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2015温州一模数学答案(文科)


数学(文科)试题参考答案

2015 年温州市高三第一次适应性测试 数学(文科)试题参考答案
符合题目要求的. 题号 1 答案 B 2 A 3 B 4 C 5 D 6 C 7 A 8 C 2015.2 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是

二、填空题:本大题共 7 小

题,前 4 题每题 6 分,后 3 题每题 4 分,共 36 分. 9. 4,2或0 10. 1, 3 11. 3? , 6? ? 12 12. 8, ?3 13. ?

2 3

14. ?2

15. [4,10]

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 15 分) a b B (I)解:由 sin A = 2sin B 及正弦定理 得 = sin A sin B a = 2b …… …… ……2 分 a b = 2 a = 4, b = 2 所以 …… … ……3 分 又 4 4 c = 4 所以 D ABC 是等腰三角形 又 取底边 AC 的中点 D ,连 BD ,则高 BD = 15 ………5 分 所以 D ABC 的面积 S ?

1 ? AC ? BD ? 15; 2
1 4

………7 分

A 2

D

C

15 , cos A = (II)在 Rt D ABD 中, sin A = 4 B 1 B 15 sin = , cos = 2 4 2 4 B B 1 sin B = 2sin ?cos 2鬃 2 2 4 cos B = cos 2

…… …… ……10 分
15 = 4 15 8

B B 15 2 1 7 - sin 2 ? ( ) - ( ) 2 = ………… ……12 分 2 2 4 4 8

sin( A ? B) ? sin A ? cos B ? cos A ? sin B
? 15 7 1 15 3 15 ? ? ? ? 4 8 4 8 16
1 ? 1,即a1 ? 2 a1 ? 1

…… …… ……13 分 …… …… ……15 分

17. (本题满分 15 分) (I)解:当 n ? 1 时, ……………1 分

1 2 n ? ?L ? ? n ……………① a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1

当 n ? 2 时,
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数学(文科)试题参考答案

1 2 n ?1 ? ?L ? ? n ? 1 ……………② a1 ? 1 a2 ? 1 an ?1 ? 1

……………3 分 ……………5 分

由① ? ②得

n ? 1 ,即 an ? n ? 1 (n ? 2) an ? 1

……………………………………6 分 ? an ? n ? 1 (n ? N * ) (忘了求 a1 ? 2 扣 1 分,猜想 a n 而没证明扣 3 分) (II) (方法一)证明: Q an ? an?1 ? 1,所以数列 ?an ? 是等差数列。……7 分 (a ? a )n (n ? 3)n ……………8 分 ? Sn ? 1 n ? 2 2 1 2 2 1 1 ……………10 分 ? ? ( ? ) Sn n(n ? 3) 3 n n ? 3
? 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? S1 S 2 S n ?1 S n

2 1 1 1 ? [( ? ) ? (? 3 1 4 2

1 ?) 5

1 1 1 ? ( ? ??? ) ? ?( 3 6 n n?

1 )] 3

……………12 分 ……………13 分 ……………15 分 ………7 分 ……………8 分 ……………10 分 ……………11 分

2 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ? ) ? ( ? ? )] 3 2 3 n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 1 11 3 ? (1 ? ? ) ? ? 3 2 3 9 2

(方法二)证明: Q an ? an?1 ? 1,所以数列 ?an ? 是等差数列。 (a ? a )n (n ? 3)n ? Sn ? 1 n ? 2 2 1 2 2 1 1 ? ? ? 2( ? ) (n ? 2) Sn n(n ? 3) n(n ? 1) n n ?1 当 n ? 1 时,

当 n ? 2 时, 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? S1 S 2 S n ?1 S n
?

1 1 3 ? ? 成立 S1 2 2

1 1 1 1 1 1 1 ?2 [ ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] a1 2 3 4 5 n n ? 1

……………12 分 ……………14 分 ……………15 分 ………7 分 ……………8 分 ……………10 分

? ?

1 1 1 ? 2( ? ) 2 2 n ?1 3 2

(方法三)证明: Q an ? an?1 ? 1,所以数列 ?an ? 是等差数列。 (a ? a )n (n ? 3)n ? Sn ? 1 n ? 2 2 1 2 2 1 1 ? ? ? ? Sn n(n ? 3) n(n ? 2) n n ? 2
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数学(文科)试题参考答案

?

1 1 1 1 ? ? ??? ? ? S1 S 2 S n ?1 S n

1 1 1 1 1 1 1 1 12 分 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? (? ? ) (? ? …………… ) 1 3 2 4 n ? 1 n ? 1 n n? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ??? ? ) ? ( ? ? ??? ? ? ) 1 2 3 n 3 4 n ?1 n ? 2
1 1 1 1 ?( ? )?( ? ) 1 2 n ?1 n ? 2 ?

…………13 分 ……………14 分

3 ……………15 分 2 18. (本题满分 15 分) (I)证明(方法一) :∵ ?ABD ? ?CBD , AB ? BC , BD ? BD . ∴ ?ABD ? ?CBD . ∴ AD ? CD .………………2 分 E ?A C ,DE ? AC . 取 AC 的中点 E , 连结 BE, DE , 则B A ………………………………………………………………3 分

又∵ BE ? DE ? E , ……………………………………4 分 BE ? 平面 BED , BD ? 平面 BED , ∴ AC ? 平面 BED , ……………………………………5 分 ∴ AC ? BD ………………………………………………6 分 (方法二) :过 C 作 CH ⊥ BD 于点 H .连接 AH .…1 分 ∵ ?ABD ? ?CBD , AB ? BC , BD ? BD . ∴ ?ABD ? ?CBD .∴ AH ⊥ BD .…………………3 分 又∵ AH ? CH ? H ,……………………………………4 分 AH ? 平面 ACH , CH ? 平面 ACH , ∴ BD ⊥平面 ACH .……………………………………5 分 又∵ AC ? 平面 ACH , ∴ AC ? BD .……………………………………………6 分

E B D

C

(方法三) : AC ? BD ? ( BC ? BA) ? BD ………………2 分

? BC ? BD ? BA ? BD

………………………………3 分

? BC ? BD cos?CBD ? BA ? BD cos?ABD ………4 分
? 2 BD cos 60? ? 2 BD cos 60? ? 0 ,……………………5 分 ∴ AC ? BD .……………………………………………6 分
(II)解: 过 C 作 CH ⊥ BD 于点 H .则 CH ? 平面 BCD , 又∵平面 ABD ⊥平面 BCD ,平面 ABD ? 平面 BCD =BD , ∴ CH ⊥平面 ABD . ……………………………………8 分 过 H 做 HK ⊥ AD 于点 K ,连接 CK . ………………9 分 ∵ CH ⊥平面 ABD ,∴ CH ⊥ AD ,又 HK ? CH ? H , ∴ AD ⊥平面 CHK ,∴ CK ⊥ AD .…………………10 分 ∴ ?CKH 为二面角 C ? AD ? B 的平面角. …………11 分
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连接 AH .∵ ?ABD ? ?CBD ,∴ AH ⊥ BD . ∵ ?ABD ? ?CBD ? 60? , AB ? BC ? 2 ,

5 3 ,∴ DH ? . ………12 分 2 2 21 AH ? DH 3 7 ∴ AD ? ∴ HK ? .…………………………13 分 ? AD 7 2 CH 21 ∴ tan?CKH ? ,…………………………………………14 分 ? HK 3 30 ∴ cos ?CKH ? . 10 30 ∴二面角 C ? AD ? B 的余弦值为 .…………15 分 10
∴ AH ? CH ?

3 , BH ? 1 .∵ BD ?

19. (本题满分 15 分) (I)解:设 Q ( x, y ) ,则

y M

| PQ? |

2 2 ( x? 4 )? y ?

(x ? 2 4 ) ? …… x 4 3分
……………5 分
o F P

? ( x ? 2) 2 ? 12

?当x ? 2时, |PQ |min ? 2 3

x

……………7 分
N

(II)解:设直线 l : x = my + 4 , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , 焦点 F (1, 0)

ì x = my + 4 ? 由? 消去 x 得 y 2 - 4my - 16 = 0 í 2 ? y = 4 x ? ?
ì ? y1 + y2 = 4m 由韦达定理可得 ? í ? ? ? y1 y2 = - 16
所以 D FMN 的面积

………………………9 分

…………… ……………11 分

SD FMN = =

1 | PF | ?| y1 2

y2 | =

1 鬃 3 2

( y1 + y2 )2 - 4 y1 y2 ………………13 分

3 ? (4m)2 2

64 = 6 m2 + 4 = 6 5
……… ……………14 分 …………………………15 分

? m ? ?1
所以直线 l 的方程为: x ? y ? 4 ? 0

(方法二)解:若直线 l 的斜率不存在,则 l : x = 4 , M (4, 4), N (4, - 4) 所以 D FMN 的面积
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数学(文科)试题参考答案

SD FMN =

1 1 | CF | 8 = 鬃 3 8 = 12 2 2

6 5 ,不符合 …………………9 分

所以直线 l 的斜率必存在 设直线 l : y = k ( x - 4),(k 0) , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,焦点 F (1, 0) ì ? y = k ( x - 4) 由? 消去 y 得 k 2 x2 - 4(2k 2 + 1) x + 16k 2 = 0 ………10 分 í 2 ? y = 4 x ? ?
ì ? 4(2k 2 + 1) ? ? x1 + x2 = 由韦达定理可得 í k2 ? ? ? ? ? x1 x2 = 16

…… ……………11 分

弦长 | MN |=
=

(1 + k 2 )[( x1 + x2 )2 - 4x1x2 ]
(1 + k 2 )[(8 + 4 2 ) - 64] k2

=

16(1 + k 2 )(1 + 4k 2 ) k4

…… ……………12 分 …… ……………13 分

F 到 l 的距离 d ?
所以 D FMN 的面积

| 3k | 1? k 2



SD FMN =

1 + 4k 2 1 = 6 5 | MN | d = 6 k2 2
………… ……………14 分 …………………………15 分

? k ? ?1
所以直线 l 的方程为: x ? y ? 4 ? 0 20. (本题满分 14 分)

ì 1 ? ? + x, x > - 2 ? ? x + 2 ? (I)解:函数 f ( x) = í …………………………1 分 ? 1 ? + x, x < - 2 , ? ? x+2 ? ?

函数 f ( x ) 在在 (?2, ?1) 上递减,………………………………2 分 证明如下: 设 x1 , x2 ? (?2, ?1) ,且 x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (

1 1 ? ) ? ( x1 ? x2 ) x1 ? 2 x2 ? 2 1 ] ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
……………4 分

? ( x1 ? x2 )[1 ?

Q ?2 ? x1 ? x2 ? ?1 ,? x1 ? x2 ? 0, 0 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 1
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?1 ?

1 ?0 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
……………………6 分

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以函数 f ( x ) 在 (?2, ?1) 上递减.

(II)解法一: 函数 g ( x) = f ( x) - 2 x - m 有四个零点 1 + x 图像与函数 y = 2 x + m 图像有四个交点 ? 函数 f ( x ) = | x+2 | 结合图像 (1) 当 x ? ?2 时,

……7 分

1 + x 图像与函数 y = 2 x + m 图像恰有一个交点,……9 分 x +2 1 (2)当 x ? ?2 时,为满足 g ( x) 有 4 个不同的零点,则函数 f ( x) = + x( x > - 2) x +2
函数 f ( x) = 图像与函数 y = 2 x + m 图像恰有三个交点符合要求。 而 f ( x) =

1 1 + x( x > - 2) 过点 (0, ) , x +2 2

y

结合图像知则 m ?

1 …………………………10 分 2
1

y = 2? x + m

1 当直线 y = - 2 x + m 与 y = +x(x > - 2) x +2
相切时,在 ( ?2, ?) 内只有两个交点。
f(x) = -2 1 x+2 -1 +x

o

1

x

ì 1 ? ? +x 1 ? y= 消去 y 得 + 3x - m = 0 整理得 x + 2 í ? x + 2 ? ? ? y = - 2x + m 3x2 + (6 - m) x + 1- 2m = 0 \ D = (6 - m)2 - 4创 3 (1- 2m) = 0 解得 m = - 6 - 2 3 (舍去) , m = - 6 + 2 3 …………………13 分 1 \ 当 m ? ( 6 + 2 3, ) 时,函数 g ( x) 有 4 个零点……………….…14 分 2
解法二: 函数 g ( x) = f ( x) - 2 x - m 有四个零点 1 + x - 2 | x | - m = 0 有四个实根 ? 方程 | x+2 |

? 函数 h( x ) =

1 图像与函数 y = 2 x - x + m 图像有四个交点 | x+2 |

数学(文科)试题参考答案

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? 函数 h( x ) =

1 图像与函数 y = | x+2 |

ì x + m, x 0, ? ? 图像有四个交点……8 分 í ? ? ? - 3x + m, x < 0,
Y

(1)当 x ? 0 时,

1 若函数 h( x) = 图像与函数 y = x + m 图像有一 x+2

1 个交点,则 m ? ……………………………10 分 2
(2) 当 x ? 0 时,若函数 h( x) = 与函数 y = - 3x + m 图 像恰好有 3 个交点符合要求,
-4

E

D

4

1 ( x < 0) 图像 | x+2 |
C
-2

2

B
O 2 X

1 则m ? 2

……………11 分
-2

当直线 y = - 3x + m 与 y =

1 (x > - 2) 相切时, x +2

在 ( ??, 0) 内只有两个交点。

ì 1 ? ? (x > - 2) 1 ? y= 消去 y 得 = - 3x + m 整理得 3x2 + (6 - m) x + 1- 2m = 0 x+2 í ? x +2 ? ? ? y = - 3x + m \ D = (6 - m)2 - 4创 3 (1- 2m) = 0 解得 m = - 6 - 2 3 (舍去) , m = - 6 + 2 3 …………………13 分 1 \ 当 m ? ( 6 + 2 3, ) 时,函数 g ( x) 有 4 个零点……………….…14 分 2 解法三:
函数 g ( x) 有 4 个不同零点,即方程 方程化为:① ?

1 +x ? 2 | x | ? m ? 0 有 4 个不同的实根. x?2

? x?0 2 ? x ? (m ? 2) x ? (2m ? 1) ? 0 ? x ? ?2 ? ? 2 <x ? 0 与② ? 2 与③ ? ……7 分 2 ?3x ? (6 ? m) x ? (2m ? 1) ? 0 ? 3x ? (6 ? m) x ? (2m ? 1) ? 0 记 v( x) ? x2 ? (m ? 2) x ? (2m ?1) , u( x) ? 3x2 ? (6 ? m) x ? (2m ? 1) , w( x) ? 3x2 ? (6 ? m) x ? (2m ?1) u( x), v( x), w( x) 开口均向上. 对①:由 v(?2) ? ?1 ? 0 知 v( x) 在 [0, ??) 最多一个零点. 1 当 v(0) ? 2m ? 1 ? 0 ,即 m ? 时, v( x) 在 [0, ??) 上有一个零点 2 1 当 v(0) ? 2m ? 1 ? 0 ,即 m ? 时, v( x) 在 [0, ??) 没有零点。 ………………9 分 2
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数学(文科)试题参考答案

对②:由 u (?2) ? ?1 ? 0 知 u ( x) 在 (??, ?2) 有唯一零点.…………………10 分 对③:为满足 g ( x) 有 4 个零点, w( x) 在 (?2, 0) 应有两个不同零点.

? w(0) ? 1 ? 2m ? 0 ? w(?2) ? 1 ? 0 ? 1 ? 2 ∴ ? ? ? (6 ? m) ? 12(1 ? 2m) ? 0 ? ?6 ? 2 3 ? m ? .…………………13 分 2 ? 6?m ? ?2 ? ? ?0 6 ? ?
1 综上所述:当 m ? ( 6 + 2 3, ) 时,函数 g ( x) 有 4 个零点……………….…14 分 2 解法四:
函数 g ( x) 都有 4 个不同零点,即方程 m ?

1 ? x ? 2 | x | 有 4 个不同的实根. x?2

? 1 ?? x ? 2 ? 3 x, x ? ?2 ? 1 1 ? x ? 2 | x | .则 h( x) ? ? 令 h( x) ? ? 3 x, ?2 ? x ? 0 .………………7 分 ? x?2 x ? 2 ? ? 1 ? x, x ? 0 ? ? x?2 h( x) 在 (??,?2) 单调递增,且其值域为 R ,所以 h( x) ? m 在 (??,?2) 有一个实根……8 分

1 1 h( x) 在 [0, ??) 单调递减,且其值域为 ( ? ?, ] ,所以当 m ? 时, h( x) ? m 在 [0, ??) 上 2 2 1 有一个实根,当 m ? 时, h( x) ? m 在 [0, ??) 上没有实根……………………10 分 2 (-2,0) 至少有两个实根. 为满足 g ( x) 都有 4 个不同零点, h( x) ? m 在 1 ? 3( x ? 2) ? 6 ? 2 3 ? 6 当 ?2 ? x ? 0 时, h( x) ? x?2 1 ? ? ? h( x) 在 ? ?2,-2 ? ? 单调递减,且此时值域为 ? 2 3 ? 6, ?? 3? ?

)

1 ? 1? ? ? h( x) 在 ??2 ? ,0 ? 单调递增,且此时值域均为 ? 2 3 ? 6, ? ……….…12 分. 2? 3 ? ? ?
1 (-2,0) 有两个实根 ……………13 分 ∴ m ? ( 6 + 2 3, ) 时,方程 h( x) ? m 在 2 1 综上所述:当 m ? ( 6 + 2 3, ) 时,函数 g ( x) 有 4 个零点 ……………….…14 分 2 命题教师:吴云浪 钱从新 戴海林 林 荣 邵 达 叶事一

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