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对数的概念


某细胞分裂时,由一个分裂成2个,两个分裂成4个 ……依此类推,问一个这样的细胞经过多少次分裂后细 胞的个数为 4096 个 ?
第1次 第2次 第3次 第x次 2=21 4=22 8=23

……

2x

实质:已知底数和幂的值, 求指数。

即指数式 a x ? N 中,已知a 和N,

求x。
a
b

?

N

你看出来了吗?怎样求呢?

1.对数的定义:一般地,如果a的b次幂等于N,即a b= N ( a>0 且a≠1 ) , 那么数b叫做以 a 为底 N 的对数. 记作 b= log a N ( a>0 且 a ≠ 1 ). 其中, a 叫做对数的底数,N 叫做真数.

(1)底数的限制,a>0且a ≠ 1;

4 2 ? 16
102
1 2

? ? 100 ? ?
?

log4 16 ? 2
log10 100 ? 2
log 4 2 ? 1 2

4 ?2
10?2 ? 0.01

log10 0.01 ? ?2

① 是不是所有的实数都有对数呢?N有限制吗?

a ? N ? loga N ? x
x

负数和零没有对数;
N>0

例1 将下列指数式写成对数式:

5 ? 625? log5 625 ? 4 1 1 ?6 ? log 2 ? ?6 ( 2) 2 ? 64 64 (3) 3a ? 27 ? log3 27 ? a m ?1? (4) ? ? ? 5.13 ? log1 5.13 ? m 3 ? 3?
( 1)
4

a ? N ? log N ? b
b
a

变式1: 将下列对数式写成指数式:

1? ? (1)log1 27 ? ?3 ? ? ? ? 27 3 ? 3? 1 1 ?3 (2)log 5 ? ?3 ? 5 ? 125 125 1 1 (3) log 2 ? ?2 ? 2 ? 2 ? 4 4 1 1 ? 4 (4) log 3 ? ?4 ? 3 ? 81 81
log a N ? b

?3

ab ? N

两个重要对数 (1)常用对数:以10为底的对数 log10N, 简记为 lgN. 如: log10 2可简记作lg 2. (2) 自然对数:以无理数 e=2.71828… 为底的对 数logeN ,简记为lnN.

如: loge 2可简记作ln 2.

1 求下列各式的值:

你发现了什么?

(1) log31= 0

(2) lg1= 0

(3) log0.51= 0 (4) ln1= 0

1的对数等于零,即loga1=o

实质:a ? 1
0

2 求下列各式的值:

你发现了什么?

(1) log33= 1

(2) lg10=1

(3) log0.50.5= 1 (4) lne= 1

底数的对数等于1,即logaa=1

实质:a ? a
1

3 求下列各式的值:

(1) 2

log2 3

?

你发现了什么?

3

(2) 7

log7 0.6

? 0.6

(3) 0.4
实质: a
x

log0.4 89

对数恒等式

? 89 loga N a ?N

? N ? loga N ? x

? 4.请同学们再观察一下变式1,你发现了什 么新的规律了吗?

4.对数的基本性质

(1).负数和零没有对数;
(2). 1的对数等于零,即loga1=o; (3).底数的对数等于1,即logaa=1;
对数恒等式: (4). a
log a N

?N

(a ? 0且a ? 1, N ? 0)

? 例3.见导学案探究二。

1求值: (1)log
3

1 ? log 3 3 ? log 3 27 ? ? 3

4

(2)ln e ? lg100

(3)3

2log9 5

?

5

64 3.已知log2[log3 (log4 x)] ? 0,则 x=      
loga 3 ? n , 则 a 2 m? n 4.已知 loga 2 ? m ,

? 12

1°对数的概念 2°对数式与指数式的互化 3°对数的基本性质

4°求值(已知对数、底数、真 数 其中两个,会求第三个)

16 世纪著名的科学家伽利略曾说过一句话: “给我时间,空间和对数,我可以创造一个 宇宙。”


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