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广东省普宁市城东中学2013届高三第三次月考数学(文)试题


普宁市城东中学 2013 届高三第三次月考试题
(文 科 数 学) 命题人:林双葵 2012-11-8 考试时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1 1. 设集合 A ? {x | ? ? x ? 2}, B ? {x x 2 ? 1} ,则 A ?

B ? ( ) 2 1 A. {x ?1 ? x ? 2} B. {x | ? ? x ? 1} C. {x | x ? 2} D. {x |1 ? x ? 2} 2 1 2.已知 ? 是第二象限角, sin ? ? ,则 sin2 ? =( ) 2 A.
3 2

B. ?

3 2

C. ?

3 2

D. ?

3 4

3.如右图所示,圆和直角 AOB 的两边相切,直线 OP 从 OA 处开始,绕点 O 匀速旋 转(到 OB 处为止)时,所扫过的圆内阴影部分的面积 S 是 t 的函数,它的图象大 致为( )
B P t A B t C t D t O S A

S

S

S

S

4.“

”是“

”的(

) B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分非必要条件 C.充要条件
5.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? A. (0 , 1)

2 的零点所在的大致区间是( x
C. (2 , e)

) D. (3 , 4)

B.(1,2)

6.设 a ? ? 0.3

, b ? log? 3 , c ? 1 ,则 a, b, c 的大小关系是(



A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? a ? c 3 7.曲线 y=x -2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为 A.30° B.45° C.60°

D. b ? c ? a ( ) D.120°

8.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

) 的部
1

y

? 分图象如图示, 则将 y ? f ( x) 的图象向右平移 个单 6
位后,得到的图象解析式为 ( A. y ? sin 2x C. y ? sin(2 x ? ) B. y ? cos 2x

11? 12

O

? 6

x

2? ? ) D. y ? sin(2 x ? ) 3 6 9.已知函数 f(x)是定义在区间[-a, a](a>0)上的奇函数, 且存在最大值与最小值. 若

g(x)=f(x)+2,则 g(x)的最大值与最小值之和为(
A.0 B.2 C.4

)
D.不能确定

10.对于复数 a , b , c , d ,若集合 S ? {a, b, c, d } 具有性质“对任意 x , y ? S 必有
xy ? S ” , 则 当 a ? 1 , b 2 ? 1 , c 2 ? b 时 , b ? c ? d 等 于

(

)

A.1

B. i

C.0

D. ? 1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填写在答题卡划 线上。 (一)必做题(11~13 题) 11.函数 y ? 2 ? x ? log3 (1 ? x) 的定义域为 π 1 12.在△ABC 中,若 b=5,∠B=4,sin A=3,则 a=________

? a, a ? b 13.对 a,b ? R,记 max{a,b}= ? 函数 f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x ? R) b, a<b ?
的最小值是_ (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) ?x=1-2t 14.(坐标系与参数方程选做题) 若直线? (t 为参数)与直线 4x+ky=1 垂直, ?y=2+3t 则常数 k=________. 15. (几何证明选讲选做题)如图,已知 PA 是圆 O 的 切线, 切点为 A, 直线 PO 交圆 O 于 B、 两点, C AC=2, ∠PAB=120° ,则圆 O 的面积为_____ ___

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤。

16.(本题 12 分)某校为了解学生的学科学习兴趣,对初高中学生做了一个喜欢数 学和喜欢语文的抽样调查,随机抽取了 100 名学生,相关的数据如下表所示: 数学 初中 高中 总计
40

语文
18

总计
58
42

15 55

27 45

100

(1) 用分层抽样的方法从喜欢语文的学生中随机抽取 5 名,高中学生应该抽取几 名? (2) 在(Ⅰ)中抽取的 5 名学生中任取 2 名,求恰有 1 名初中学生的概率. 17. (本题 12 分)设 函数f ( x) ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x (1)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递增区间
? ?? (2)当 x ? ?0, ?时,求f ( x)的最大值 ? 3?

18. (本题 14 分)在四棱锥 P—ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD, ∠BAD=60°,E,F 分别是 AP,AD 的中点.求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

π α 1 2 19. (本题 14 分)已知 0<α<2<β<π,tan 2=2,cos(β-α)= 10 . (1)求 sin α 的值;(2)求 β 的值.

20. (本题 14 分)设函数 f ( x) ?

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1, 其中a 为实数。 3 2

(1)已知函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (2)已知不等式 f ' ( x) ? x2 ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立,求实数 x 的取值范 题号 答案 11 12 5 3 2
3 2

13

14
-6

? ?1, 2?

15 4π

围。

21. (本题 14 分)设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a, b, c 为实数, a ? 0) , ( x) ? ? 且 F ?

f ( x), x ? 0, ?? f ( x), x ? 0.

(1)若 f (?1) ? 0 ,曲线 y ? f ( x) 通过点 (0, 2a ? 3) ,且在点 (?1, f (?1)) 处的切线垂 直于 y 轴,求 f (x) 的表达式; (2)在(Ⅰ)在条件下,当 x ?[?1,1] 时, g ( x) ? kx ? f ( x) 是单调函数,求实数 k 的取 值范围; (3)设 mn ? 0 , m ? n ? 0 , a ? 0 ,且 f (x) 为偶函数,证明 F (m) ? F (n) ? 0.

第三次月考答案
一、选择题 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 A 5 B 6 B 7 B 8 D 9 C 10 D

二、填空题

题号 答案

11

12 5 3 2
3 2

13

14
-6

? ?1, 2?

15 4π

三、解答题 16. 解 : (1)

由表中数据可知, 高中学生应该抽取 27 ?

5 ? 3 人. 45

?4 分

(2) 记抽取的 5 名学生中,初中 2 名学生为 A , B ,高中 3 名学生为 a , b , c , 则从 5 名学生中任取 2 名的所有可能的情况有 10 种,它们是: ( A , B) , ( A , a) ,
( A , b) , ( A , c) , ( B , a) , ( B , b) , ( B , c) , (a , b) , (a , c) , (b , c) .??7 分

其中恰有 1 名初中学生的情况有 6 种,它们是: ( A , a) , ( A , b) , ( A , c) , ( B , a) ,
( B , b) , ( B , c ) .

?9 分 ?13 分

故所求概率为

6 3 ? . 10 5

?? ? 17 解: (1)? f ( x) ? 2 cos2 x ? 3 sin 2 x ? 2 sin? 2 x ? ? ? 1 ……….2 分 3? ?
?函数 f ( x)的最小正周期 T ? 2? ? ? ……………………………….1 分 2

由2k? ? k? ?

?
2

? 2k? ?

?
2 ,k ? Z

?
3

? x ? k? ?

?

6

? ?? ? 所以函数的单调递增区间是 ?k? ? , k? ? ?(k ? Z ) …………………………6 分 3 6? ?

? ?? 5? ? ? ?? (2) 当x ? ?0, ?时,x ? ? ? , ? 2 6 ?6 6 ? ? 3?

?当2 x ?

?
6

?

?
2

,即 x ?

?
6

, f ( x)的最大值是 3 …………………………………12 分

18.(1)如图,在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD. 又因为 EF?平面 PCD,PD?平面 PCD, 所以直线 EF∥平面 PCD. (2)连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60°, 所以△ABD 为正三角形. 因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD, BF?平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF?平面 BEF. 所以平面 BEF⊥平面 PAD. α 2tan 2 α 1 4 19.(1)由 tan 2=2,得 tan α= =3, α 1-tan22 3 ∴cos α=4sin α, 又 sin2α+cos2α=1, 由①、②联立,得 25sin2α=16, π 4 ∵0<α< ,∴sin α= 2 5 3 3 (2)由(1)知,cos α=4sin α=5 π 又 0<α<2<β<π,∴0<β-α<π. 2 π 由 cos(β-α)= 10 ,得 0<β-α<2. 98 7 2 ∴sin(β-α)= 10 = 10 , 7 2 3 2 4 ∴sin β=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cos α+cos(β-α)· α= 10 ×5+ 10 ×5= sin 25 2 2 = . 50 2 π 3 由2<β<π 得 β=4π., 20.解: (1)

f ' ( x) ? ax2 ? 3x ? (a ? 1) ,由于函数 f ( x) 在 x ? 1 时取得极值,所以
即 a ? 3 ? a ? 1 ? 0,∴ a ? 1

f ' (1) ? 0 ,
(2) 方法一

由题设知: ax2 ? 3x ? (a ? 1) ? x2 ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立

即 a( x2 ? 2) ? x2 ? 2x ? 0 对任意 a ? (0, ??) 都成立 设 g (a) ? a( x2 ? 2) ? x2 ? 2x(a ? R) , 则对任意 x ? R , g (a) 为单调递增函数
(a ? R)

所以对任意 a ? (0, ??) , g (a) ? 0 恒成立的充分必要条件是 g (0) ? 0 即 ? x 2 ? 2 x ? 0 ,∴ ?2 ? x ? 0 于是 x 的取值范围是 ?x | ?2 ? x ? 0? 方法二 由题设知: ax2 ? 3x ? (a ? 1) ? x2 ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立 即 a( x2 ? 2) ? x2 ? 2x ? 0 对任意 a ? (0, ??) 都成立 于是 a ?
x2 ? 2 x x2 ? 2 x ?0 对任意 a ? (0, ??) 都成立,即 2 x2 ? 2 x ?2

∴ ?2 ? x ? 0

于是 x 的取值范围是 ?x | ?2 ? x ? 0?
21.解:(1) 因为 f ( x) ? ax ? bx ? c ,所以 f ?( x) ? 2ax ? b .
2

又曲线 y ? f ( x) 在点 (?1, f (?1)) 处的切线垂直于 y 轴,故 f ?(?1) ? 0, 即 ?2a ? b ? 0 ,因此 b ? 2a . 因为 f (?1) ? 0 ,所以 b ? a ? c . 又因为曲线 y ? f ( x) 通过点 (0, 2a ? 3) , 所以 c ? 2a ? 3 . ③ 解由①,②,③组成的方程组,得 a ? ?3 , b ? ?6 , c ? ?3 . 从而 f ( x) ? ?3x ? 6 x ? 3 .?????????????????4 分
2

① ②

(2)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ?3x ? 6 x ? 3 ,
2

所以 g ( x) ? kx ? f ( x) ? 3x ? (k ? 6) x ? 3 .
2

由 g (x) 在 [?1,1] 上是单调函数知: ?

k ?6 k ?6 ? ?1 或 ? ? 1, 6 6

得 k ? ?12 或 k ? 0 .??????????????????????9 分 (3)因为 f (x) 是偶函数,可知 b ? 0 .

因此 f ( x) ? ax2 ? c .

???????????????????10 分

又因为 mn ? 0 , m ? n ? 0 , 可知 m , n 异号. 若 m ? 0 ,则 n ? 0 . 则 F (m) ? F (n) ? f (m) ? f (n)

? am2 ? c ? an2 ? c
? a(m ? n)(m ? n) ? 0 .??????????????12 分
若 m ? 0 ,则 n ? 0 . 同理可得 F (m) ? F (n) ? 0 . 综上可知 F (m) ? F (n) ? 0. ???????????????????14 分


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