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数学理卷·2014届河南省郑州市高中毕业年级第一次质量预测试题(解析版)(2014.01)


第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? {x | x ? 2} , B ? {x | x ? 2m} ,且 A ? C R B ,那么 m 的值可以是( A.1 B.2 C.3 D.4 )

2.复数 z ?
<

br />1? i ( i 是虚数单位)在复平面内对应的点在( i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限



A.第一象限

3. PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,如图是根据 某地某日早 7 点至晚 8 点甲、乙两个 PM 2.5 监测点统计的数据(单位:毫克/每立方米)列 出的茎叶图,则甲、乙两地浓度的方差较小的是( A.甲 B.乙 C.甲乙相等 D.无法确定 )

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4.如图,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形,则该几何体的表面积 为( ) B. 9 3 C. 30 ? 6 3 D. 18 3

A. 15 ? 3 3

所以 V ? sh ? 3 ? 3 ? 3 ? 9 3 .
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考点:1.三视图;2.四棱柱的体积.

5.已知曲线 y ? A.3 B.2

x2 1 ? 3ln x 的一条切线的斜率为 ? ,则切点的横坐标为( 4 2
C.1 D.



1 2

6. 已知各项不为 0 的等差数列 {an } 满足 a4 ? 2a7 ? 3a8 ? 0 ,数列 {bn } 是等比数列,且
2

b7 ? a7 ,则 b2b8b11 等于(
A.1 B.2 C .4 D.8



7.二项式 ( ax ? A.3 B.

a 3 6 ) 的展开式的第二项的系数为 ? 3 ,则 ? x 2 dx 的值为( ?2 6



7 3

C.3 或

7 3

D.3 或 ?

10 3

【答案】B 【解析】

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8.已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) ,过其焦点且斜率为-1 的直线交抛物线于 A, B 两点,若线
2

段 AB 的中点的横坐标为 3,则该抛物线的准线方程为( A. x ? 1 B. x ? 2 C. x ? ?1 D. x ? ?2



9.设函数 f ( x) ? 3 sin(2 x ? ? ) ? cos(2 x ? ? ) (| ? |? 则( )

?
2

) ,且其图像关于直线 x ? 0 对称,

A. y ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, B. y ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, C. y ? f ( x) 的最小正周期为

? ?
2 2

) 上为增函数 ) 上为减函数

? ? ,且在 (0, ) 上为增函数 2 4 ? ? D. y ? f ( x) 的最小正周期为 ,且在 (0, ) 上为减函数 2 4

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10. 已知 a, b 是两个互相垂直的单位向量,且 c ? a ? c ? b ? 1 ,则对任意的正实数 t ,

? ?

? ?

? ?

? ? 1? | c ? ta ? b | 的最小值是( t
A.2 B. 2 2 C.4

) D. 4 2

11.已知椭圆 C1 :

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 与双曲线 C2 : ? ? 1 有相同的焦点,则椭圆 C1 的离心 m?2 n m n


率 e 的取值范围为( A. (

2 ,1) 2

B. (0,

2 ) 2

C. (0,1)

D. (0, )

1 2

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12.已知数列 {an } 的通项公式为 an ?

1 (n ? N * ) ,其前 n 项和为 S n ,则 (n ? 1) n ? n n ? 1


在数列 S1、S2、 ? S2014 中,有理数项的项数为( A. 42 B.43 C.44 D.45

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
? x ? y ? ?1 ? 13.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,则 z ? x ? y 的取值范围为 ? y?0 ?
.

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考点:线性规划.

14.执行如图的程序框图,若输出的 S ?

31 ,则输入的整数 P 的值为 32

.

15.已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱垂直于底面, 各项点都在同一球面上, 若该棱柱的体积
0 为 3 , AB ? 2 , AC ? 1 , ?BAC ? 60 ,则此球的表面积等于

.

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【答案】 8? 【解析】

16.定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx (a ? 0) 的单调增区间为 (?1,1) ,若方程
3 2

3a( f ( x)) 2 ? 2bf ( x) ? c ? 0 恰有 6 个不同的实根,则实数 a 的取值范围是

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17.(本小题满分 12 分)如图 ?ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,满足 AD ? AC ? 0 ,

???? ??? ?

sin ?BAC ?

2 2 , AB ? 3 2 , BD ? 3 . 3
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(1)求 AD 的长; (2)求 cos C .

所以 cos C ?

6 . .????????????????????..12 分 3
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考点:1.向量垂直的充要条件;2.诱导公式;3.余弦定理;4.正弦定理;5.平方关系.

18.(本小题满分 12 分)为迎接 2014 年“马”年的到来,某校举办猜奖活动,参与者需先 后回答两道选择题,问题 A 有三个选项,问题 B 有四个选项,但都只有一个选项是正确的, 正确回答问题 A 可获奖金 a 元,正确回答问题 B 可获奖金 b 元,活动规定:参与者可任意 选择回答问题的顺序, 如果第一个问题回答正确, 则继续答题, 否则该参与者猜奖活动终止, 假设一个参与者在回答问题前,对这两个问题都很陌生. (1)如果参与者先回答问题 A ,求其恰好获得奖金 a 元的概率; (2)试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大.

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19.(本小题满分 12 分)在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 ABB1 A1 为矩形, AB ? 1 ,

AA1 ? 2 , D 为 AA1 的中点, BD 与 AB1 交于点 O , CO ? 侧面 ABB1 A1 .
(1)证明: BC ? AB1 ; (2)若 OC ? OA ,求直线 C1 D 与平面 ABC 所成角的正弦值.

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20.(本小题满分 12 分)已知 ?ABC 的两顶点坐标 A(?1, 0) , B(1,0) ,圆 E 是 ?ABC 的 内切圆,在边 AC , BC , AB 上的切点分别为 P, Q, R , | CP |? 1 (从圆外一点到圆的两 条切线段长相等) ,动点 C 的轨迹为曲线 M . (1)求曲线 M 的方程; (2)设直线 BC 与曲线 M 的另一交点为 D ,当点 A 在以线段 CD 为直径的圆上时,求直 线 BC 的方程.

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----------------------8 分 因为 AC ? (my1 ? 2, y1 ), AD ? (my2 ? 2, y2 ) ,所以

????

????

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21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? k ( x ? 1) . (1)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 k 的值; (2)若方程 f ( x) ? g ( x) 有一根为 x1 ( x1 ? 1) ,方程 f ( x) ? g ( x) 的根为 x0 ,是否存在实
' '

数 k ,使

x1 ? k ?若存在,求出所有满足条件的 k 值;若不存在,说明理由. x0

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令 v( x) ? ln x ? 1 ? e ( x ? 1) , v?( x) ?
1? x x x

1 1? x e x ? ex ?e ? , x xe x

令 s( x) ? e ? ex, s?( x) ? e ? e ,当 x ? 1 时,总有 s?( x) ? 0 ,

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所以 s ( x ) 是 (1, ??) 上的增函数,即 s( x) ? e ? ex ? s(1) ? 0 ,
x

故 v?( x) ? 0 , v ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数, 所以 v( x) ? v(1) ? 0 ,即 ln k ? 1 ? e
1?k

? 0 在 (1, ??) 无解.
----------------------12 分

综上可知,不存在满足条件的实数 k .

考点:1.利用导数判断函数的单调区间;2.利用导数求函数的最值.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,A, B, C, D 四点在同一圆上,BC 与 AD 的延长线交于点 E , 点 F 在 BA 的延长线上. (1)若

EC 1 ED DC 的值; ? , ? 1 ,求 CB 3 DA AB
2

(2)若 EF ? FA ? FB ,证明: EF / /CD .

? ?EDC ? ?EBF ,又 ?AEB 为公共角,

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23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 : ?

? x ? ?2 ? cos t ? x ? 4 cos ? ( t 为参数) , C2 : ? ( ? 为参数). ? y ? 1 ? sin t ? y ? 3sin ?

(1)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)过曲线 C2 的左顶点且倾斜角为

? 的直线 l 交曲线 C1 于 A, B 两点,求 | AB | . 4

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24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 4 | ? | x ? a | (a ? 4) (1)若 f ( x) 的最小值为 3,求 a 的值; (2)求不等式 f ( x) ? 3 ? x 的解集.

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