延长线交于 F,
∴?F ? ?BAF . ∵AE 为 △ABC 的角平分线,
∴?BAE ? ?CAE ,∴?F ? ?CAE ,∴AC ? CF . ∵△ABE∽△FCE ,



AB BE AB BE ,∴ . ? ? CF EC AC EC

????????????????????(5 分)

(Ⅱ)由割线定理可得 BM ? BA ? BD ? BE , CN ?CA ? CE ?CD ,
∵BD ? CD ,



BM ? BA BD ? BE BE ? ? , CN ?CA CE ?CD CE

由(Ⅰ)知

AB BE , ? AC EC BE BM ? BA BM BA BM BE ∴ ? ? ? ? ? , CE CN ?CA CN CA CN EC BM ? 1 ,即 BM ? CN . CN



????????????????????(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4? 4:坐标系与参数方程】

14

1 ? x ? ?2 ? t, ? 2 ? 解: (Ⅰ)直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) , ? y ? 2 ? 3 t, ? ? 2

代入曲线 C 的方程得 t 2 ? 4t ? 10 ? 0 . 设点 A,B 对应的参数分别为 t1,t2 ,则 t1 ? t2 ? ?4 , t1t2 ? ?10 , 所以 | AB |?| t1 ? t2 |? 2 14 . ?????????????????????(5 分)

(Ⅱ)由极坐标与直角坐标互化公式得点 P 的直角坐标为 (?2,2) , 所以点 P 在直线 l 上,中点 M 对应参数为
t1 ? t2 ? ?2 , 2

由参数 t 的几何意义,所以点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 | PM |? 2 . 24. (本小题满分 10 分) 【选修 4? 5:不等式选讲】 解: (Ⅰ)当 x ? ?2 时,
f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? 1 ? 2 x ? x ? 2 ? ? x ? 3 , f ( x) ? 3 ,即 ? x ? 3 ? 3 ,解得 x ? 0 ,

???(10 分)

又 x ? ?2 ,∴x ? ?2 ;
1 当 ?2≤x≤ 时, f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? 1 ? 2 x ? x ? 2 ? ?3 x ? 1 , 2 4 1 f ( x) ? 3 ,即 ?3x ? 1 ? 3 ,解得 x ? ? ,又 ?2≤x≤ , 3 2 4 ∴ ? 2≤x ? ? ; 3

当x?

1 时, f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 3 , 2 1 , 2

f ( x) ? 3 ,即 x ? 3 ? 3 ,解得 x ? 6 ,又 x ?
∴x ? 6 .

4? ? 综上,不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ? ??,? ? ? (6,? ?) . 3? ?

????????(5 分)

? ?? x ? 3,x ? ?2, ? 1 ? (Ⅱ) f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? ??3 x ? 1,? 2≤x≤ , 2 ? 1 ? x ? 3,x ? , ? ? 2
5 ?1? ∴f ( x) min ? f ? ? ? ? . 2 ?2?

15

∵?x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 4m ? 2m 2 ,

5 ∴4m ? 2m 2 ? ? , 2

整理得 4m 2 ? 8m ? 5 ? 0 ,
1 5 解得 ? ? m ? . 2 2

? 1 5? 因此实数 m 的取值范围是 ? ? , ? . ? 2 2?

??????????????????(10 分)

16


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