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数学:6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质教案(2)

时间:2014-04-14


6.1 三角函数的周期性(2)
一、课题:三角函数的周期性 二、教学目标:1.理解周期函数、最小正周期的定义; 2.会求正、余弦函数的最小正周期。 三、教学重、难点:函数的周期性、最小正周期的定义。 四、教学过程: (一)引入: 观察正(余)弦函数的图象总结规律: 自变量

x

?2?
0

?

3? 2
1

??
0

?

?
2

0 0

? 2
1

?
0

3? 2
?1

2?

函数值

sin x

?1 y – 1

0

?5?

?2?

??

?

?
2

O

?
2

?

2?

5?

x

?1 –

正弦函数 f ( x) ? sin x 性质如下: 当 x 增加 2k? ( k ? Z )时,总有 f ( x ? 2k? ) ? sin( x ? 2k? ) ? sin x ? f ( x) . 也即: (1)当自变量 x 增加 2k? 时,正弦函数的值又重复出现; (2)对于定义域内的任意 x , sin( x ? 2k? ) ? sin x 恒成立。 余弦函数也具有同样的性质,这种性质我们就称之为周期性。 (二)新课讲解: 1.周期函数的定义 对于函数 f ( x ) ,如果存在一个非零常数 时,都有 ....T ,使得当 x 取定义域内的每一个值 ....

f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。 说明: (1) T 必须是常数,且不为零; (2)对周期函数来说 f ( x ? T ) ? f ( x) 必须对定义域内的任意 x 都成立。
【思考】 (1)对于函数 y ? sin x , x ? R 有 sin( 是对于任意的 x ? R 都成立.

?
6

?

2? ? 2? ) ? sin ,能否说 是它的周期?答:不 3 6 3

(2)若函数 f ( x ) 的周期为 T ,则 kT , k ? Z 也是 f ( x ) 的周期吗?为什么?
*

(是,其原因为: f ( x) ? f ( x ? T ) ? f ( x ? 2T ) ? ? ? f ( x ? kT ) ) 2.最小正周期的定义 对于一个周期函数 f ( x ) ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小 的正数就叫做 f ( x ) 的最小正周期。 说明: (1)我们现在谈到三角函数周期时,如果不加特别说明,一般都是指的最小正周期;

(2)从图象上可以看出 y ? sin x , x ? R ; y ? cos x , x ? R 的最小正周期为 2? ; (3) 【判断】 :是不是所有的周期函数都有最小正周期? (不是, f ( x) ? c 没有最小 正周期) 3.例题分析: 例 1:求下列函数周期: (1) y ? 3cos x , x ? R ; (2) y ? sin 2 x , x ? R ;

1 ? ), x? R. 2 6 解: (1)∵ 3cos( x ? 2? ) ? 3cos x , 即f ( x ? 2? ) ? f ( x) 所以,函数 y ? 3cos x , x ? R 的周期是 2? .
(3) y ? 2sin( x ? (2)∵ sin(2 x ? 2? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x , 即f ( x ? ? ) ? f ( x) 所以,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的周期是 ? .

1 ? 1 ? 1 ? x ? ? 2? ) ? 2 sin[ ( x ? 4? ) ? ] ? 2 sin( x ? ) , 2 6 2 6 2 6 即f ( x ? 4? ) ? f ( x) 1 ? 所以,函数 y ? 2sin( x ? ) , x ? R 的周期是 4 ? . 2 6
(3)∵ 2 sin(

x?R 说明: (1) 一般结论: 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) , (其中 A, ? , ?
为常数,且 A ? 0 , ? ? 0 )的周期 T ? (2)若 ? ? 0 ,则函数的周期又是什么?

2?

?



一般结论:函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) , x ? R 的周期 T ?

2? . |? |

例 2:求下列函数的周期:

3x x 3x x cos ? sin sin ; 3 2 2 2 2 2 x x 2 2 ? cos 2 ; (3) y ? sin x ? cos x ; (4) y ? sin (5) y ? cos x . 2 2 说 明 : 求 函 数 周 期 的 一 般 方 法 是 : 先 将 函 数 转 化 为 y ? A sin(? x ? ? ) 及 函 数 2? 进行求解。 y ? A cos(? x ? ? ) 的形式,再利用公式 T ?
(1) y ? sin(

?

?

?

x) ;

(2) y ? cos

?

解: (1) T ?

2? |?

?
2

? 4 ,∴周期为 4 ; |

(2) y ? cos

3x x 3x x 3x x cos ? sin sin ? cos( ? ) ? cos x ;∴周期为 2? 2 2 2 2 2 2

(3) y ? cos x ? sin x ?

2 sin( ? x) 4

?

∴周期为 2? ;

x x ? cos 2 ? ? cos x ,∴周期为 2? ; 2 2 1 1 1 2 (5) y ? cos x ? (1 ? cos 2 x) ? ? cos 2 x ? ,∴周期为 ? . 2 2 2
(4) y ? sin
2

例 3:求下列函数的周期: (1) y ? 2sin( x ? (3) y ?

?
2

) sin x ;

(2) y ? sin x

1 3 cos2 x ? sin x cos x ? 1 ; (4) y ? sin6 x ? cos6 x 2 2

解: (1) y ? ?2sin x cos x ? ? sin 2 x ,故周期 T ? ? . (2) T ? ?

(3)

?

1 ? 5 sin( 2 x ? ) ? 2 6 4

,故周期 T ? ?

(4) y ? sin6 x ? cos6 x ? (sin 2 x) 3 ? (cos2 x) 3

? (sin 2 x ? cos2 x)((sin2 x) 2 ? (cos2 x) 2 ? sin 2 x ? cos2 x) ? (sin 2 x) 2 ? (cos2 x) 2 ? sin 2 x ? cos2 x ? (sin 2 x ? cos2 x) 2 ? 2 sin 2 x ? cos2 x ? sin 2 x ? cos2 x
? 1 ? 3 sin 2 x ? cos2 x

3 1 ? cos 4 x 3 5 ? ? 1? ( ) ? cos 4 x ? ,周期为 T ? 4 2 8 8 2

1 ? 1 ? 3(sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 3( sin 2 x) 2 2

3 ? 1 ? (sin 2 x) 2 4

五、课堂练习:求下列函数的周期: 六、小结:1.周期函数、最小正周期的定义

2. y ? A sin(? x ? ? ) 型函数的周期的求法。


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