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2014年陕西高考文科数学试题及答案


2014 年陕西高考文科数学试题及答案

文科数学
一、 选择题: 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求 (本大题共 10 小题, 每小题共 5 分,共计 50 分) 2 1. 设集合M={x|x ? 0 X∈R} .N={X|X <1 X∈R} 。则M∩N=( ) ( D )
(A)

?0,1?

/>? 2

(B)

? 0,1?
?
4

(C)

? 0,1?

(D)

?0,1?
( B )

2.函数 f ( x) ? cos(2 x ? (A) (B)

) 的最小正周期是
(C) 2 ? (D) 4 ?

?

3. 已知复数 z=2-i,则 z ? z 的值为 (A) 5 (B) 5 (C)3 (D) 3

( A )

4.根据右边框图,对于大于 2 的整数 N,输出的数列通项公式是 (A)

( C ) (D)

?n ? 2n

(B)

? n ? 2(n ? 1)

(C)

?n ? 2n

? n ? 2n?1

5.将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得集合体的侧面积是 ( C ) (A) 4 ? (B) 3 ? (C) 2 ? (D) ? 6.从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小于该正方形 的边长的概率 为 ( B ) (A)

1 5

(B)

2 5

(C)

3 5
1 2

(D)

4 5
( B )
x

7.下列函数中,满足 f(x+y)=f(x)f(y) 的单调递增函数是 (A) f(x)=x
3

(B) f(x)=3

x

(C) f(x) = x

?1? (D) f(x)= ? ? ?2?

8.原命题为 “

a n ? a n ?1 ? a n , n ? N ? 则 ?an ?为递减数列, ”关于其逆命题,否命题,逆否命题的 2
( A ) (C)真,真,假 (D)假,假,假,
2

判断依次如下,正确的是 (A)真,真,真 (B)假,假,真

9.某公司 10 位员工的月工资(单位:元)为 X1,X2,X3……..X10 的均值和方差分别是 x和s ,若从下月起 每位员工的月工资增加 100 元,则这 10 为员工斜月的公司的均值和方差分别为 (A) x, s 2 ? 1002 (B) x ? 100 , s 2 ? 1002 (C) x , s
2 2 (D) x +100, s



D )

10.如图,维修一跳公路需要一段环湖曲线路段与两条直道平滑连接(相切) ,已知环湖弯曲路段为某三次 函数图象的一部分,则该函数的解析式为 ( A )

1 3 1 2 x ? x ?x 2 2 1 3 (C) y= x ? x 4
(A)y=

(B)y=

1 3 1 2 x ? x ? 3x 2 2 1 3 1 2 (D) y= x ? x ? 2 x 4 2

~1~

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二、填空题:吧答案填写在答题卡相应题号的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共计 25 分)
11.抛物线 y 2 ? 4 x 的准线方程式为 12.已知 4
?

x ? ?1

? 2, lg x ? ? ,则 x =

10
1 2

13.设 0 ? ? ?

?
2

,向量 a ? (sin 2? , cos? ) ,b=(1,-cos ? ),若 a ? b ? 0 ,则 tan ? ?

14.已知 f ( x) =

x , x ? 0, 若 f1 ( x) ? f ( x) , f n?1 ( x) ? f ( f n ( x)),n ? N ? ,则 f 2014 ( x )的表达式为 1? x

x 1 ? 2014 x

15.(考生注意:在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)
A.(不等式选做题)设 a, b, m, n ? R ,且 a 2 ? b 2 ? 5, ma ? nb ? 5 ,则 m ? n 的最小值为 5
2 2

B.(几何证明选做题)如图△ABC 中 BC=6, 以 BC 为直径的半圆分别交 AB、 AC 于 E、 F,若 AC=2AE,则 EF= 3 C. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点(2, 离是 1

? ? )到直线 ? sin( ? - )=1 的距 6 6

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共计 6 小题,共计 75 分)
16.(本小题满分 12 分)

?ABC的 内 角 A, B, C所 对 的 边 长 分 别 a, 为 b, c. (?)若a, b, c成 等 差 数 列 , 证sin 明A : ? sinC ? 2 sin( A ? C ); (?)若a.b.c成 等 比 数 列 , c且 ? 2? , 求 cos B的 值 。
解(I ) a, b, 成等差数列, c ? a ? c ? 2 b 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB sinB+sin ?? ? ( A ? C )? ? sin ( A ? C ) ,
? sin A ? sin C ? 2sin( A ? C )

( II 由题设有 ) b2 ? ac c ,? a 2? ,b ? 由余弦定理得 c o s B?

a2

2 2 a2 ? c 2 ? b 2 a ? 4a ? 2 a 2 3 ? ? 2ac 4 4a 2

~2~

2014 年陕西高考文科数学试题及答案
17.(本题满分 12 分)四面体 ABCD 及其三视图 如图所示,平行于棱 AD,BC 的平面分别交四面体的棱 AB,BD,DC,CA 于点 E,F,G,H.

(?) 求四面体 ABCD 的体积:
( ? )证明四边形 EFGH 是矩形, 解 (I)由该四面体的三视图可知,

BD ? DC , BD ? AD, AD ? DC BD ? DC ? 2, AD ? 1

? A D? 平面 B D ,C

?四面体体积V ?

1 1 ? ? 2 3 2

2 ? 2 1 ? ? 3

(II) BC ∥平面 EFGH, 平面 EFGH 平面 BDC=FG,平面 EFGH

平面 ABC=EH

? BC∥FG ,BC∥EH,

同理 EF∥AD, HG∥AD ? 四边形 EFGH 是平行四边形 又? AD ? 平面BDC, 18.(本小题满分 12 分)

? FG∥EH ? EF∥HG, ? EF ? FG, ? 四边形 EFGH 是矩形。

? AD ? BC,

在直线坐标系 xOy 中,已知 A(1,1), B(2,3) 上,且op = mAB + nAC(m, n ∈ R)

C(3,2),点 P ? x, y ? 在△ABC 三边围成的区域(含边界)

(? ) 若 m ? n ?

2 ,求| OP |; 3

(II)用 x, y表示m ? n, 并且求m ? n的最大值 解 (I)∵m=n=
2 3 2

, AB = (1,2)
2

AC = (2,1)

∴ OP = 3 1,2 + 3 2,1 = (2,2) ∴ op = 22 + 22 = 2 2 (II)∵ op = m 1,2 + n 2,1 = (m + 2n, 2m + n)
?m? 2n ?? x y ?2m?n

两式相减,得 m ? n ? y ? x 令 y ? x ? t ,由图知,当直线 y ? x ? t 过点 B(2,3)时,t 取得最大值为 1,故 m ? n 的最大值为 1 19.(本小题慢 12 分) 某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样品车辆中每辆车的赔付结果统计如下: 赔付金额(元) 车辆数(辆) 0 500 1000 130 2000 100 3000 150 4000 120

(?)若每辆车的投保金额 均为2800 元,估计赔付金额大于 投保金额的概率:

~3~

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( ? )在样本车辆中, 车主是新司机的占 10%, 在赔付金额为 4000 元的样本车辆中, 车主是新司机的占 20%, 估计在投保车辆中,新司机获赔金额为 4000 元的概率。 解(I)设 A 表示事件“赔付金额为 3000 元”B 表示事件“赔付金额为 4000 元” ,以频率估计概率为

P( A) ?

150 ? 0.15, 1000

P( B) ?

120 ? 0.12 1000

由于投保金额为 2800 元,赔付金额大于投保金额对应的情形是 3000 元和 4000 元,所以其概率为

p( A) ? P( B) ? 0.15 ? 0.12 ? 0.27
(II) 设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4000 元”由已知,样本车辆中车主为新司机的有 0.1 ? 1000=100 辆,而赔付金额为 4000 元的车辆中,车主为新司机的有 0.2 ? 120=24 辆 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4000 元的频率 20.(本小题满 13 分) 已知椭圆

24 =0.24 100

由频率估计概率为得 P(C)=0.24

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点(0, 3 ) ,离心率为 ,左右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) 2 2 a b

? ? ? 求椭圆的方程; ? ? ? 若直线l : y ? ?
且满足 1 x ? m与椭圆交于A, B两点,与F1, F2为直径的圆交于C , D两点, 2

AB 5 3 ? ,求直线l的方程。 CD 4

b? 3
解 (I)由题设知

c 1 ? a 2 b2 ? a 2 ? c2

解得 a ? 2, b ? 3,c ? 1

∴椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3
2 2

(II)由题设,以 F1 F2 为直径的圆的方程为 x ? y ? 1

? 圆心到直线 l 的距离 d =

2m 5

,由 d ? 1 得 m ?

5 2
2

4 2 5 ? 4m ? CD ? 2 1 ? d 2 ? 2 1 ? m 2 ? 5 5
设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

~4~

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1 y ?? x?m 2 2 x y2 ? ?1 4 3



得x2 ? mx ? m2 ? 3 ? 0

由求根公式可得 x1 ? x2 ? m, x1 x2 ? m2 ? 3

1 ? 2 15 ? 2 ? ? AB ? ?1 ? (? )2 ? ? m ? 4( m ? 3) ? 4 ? m2 ? ? 2 ? 2 ?


AB 5 3 4 ? m2 ? 得 ?1 CD 4 5 ? 4m2

解得 m ? ?

3 3

1 3 1 3 或y ? ? x ? ? 直线 l 的方程是为 y ? ? x ? 2 3 2 3
21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ln x ?

m ,m? R x

?? ? m ? e(e为自然对数的底数)时 ,求f ( x)的 极 小 值 ;
3 f (b) ? f (a ) ? 1 恒成立,求 m 的取值范围。 (III)若对任意 b ? a ? 0, b?a e x?e 解 (I)由题设,当 m ? e 时, f ( x) ? ln x ? , 则 f ?( x) ? x x2

?? ?讨 论 函 数 g ( x) ?

f , ( x) ?

?

零点的个数;

? 当 x ? (0, e), f ?( x) ? 0, f ( x)在(0, e) 上单调递减
? 当 x ? (e, ??), f ?( x) ? 0, f ( x) 在 (e, ??) 上单调递增 ? 当 x ? e 时, f ( x)取得极小值 f (e) ? ln e ? ? f ( x) 的极小值为 2
(II)由题设, g ( x) ? f ?( x) ? 令 g ( x) =0 得 m = — 设 ? ( x) ? ?

e ?2 e

x 1 m x ? ? ? ( x ? 0) 3 x x2 3

1 3 x ? x ( x ? 0) 3

1 3 x ? x( x ? 0) 3
2

则 ? ?( x) ? ? x ? 1 ? ?( x ? 1)( x ? 1) 当 x ? (0,1)时? ?( x) ? 0, ? ( x)在(0,1)上单调递增,

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当 x ? (1 上单调递减 , +?)时, 1 +?) ? ?( x) ? 0, ? ( x)在(,

? x ? 1 是 ? ( x) 的唯一极值点,且是极大值点,因此 x ? 1 也是 ? ( x) 的最大值点 ? ? ( x) 的最大值为 ? (1) ?
2 3

又 ? (0) ? 0 结合 y ? ? ( x) 的图像(如图) ,可知

2 时,函数 g ( x) 无零点 3 2 2 当m ? ○ 时,函数 g ( x) 有且只有一个零点; 3 2 3 当0 ? m ? ○ 时,函数 g ( x) 有两个零点 3
1 当m ? ○ 4 当 m ? 0 时,函数 g ( x ) 有且只有一个零点 ○

2 时,函数 g ( x) 无零点 3 2 当 m ? 或 m ? 0 时函数 g ( x) 有且只有一个零点 3 2 当 0 ? m ? 时,函数 g ( x) 有两个零点 3 f (b) ? f (a) ? 1 恒成立 (III)对任意 b ? a ? 0. b?a
综上所述,当 m ? 等价于 f (b) ? b ? f (a) ? a 恒成立 设 h( x) ? f ( x) ? x ? ln( x) ?

m ? x( x ? 0) x

? 等价于 h( x) 在 (0, ??) 上单调递减
1 m ? ? 1 ? 0 在 (0, ??) 恒成立 x x2 1 2 1 2 得 m ? ? x ? x ? ?( x ? ) ? ( x ? 0) 恒成立 2 4 1 1 1 得 m ? (对于 m ? , h ?( x) ? 0 仅在 x ? 时成立, 4 4 2 ? x)= ( 由h

?1 ? ? m 的取值范围是 ? , ?? ? ?4 ?

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x ? 2 x 4 2 ~1~ 2014 年陕西高考文科数学试题及答案二、填空题:吧答案填写在答题卡相应题号的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共计 25 分) ...

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