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嵩明一中2013——2014学年下学期期末考试高一数学模拟试题


嵩明一中 2013——2014 学年下学期期末考试模拟试题 高一数学试卷
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,满分共 150 分,考试用时 120 分钟,内容:必修二、必修五。

第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合要求的) 1、

若 a ? b , b ? c ,则有 A. a // c C. a 、 c 异面 2、不等式 B. a ? c D. A、B、C 选项都不正确

3x ? 1 ? 1 的解集是 2? x 3 3 A. { x | ? x ? 2} B. { x | ? x ? 2} 4 4

C. {x | x ? 2或x ? }

3 4

D. { x | x ?

3 } 4

3、若 l , m, n 是互不相同的空间直线, ? , ? 是不重合的平面,下列命题正确的是 A.若 ? // ? , l ? ? , n ? ? ,则 l // n C. 若 l ? n, m ? n ,则 l // m B.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l ? ? D.若 l ? ? , l // ? ,则 ? ? ?

4、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 5, S5 ? 55 ,则公比 q 等于 A. 4 B. 2 C.

?2

D.

?2或4
D1 A1 D A B B1 C C1

5、已知等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 a1 ,a 3 , a4 成等比数列, 则 a 2 = A. – 4 B.-6 C.-8 D.-10 6、如图,在棱长为 a 的正方体 A 1B 1C1D 1 ? ABCD 中,异面直线

AB 与 A1D1 所成的角等于
A.

? 6

B.

? 4
o

C.

? 3

D.

? 2

7、在 ?ABC 中, A ? 45 , a ? 2, b ? 2 ,则 B 等于 A. 30
o

B. 45

o

C. 30 或150

o

o

D. 45 或135

o

o

8、如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 A. 32? B. 16? C. 12? D. 8?

2 4
俯视图 1 正(主)视图

4
侧(左)视图

9、设 a、 b ? R ,a≠b,且 a+b=2,则下列各式正确的是 a 2 ? b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 A. ab ? 1 ? B. ab ? 1 ? C. 1 ? ab ? 2 2 2 ? x ? y ? 0, ? 10、若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?0 ? x ? 3, ?
A.3 B.10 C.6 D.9

D. ab ?

a 2 ? b2 ?1 2

11、已知等差数列 ?an ? 中, a3 ? a9 ,公差 d ? 0 ,则使前 n 项和 Sn 取最大的正整数 n 是 A.4 或 5 B.5 或 6 C .6 或 7 们之间的夹角为 A.30° D 不存在
2

12、过直线 y ? x 上的一点作圆 ( x ? 5) ? ( y ?1)2 ? 2 的两条切线 l1 , l2 ,当直线 l1 , l2 关于 y ? x 对称时,它 B.45° C.60° D.90°

第 II 卷

(非选择题

共 90 分)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,则该三角形的形状是________ 4 14、设 x>0,则函数 y ? 2 ? ? x 的最大值为 x
15、若直线 (a ? 2) x ? (1 ? a) y ? 3 ? 0 与直线 (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直,则 a =________ 16、将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得平面 ADC ? 平面 ABC ,在折起后形成的三棱 锥 D ? ABC 中,给出下列三个命题: ①面 DBC 是等边三角形; ② AC ? BD ; ③三棱锥 D ? ABC 的体积是 其中正确命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号) 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、 (本题满分 10 分) 已知 ?ABC 的三个顶点 A(-3,0) ,B(2,1) ,C(-2,3) ,求 1)BC 所在直线的方程; 2)BC 边上的中线 AD 所在的直线方程。

2 . 6

2

18、(本题满分 12 分)已知圆 c 与 y 轴相切,圆心 c 在直线 l1 : x ? 3 y ? 0 上,且截直线 l 2 : x ? y ? 0 的弦长为 2 2 ,求圆 c 的方程。

19、(本题满分 12 分)已知数列 ?an ? 为等差数列, a3 ? 5 , a7 ? 13 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,且有

S n ? 2bn ? 1 1)求 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; 2)若 cn ? an bn , ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

P 20、 (本题满分 12 分)已知 ABCD ? A1B1C1D1 是底面为正方形的长方体, ?AD1 A 1 ? 4 ,点 1 ? 60 , AD
是 AD1 上的动点. (1)求证:不论点 P 在 AD1 上的任何位置,平面 B1PA 1 都垂直于平面 AA 1D 1 (2)当 P 为 AD1 的中点时,求异面直线 AA1 与 B1P 所成角的余弦值;
B P A D C

A1 D1 B1 C1

3

21、(本题满分 12 分)已知△ABC 的三内角 A、B、C 成等差数列,且 的值
王新敞
奎屯 新疆

A?C 1 1 2 ,求 cos ? ?? 2 cos A cosC cos B

22、 (本题满分 12 分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P-EFGH, 下半部分是长方体 ABCD-EFGH ,图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积

4

参考答案
一、选择题:DBDCB DACDD AC 一、填空题:13、等腰或直角三角形 14、-2 15、 ? 1 16、①②

三.解答题:17、 x ? 2 y ? 4 ? 0 ; 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 18、解:∵ 圆心 C 在直线 l1 : x ? 3 y ? 0 上, ∴ 可设圆心为 C(3t,t). 又∵ 圆 C 与 y 轴相切, ∴ 圆的半径 r=|3t|. ∴(

3t ? t 2 ) ? ( 2 ) 2 ? 3 | t |2 ,解得 t=± 1. 2

∴ 圆心为(3,1)或(-3,-1),半径为 3. ∴ 所求的圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9. 19、解: (1)∵ ?an ? 是等差数列,且 a3 ? 5 , a7 ? 13 ,设公差为 d 。 ∴?

? a1 ? 2d ? 5 ?a1 ? 1 , 解得 ? ?d ? 2 ?a1 ? 6d ? 13
(n? N )
?

∴ an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 在 ?bn ? 中,∵ S n ? 2bn ? 1

当 n ? 1 时, b1 ? 2b1 ? 1 ,∴ b1 ? 1 当 n ? 2 时,由 S n ? 2bn ? 1 及 S n?1 ? 2bn?1 ? 1 可得

bn ? 2bn ? 2bn?1 ,∴ bn ? 2bn?1
∴ ?bn ? 是首项为 1 公比为 2 的等比数列 ∴ bn ? 2 n?1 (n? N )
?

(2) cn ? an bn ? (2n ? 1) ? 2 n?1

Tn ? 1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n?1



2Tn ? 1? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n ②
①-②得 ? Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2 n

5

? 1? 2?

2(1 ? 2 n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n 1? 2

? 1 ? 4(2 n?1 ? 1) ? (2n ? 1) ? 2 n ? ?3 ? (2n ? 3) ? 2 n
∴ Tn ? (2n ? 3) ? 2 n ? 3 (n? N )
?

20、解: (1)不论点 P 在 AD1 上的任何位置,都有平面 B1PA 1 垂直于平面 AA 1D 1 证明如下:由题意知, B1 A 1 ? A 1D 1, B 1A 1 ? A 1A
A



AA1

A1D1 ? A1

? B1 A1 ? 平面 AA1D1
B C P

D

? 平面 AA1D1 . 又 A1 B1 ? 平面 B1PA 1 ? 平面 B 1PA 1
(2)过点 P 作 PE ? A1D1 ,垂足为 E ,连结 B1E (如图) ,则 PE ∥ AA1 ,
B1 A1

E C1

D1

??B1PE 是异面直线 AA1 与 B1P 所成的角.
在 Rt△AA 1D 1 中 ∵ ?AD 1A 1 ? 60 ∴ A1 B1 ? A1 D1 ? ∴ ?A 1 AD 1 ? 30

1 AD1 ? 2 , 2

A1 E ?

1 A1 D1 ? 1 , 2 1 AA1 ? 3 . 2

? B1 E ? B1 A12 ? A1 E 2 ? 5 .又 PE ?

? 在 Rt△B1PE 中, B1P ? 5 ? 3 ? 2 2

, cos ?B1PE ?

PE 3 6 ? ? B1P 2 2 4

? 异面异面直线 AA1 与 B1P 所成角的余弦值为
21、依题意得 B=

6 4

? ? ? ,设 A= +α ,C= -α , 3 3 3
1 cos( ? ? ) 3
王新敞
奎屯 新疆



A?C =α 同时有: 2

?

?

1 cos( ? ? ) 3

?

??

2 cos

?
3

6



2 cos? ? 3 sin ?
2

?

2 cos? ? 3 sin ?

? ?2 2

?

2 cos ? ? ? 2 ? 4 2 cos 2 ? ? 2 cos ? ? 3 2 ? 0 cos ? ? 3 sin 2 ?

∴cosα =

2 3 2 或 cosα =(舍去) 2 4

即 cos

A?C 2 ? 2 2

王新敞
奎屯

新疆

22、(1)侧视图同正视图,如下图所示. (2)该安全标识墩的体积为: V

? VP?EFGH ? VABCD?EFGH

1 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 3

? cm ?
2

7


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