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函数的单调性


函数的单调性

y
y=x+1
1

-1 O

x

y
y=x+1
1

y y
2 2 y=-2x+2 x 1 1 x O

-1 O

x

y
y

=x+1
1

y y
2 2 y=-2x+2 x 1 1 x O

-1 O

x

y y
O
1

y=-x2+2x
2

x

y
y=x+1
1

y y
2 2 y=-2x+2 x 1 1 x O

-1 O

x

y y
O
1

y=-x2+2x
2

y

x

1 y? x x O

y

y?x

2

O

x

y

y? x
f ( x1 )

2

x1

O

x

y

y? x
f ( x1 )

2

x1

O

x

y

y? x

2

f ( x1 )

x1 O 0

x

y

y? x

2

f ( x1 )

x1O

x

y

y? x

2

f ( x1 ) O

x1

x

y

y? x

2

f ( x1 )
O

x1

x

y

y? x

2

f ( x1 )
O

x1

x

y

y? x
f ( x1 )
O

2

x1

x

y

y? x f ( x1 )
2

O

x1

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y

O

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y

O

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y

O

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y
x1<x2

O

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y y = f(x )
x1<x2

O

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y y = f(x )
f(x1)
O

f(x2) x2 x x1<x2

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y y = f(x )
f(x1)
O

f(x2) x2 x x1<x2

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y y = f(x )
f(x1)
O

f(x2) x2 x x1<x2? f(x1)<f(x2)

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y y = f(x )
f(x1)
O

f(x2) x2 x x1<x2? f(x1)<f(x2)

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y y = f(x )
f(x1)
O

f(x2) x2 x

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y 在给定区间上任取x1, x2 y = f(x )
f(x1)
O

f(x2) x2 x

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y 在给定区间上任取x1, x2 y = f(x ) x1<x2 ? f(x1)<f(x2) f ( x ) 2 f(x1)
O

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y 在给定区间上任取x1, x2 y = f(x ) x1<x2 ? f(x1)<f(x2) f ( x ) 2 f(x1) 函数f (x)在给定 O x1 x2 x 区间上是增加的,也称 是递增的.

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y 在给定区间上任取x1, x2 y = f(x ) x1<x2 ? f(x1)<f(x2) f ( x ) 2 f(x1) 函数f (x)在给定 O x1 x2 x 区间上是增加的,也称 是递增的. 如何用x与f(x)来描述下降的图象? y y = f(x )
f(x1)
O

f(x2)

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y 在给定区间上任取x1, x2 y = f(x ) x1<x2 ? f(x1)<f(x2) f ( x ) 2 f(x1) 函数f (x)在给定 O x1 x2 x 区间上是增加的,也称 是递增的. 如何用x与f(x)来描述下降的图象? y y = f(x ) 在给定区间上任取x , x
1

2

f(x1)
O

f(x2)

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y 在给定区间上任取x1, x2 y = f(x ) x1<x2 ? f(x1)<f(x2) f ( x ) 2 f(x1) 函数f (x)在给定 O x1 x2 x 区间上是增加的,也称 是递增的. 如何用x与f(x)来描述下降的图象? y y = f(x ) 在给定区间上任取x , x
f(x1)
O

f(x2)

x1<x2 ? f(x1)>f(x2)

1

2

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y 在给定区间上任取x1, x2 y = f(x ) x1<x2 ? f(x1)<f(x2) f ( x ) 2 f(x1) 函数f (x)在给定 O x1 x2 x 区间上是增加的,也称 是递增的。 如何用x与f(x)来描述下降的图象? y y = f(x ) 在给定区间上任取x1, x2 x1<x2 ? f(x1)>f(x2) f(x1) f(x2)
O

x1

x2

函数f (x)在给定 x 区间上是减少的(递减 的).

从初中学过的函数y=x2的图象看到:
(1)图象在y轴的右侧部分是上升的,也就是说, 当x在区间[0,+∞)上取值时,随着x的增大,相 应的y值也随着增大. (2)图象在y轴的左侧部分是下降的,也就是说 ,当x在区间(-∞,0]上取值时,随着x的增大, y 相应的y值反而随着下降. y=x2

x

思考交流 对于下图的函数,你能说出它的函数值y随 自变量x值的变化情况吗?

归纳概括 怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢?
在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对 于任意两个数x1,x2∈A, 当 x 1< x 2时 , 都有f(x1)<f(x2), 那么,就称函数y=f(x)在区间A上是增加的,有时也 称函数y=f(x)在区间A上是递增的.

归纳概括 怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢?
在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对 于任意两个数x1,x2∈A, 当 x 1< x 2时 , 都有f(x1)>f(x2), 那么,就称函数y=f(x)在区间A上是减少的,有时也 称函数y=f(x)在区间A上是递减的.

在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果 对于任意两数x1,x2∈A,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),称函数y=f(x)在区间A上是增加的.
在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果 对于任意两数x1,x2∈A,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),称函数y=f(x)在区间A上是减少的. 如果y=f(x)在区间A上是增加或 是减少的,那么称A为单调区间

单调函数 如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是 增加的或是减少的,那么就称函数y=f(x) 在这个子集上具有单调性. 如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的 或减少的,称这个函数为增函数或减函数, 统称为单调函数.

例题讲解 1 例1 说出函数 f ( x) ? x 的单调区间,并指 明在该区间上的单调性.
解 (-∞,0)和(0,+∞)都是函数的单调区间,在这 1 两个区间上函数 f ( x) ? x 减少. 函数
1 f ( x) ? x

是减函数吗?

不是,当x1=-1,x2=1时,有f(x1)<f(x2)

例题讲解
例2 画出函数f(x)=3x+2的图像,判断它的单调 性,并加以证明. 解 作出f(x)=3x+2的图像.由图看出,函数的图 在R上是上升的,函数是R上的增函数. y

y=3x+2 证明: 5 任取x1,x2∈R,且x1<x2,则 4 3 x1-x2<0 2 函数的单调 所以 f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) 1 性证明方法 O1 2 x =3(x1-x2)<0, 即 f(x1)<f(x2) 由单调函数的定义可知,函数f(x)=3x+2是R上的增函数.

判定函数在某个区间上的单调性的 方法步骤: 1. 设x1, x2∈给定的区间,且x1<x2; 2. 计算f(x1)-f(x2) 至最简; 3. 判断上述差的符号;
4. 下结论 (若差<0,则为增函数; 若差>0,则为减函数).

补充练习 2.证明 f ( x) ? ? x 在定义域上是减函数.

证 f ( x) ? ? x的定义域为[0, ??) 设0 ? x1 ? x2 , 则
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? (? x2 ) ? (? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x)在它定义域[0, ?)上是减函数. x1 ? x2 ?0 x1 ? x2

练习
判断下列函数在给定集合或区间上的单调性: (1)y=-5x,x∈[2,7]; 递减 (2)f(x)=3x2-6x+1,x∈(3,4); 递增 (3)
t T 1 -3 2 -6 3 -9 4 5 6 7 8 -12 -15 -18 -21 -24

t∈{1,2,3,4,5,6,7,8}; 递减

补充练习 1.求下列函数的单调区间 (1)在 ? -? ,3 ? 上是增函数, ? 2? 2 (1) f ( x) ? ? x ? 3x ? 2;

(2) f ( x) ? 3 | x |; 9 (4) f ( x) ? x ? ( x ? 0). x
在(-1,0),(1,+?)上是减函数;

?3 ? 在 ? , ?? ? 上是减函数; ?2 ?

(3) f ( x) ? ? x 2 ? 2 | x | ?3; (2)在(??,0]上是减函数,
在[0, ??)上是增函数;

(3)在(-?,-1],[0,1]上是增函数;

(4)在(0,3]上是减函数(3,+?)上是增函数.

小结 函数单 调 性
增函数 单调函数 减函数

函数增减 性的证明

在y=f(x)的定义域内的一个区间A上, 对任意两数x1,x2∈A,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),y=f(x)在区间A上是增加的. 在y=f(x)的定义域内的一个区间A上, 对任意两数x1,x2∈A,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),y=f(x)在区间A上是减少的.


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