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北京市丰台区2013届高三元月上学期期末考试数学理试题


北京市丰台区 2013 届高三元月上学期期末考试 数学理试题
一、选择题:共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项. 1.设全集 U={1,3,5,7},集合 M={1, a ? 5 }, C U M ? {5,7},则实数 a 的值为 (A)2 或-8 2.“ x ? 0 ”是“ x ?
1 x

>
(B) -2 或-8
? 2 ”的

(C) -2 或 8

(D) 2 或 8

(A) 充分但不必要条件 (C) 充分且必要条件

(B) 必要但不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

3.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,则恰有一个红球的概率是 (A)
1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

5 6

4.如图,某三棱锥的三视图都是直角边为 2 的等腰直角三角形,则该三 棱锥的四个面的面积中最大的是 (A)
3

(B) 2 3

(C) 1

(D) 2

5. 函数 y ? 2 sin ( ? x ? ? ) 在一个周期内的图象如图 所示,则此函数的解析式可能是 (A) (B) (C) (D)
y ? 2 s in ( 2 x ?

?
4

) )

y ? 2 s in ( 2 x ? y ? 2 s in ( x ? y ? 2 s in ( x 2 3? 8 ?

?
4 )

7? 16

)

开 始 S=0, n=0

6.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为( ? x ? 表示不超过 x 的最 大整数) (A) 4 (B) 5 (C) 7 (D) 9

S ? S ? ? ?

n? ?

n=n+1 否

n>4? 是 输出 S 结 束

7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(1,0),B(0,1) ,点 C 在第二象限内,? A O C ? 若 O C ? ? O A ? ? O B ,则 ? , ? 的值是( (A)
3 ,1
2

5? 6

,且|OC|=2,

????

??? ?

??? ?

) (C) -1, 3 (D) - 3 ,1

(B) 1, 3

8.已知函数 f(x)= a x ? b x ? c ,且 a ? b ? c , a ? b ? c ? 0 ,集合 A={m|f(m)<0},则 (A) ? m ? A , 都有 f(m+3)>0 (C) ? m 0 ? A , 使得 f(m0+3)=0 (B) ? m ? A , 都有 f(m+3)<0 (D) ? m 0 ? A , 使得 f(m0+3)<0

二、填空题:共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.某高中共有学生 900 人,其中高一年级 240 人,高二年级 260 人,为做某项调查,拟采用分层抽 样法抽取容量为 45 的样本,则在高三年级抽取的人数是 10.已知直线 y=x+b 与平面区域 C: ? 是________. 11. l1 , l 2 是分别经过 A(1,1),B(0,?1)两点的两条平行直线,当 l1 , l 2 间的距离最大时,直线 l1 的方程 是
2

______.

? | x |? 2 , ? | y |? 2

的边界交于 A,B 两点,若|AB|≥2 2 ,则 b 的取值范围


2 2 2

12.圆 ( x ? a ) ? y ? 1 与双曲线 x ? y ? 1 的渐近线相切,则 a 的值是 _______. 13.已知 ? A B C 中,AB= 3 ,BC=1,sinC= 3 cosC,则 ? A B C 的面积为______. 14.右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起, 数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第 i 行第 j 列的数为 a ij ( i ? j, i, j ? N ) ,则 a 5 3 等于
*

1 4 1 2 3 4 1 4 3 8 3 16

每一行

, ,

, a m n ? _ _ _ _ _ _ ( m ? 3) .



三、解答题:共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明 15. (本题共 13 分)



过程.

函数 f ( x ) ? lg ( x ? 2 x ? 3) 的定义域为集合 A,函数 g ( x ) ? 2 x ? a ( x ? 2 ) 的值域为集合 B.
2

(Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.

16. (本题共 13 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,锐角 ? 和钝角 ? 的终边分别与单位圆交于 A , B 两点. (Ⅰ)若点 A 的横坐标是
sin (? ? ? ) 的值;

3 5

,点 B 的纵坐标是

12 13

,求
B

y A

(Ⅱ) 若∣AB∣= 17. (本题共 14 分)

3 2

, 求 O A ? O B 的值.

??? ??? ? ?

O

x

如 图 , 在 三 棱 锥 P-ABC 中 , PA=PB=AB=2 , B C ? 3 ,
? ABC ? 90 ° ,平面 PAB ? 平面 ABC, 、 分别为 AB、AC 中点. D E

P

(Ⅰ)求证:DE‖平面 PBC; (Ⅱ)求证:AB ? PE; (Ⅲ)求二面角 A-PB-E 的大小. 18. (本题共 14 分)
B D A E C

已知函数 f ( x ) ? 点为-3 和 0.

a x ? b x? c
2

e

x

( a ? 0 )的导函数 y ? f '( x ) 的两

个 零

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)的极小值为 ? e ,求 f(x)在区间 [ ? 5, ? ? ) 上的最大值.
3

19. (本题共 13 分) 曲线 C 1 , C 2 都是以原点 O 为对称中心、 离心率相等的椭圆. M 的坐标是 点 (0,1) 线段 MN 是 C 1 , 的短轴,是 C 2 的长轴.直线 l : y ? m (0 ? m ? 1) 与 C 1 交于 A,D 两点(A 在 D 的左侧) ,与 C 2 交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) . (Ⅰ)当 m=
3 2

, AC ?

5 4

时,求椭圆 C 1 , C 2 的方程;

(Ⅱ)若 OB∥AN,求离心率 e 的取值范围. 20. (本题共 13 分) 已知曲线
C : y ? 2 x( ? y
2

0 , A1 ( x1 , y1 ), A 2 ( x 2 , y 2 ), ? ? ?, A n ( x n , y n ), ? ? ? )

是曲线 C 上的点,且满足

0 ? x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ? ? ? ? ,一列点 B i ( a i , 0 )( i ? 1, 2, ? ? ?)

在 x 轴上,且 ? B i ? 1 Ai B i ( B 0 是坐标原点)是以 A i 为

直角顶点的等腰直角三角形. (Ⅰ)求 A1 、 B 1 的坐标; (Ⅱ)求数列 { y n } 的通项公式;
1 ai

(Ⅲ)令 b i ?

, ci ?

?

2 2

?

? yi

,是否存在正整数 N,当 n≥N 时,都有 ? b i ?
i ?1

n

?c
i ?1

n

i

,若存在,求出

N 的最小值并证明;若不存在,说明理由.

丰台区 2012~2013 学年度第一学期期末练习 高三数学(理科)参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题: 9.20;
3 2

1 D

2 C

3 C

4 A

5 B

6 C

7 D

8 A

10.[-2,2] ;
5 16

11. x+2y-3=0;
m

12. ? 2 (只写一个答案给 3 分);

13. 三.解答题



14.

,

2

n ?1

(第一个空 2 分,第二个空 3 分)

15. (本题共 13 分)函数 f ( x ) ? lg ( x ? 2 x ? 3) 的定义域为集合 A,函数 g ( x ) ? 2 x ? a ( x ? 2 ) 的值
2

域为集合 B. (Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)A= { x | x ? 2 x ? 3 ? 0}
2

= { x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0} = { x | x ? ? 1, 或 x ? 3} ,..………………………..……3 分 B= { y | y ? 2 ? a , x ? 2} ? { y | ? a ? y ? 4 ? a } . ………………………..…..7 分
x

(Ⅱ)∵ A ? B ? B ,∴ B ? A , ..……………………………………………. 9 分 ∴ 4 ? a ? ? 1 或 ? a ? 3 , …………………………………………………………...11 分 ∴ a ? ? 3 或 a ? 5 ,即 a 的取值范围是 ( ? ? , ? 3] ? (5, ? ? ) .…………………….13 分 16. (本题共 13 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 锐角 ? 和
y

钝角 ? 的终边分别与单位圆交于 A , B 两点. (Ⅰ)若点 A 的横坐标是
sin? ? ? ) ( 的值;

B
12 13

A

3 5

,点 B 的纵坐标是

,求
O x

(Ⅱ) 若∣AB∣=

3 2

, 求 O A ? O B 的值.

??? ??? ? ?

解: (Ⅰ)根据三角函数的定义得,
co s ? ? 3 5



s in ? ?

12 13

. ………………………………………………………2 分
4 5

∵ ? 的终边在第一象限,∴ s in ? ? ∵ ? 的终边在第二象限,∴

. ……………………………………………3 分
5 13 4 5

cos ? ? ?

.………………………………………4 分
?(? 5 13 )+ 3 5 ? 12 13

∴ sin (? ? ? ) = sin ? co s ? ? co s ? sin ? = (Ⅱ)方法(1)∵∣AB∣=| A B |=| O B ? O A |,
??? ? ??? ?
2

=

16 65

.……………7 分

??? ?

??? ?

??? ?

……………………………………9 分
??? ??? ? ?

又∵ | O B ? O A | ? O B ? O A ? 2 O A ? O B ? 2 ? 2 O A ? O B ,…………………11 分 ∴ 2 ? 2O A ? O B ? ∴OA ?OB ? ?
??? ??? ? ? 1 8 ??? ??? ? ? 9 4

??? 2 ?

??? 2 ?

??? ??? ? ?



.…………………………………………………………………13 分
| OA | ? | OB | ? | AB |
2 2 2

方法(2)∵ c o s ? A O B ? ∴

? ?

1 8

, …………………10 分

2 | O A || O B |

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 1 O A ? O B = | O A || O B | c o s ? A O B ? ? 8

P

. ……………………

…………… 13 分 17.(本题共 14 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=AB=2,
A D B E C

B C ? 3 , ? ABC ? 90 ° ,平面 PAB ? 平面 ABC,D、E 分别为 AB、AC 中点.

(Ⅰ)求证:DE//平面 PBC; (Ⅱ)求证:AB ? PE; (Ⅲ)求二面角 A-PB-E 的大小. 解: (Ⅰ)? D、E 分别为 AB、AC 中点, ?DE//BC .
? DE?平面 PBC,BC?平面 PBC,
P _

?DE//平面 PBC .…………………………4 分 (Ⅱ)连结 PD,
? PA=PB, ? PD ? AB.

…………………………….5 分
D _

A _ E _

? D E / / B C ,BC ? AB,

C _ B _ ? DE ? AB. .... .......................................................................................................6 分

又? P D ? D E ? D ,
? AB ? 平面 PDE.......................................................................................................8 分

? PE?平面 PDE,
? AB ? PE .

..........................................................................................................9 分

(Ⅲ)? 平面 PAB ? 平面 ABC,平面 PAB ? 平面 ABC=AB,PD ? AB,
? PD ? 平面 ABC.................................................................................................10 分

如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系
? B(1,0,0),P(0,0,

3 ),E(0,

3 2

,0) ,
P _

z

??? ? ? P B =(1,0, ?

??? ? 3 3 ), P E =(0, , ? 3) . 2 ?? 设平面 PBE 的法向量 n1 ? ( x , y , z ) ,

? x ? 3z ? 0 , ? ? ?3 令z ? ? y ? 3z ? 0 , ?2

3
D _ B _

A _ _ E C _ y

?? 得 n1 ? (3, 2 ,

3).

............................11 分 x

? DE ? 平面 PAB,

?? ? ? 平面 PAB 的法向量为 n 2 ? (0,1, 0 ) .………………….......................................12 分

设二面角的 A ? P B ? E 大小为 ? ,
?? ?? ? ?? ?? ? | n1 ? n 2 | 1 由图知, c o s ? ? c o s ? n1 , n 2 ? ? ?? ?? ? , ? 2 n1 ? n 2

所以 ? ? 6 0 ? , 即二面角的 A ? P B ? E 大小为 6 0 ? . ..........................................14 分
ax ? bx ? c
2

18. (本题共 14 分)已知函数 f ( x ) ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间;

e

x

( a ? 0 ) 的导函数 y ? f '( x ) 的两个零点为-3 和 0.

(Ⅱ)若 f(x)的极小值为 ? e ,求 f ( x ) 在区间 [ ? 5, ? ? ) 上的最大值.
3

解: (Ⅰ) f ? ( x ) ?

(2 a x ? b )e ? (a x ? b x ? c )e
x 2

x

(e )
2

x

2

?

? ax ? (2a ? b ) x ? b ? c
2

e

x

........2 分

令 g ( x) ? ? ax ? (2a ? b) x ? b ? c ,
2 x 因为 e ? 0 ,所以 y ? f '( x ) 的零点就是 g ( x ) ? ? a x ? ( 2 a ? b ) x ? b ? c的零点,且 f ? ( x ) 与

g ( x ) 符号相同.

又因为 a ? 0 ,所以 ? 3 ? x ? 0 时,g(x)>0,即 f ? ( x ) ? 0 , ………………………4 分 当 x ? ? 3, x ? 0 时,g(x)<0 ,即 f ? ( x ) ? 0 , …………………………………………6 分 所以 f ( x ) 的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3)(0,+∞) , .……7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, x =-3 是 f ( x ) 的极小值点,所以有
? 9 a ? 3b ? c 3 ? ?e , ?3 ? e ? ?b ? c ? 0, ? ? 9 a ? 3( 2 a ? b ) ? b ? c ? 0 , ? ?

解得 a ? 1, b ? 5, c ? 5 ,

…………………………………………………………11 分

所以 f ( x ) ?

x ? 5x ? 5
2

e

x

.

, ? f ( x ) 的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞)
? f (0 ) ? 5 为函数 f ( x ) 的极大值,

…………………………………………………12 分 …………….13 分
5

? f ( x ) 在区间 [ ? 5, ? ? ) 上的最大值取 f ( ? 5) 和 f (0 ) 中的最大者.

而 f (?5) ?

5 e
?5

? 5 e >5,所以函数 f(x)在区间 [ ? 5, ? ? ) 上的最大值是 5 e ..…14 分
5

19. (本题共 13 分) 曲线 C 1 , C 2 都是以原点 O 为对称中心、 离心率相等的椭圆 . 点 M 的坐标是 (0,1) , 线段 MN 是 C 1 的短轴,是 C 2 的长轴 . 直线 l : y ? m (0 ? m ? 1) 与 C 1 交于 A,D 两点(A 在 D 的左侧) , 与 C 2 交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) .
3 2
5 4

(Ⅰ)当 m=

, AC ?

时,求椭圆 C 1 , C 2 的方程;

(Ⅱ)若 OB∥AN,求离心率 e 的取值范围. 解: (Ⅰ)设 C1 的方程为
x a
2 2

? y

2

? 1 ,C2 的方程为

x b

2 2

? y ? 1 ,其中 a ? 1, 0 ? b ? 1 ...2 分
2

? C1 ,C2 的离心率相同,所以

a ?1
2

a

2

? 1 ? b ,所以 a b ? 1 ,……………………….…3 分
2

? C2 的方程为 a x ? y ? 1 .
2 2 2

当 m=

3 2

时,A ( ?
5 4

a 2

,

3 2

) ,C (

1 2a

,

3 2

) . .………………………………………….5 分

又? A C ?

,所以,
x

1 2a
2

?

a 2
2

?

5 4

,解得 a=2 或 a=

1 2

(舍), ………….…………..6 分

? C1 ,C2 的方程分别为

? y ? 1 , 4 x ? y ? 1 .………………………………….7 分
2 2

4

(Ⅱ)A(- a 1 ? m ,m), B(2

1 a

1? m

2

,m) . …………………………………………9 分

? OB∥AN,? k O B ? k A N ,

?

m ? 1 a 1? m
2
2

?

m ?1 ?a 1? m
2

,? m ?

1 a ?1
2

. …………………………………….11 分

e ?
2

a ?1 a
2

,? a ?
2

1 1? e
2

,? m ?

1? e e
2
2

2

. ………………………………………12 分

? 0 ? m ? 1 ,? 0 ?

1? e e
2

2

? 1 ,?

? e ? 1 .........................................................13 分

2
:y
2

20.(本题共 13 分)已知曲线 C 且满足 0 ?

? 2 x ( y ? 0 ) , A1 ( x1 , y1 ), A 2 ( x 2 , y 2 ), ? ? ?, A n ( x n , y n ), ? ? ? 是曲线

C 上的点,

x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ? ? ? ? ,一列点 B i ( a i , 0 )( i ? 1, 2, ? ? ?)

在 x 轴上,且 ? B i ? 1 Ai B i ( B 0 是坐标原点)是

以 A i 为直角顶点的等腰直角三角形. (Ⅰ)求 A1 , B 1 的坐标; (Ⅱ)求数列 { y n } 的通项公式;
1 ai

(Ⅲ)令 b i ?

, ci ?

?

2 2

?

? yi

,是否存在正整数 N,当 n≥N 时,都有 ? b i ?
i ?1

n

?c
i ?1

n

i

,若存在,写

出 N 的最小值并证明;若不存在,说明理由. 解: (Ⅰ)? ?B0A1B1 是以 A1 为直角顶点的等腰直角三角形,
? 直线 B0A1 的方程为 y=x.

?y ? x ? 2 由 ? y ? 2 x 得 x1 ? y 1 ? 2 ,即点 A1 的坐标为(2,2) ,进而得 B 1 ( 4 , 0 ) .…..3 分 ?y ? 0 ?

(Ⅱ)根据 ? B n ? 1 A n B n 和 ? B n An ? 1 B n ? 1 分别是以 A n 和 A n ? 1 为直角顶点的等腰直角三角形可
? an ? xn ? yn ,即 x n ? y n ? x n ? 1 ? y n ? 1 . (*) …………………………..5 分 ? ? a n ? x n ?1 ? y n ?1
2 2 2 ? A n 和 A n ? 1 均在曲线 C : y ? 2 x ( y ? 0 ) 上,? y n ? 2 x n , y n ? 1 ? 2 x n ? 1 ,



? xn ?

yn 2

2

, x n ?1 ?

y n ?1 2
*

2

,代入(*)式得 y n2 ? 1
) ,

? y n ? 2 ( y n ?1 ? y n )
2



? y n ? 1 ? y n ? 2 (n ? N

………………………………………………………..7 分

? 数列 { y n } 是以 y 1 ? 2 为首项,2 为公差的等差数列, ? 其通项公式为 y n ? 2 n ( n ? N ). ……………………………………………....8 分
*

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知, x n ?

yn 2

2

? 2n ,
2

( ) ? a n ? x n ? y n ?2 n n ?1 ,

……………………………………………………9 分

? bi ?
n

1

2 i (i ? 1 )
? 1 2 (1 ?

, ci ?

?
1

2 2

?

? yi

? 2

1
i ?1



?

?b
i ?1

i

? 2 )

?? ? 2?( 2 3 )

1 n n? 2 ( 1)

=

1 2

(1 ?

1 2
1 2
2

?

1 2
1 2

?

1 3

?? ?

1 n

?

1 n ?1
1

) =
1 2 1 2
n

1 2
)

(1 ?

1 n ?1

) .….……………..…………10 分

?
i ?1

n

ci ?

?

3

?? ? 2

1
n ?1

(1 ? 1?

? 4

?

1 2

(1 ?

1 2
n

) . ……………………….11 分

(方法一) ? b i - ? c i =
i ?1 i ?1

n

n

1 2

(1 ?

1 n ?1

)-

1 2

(1 ?

1 2
n

)?

1

(

1
n

?

1 n ?1

)?

n ?1? 2 2
n ?1

n

2 2

( n ? 1)



当 n=1 时 b1 ? c1 不符合题意, 当 n=2 时 b 2 ? c 2 ,符合题意, 猜想对于一切大于或等于 2 的自然数,都有 ? b i ?
i ?1 n

?c
i ?1

n

i

. ?) (

观察知,欲证( ? )式,只需证明当 n≥2 时,n+1<2n 以下用数学归纳法证明如下: (1)当 n=2 时,左边=3,右边=4,左边<右边; (2)假设 n=k(k≥2)时,(k+1)<2k, 当 n=k+1 时,左边=(k+1)+1<2k+1<2k+2k=2k+1=右边,
? 对于一切大于或等于 2 的正整数,都有 n+1<2 ,即 ? b i < ? c i 成立.
n
i ?1 i ?1 n n

综上,满足题意的 n 的最小值为 2. ……………………………………………..13 分

(方法二)欲证 ? b i ?
i ?1
n n 0

n

?c
i ?1
1

n

i

成立,只需证明当 n≥2 时,n+1<2n.

? 2 ? ? 1 ? 1 ? ? C n ? C n ? C n ? C n ? ... ? C n ? 1 ? n ? C n ? C n ? ... ? C n ,
2 3 n 2 3 n

并且 C n ? C n ... ? C n ? 0 ,
2 3 n

? 当 n ? 2 时, 2 ? n ? 1 .
n


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