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1.4 生活中的优化问题举例 教学设计 教案

时间:2016-03-07


教学准备
1. 教学目标
一、知识与技能目标 1、体会导数在解决实际问题中的作用,能解决利润最大、用料最省、效率最高等优化 问题, 2、形成求解优化问题的思路和方法。 二、过程与方法: 1、通过逐步形成用到导数知识分析问题和解决问题,进一步培养学生发散思维能力。 2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。 三、情感、态度、价值观: 培养学生用运动变化的辩证唯物主

义思想处理数学问题地积极态度

2. 教学重点/难点
教学重点:利用导数解决生活中的一些优化问题。 教学难点:理解导数在解决实际问题时的作用,并利用其解决生活中的一些优化问题。

3. 教学用具
多媒体、板书

4. 标签

教学过程
一、复习引入
【师】 问题一:导数在研究函数中有哪些应用? 问题二:联系函数在实际生活中的作用,你认为导数对于解决生活中的什么问题有什 么作用呢? 问题三:通过预习,我们把导数能解决的这些问题通常称为什么问题呢?

【生】学生讨论回答 【师】生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为 优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.这一节, 我们利用导数,解决一些生活中的优化问题. 二、新知学习 问题 1:导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题, 主要有几个方面? 1、与几何有关的最值问题; 2、与利润及其成本有关的最值问题; 3、效率最值问题。 【生】学生讨论回答 问题 2:解决优化问题的方法有哪些? 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定 义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数关系。再通 过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有 力的工具. 【生】学生讨论回答 问题 3:解决优化问题的的步骤是怎样的?

【生】学生讨论回答 典例探究

(一)海报版面尺寸的设计 【例题 1】学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为 128dm2,上、下两边各空 2dm,左、右两边各空 1dm。如何设计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小?

【分析】 先建立目标函数,然后利用导数求最值. 【规范解答】 设版心的高为 xdm,则版心的宽为 dm,此时四周空白面积为

因此,x=16 是函数的极小值,也是最小值点。所以,当版心高为 16dm,宽为 8dm 时, 能使四周空白面积最小。 答:当版心高为 16dm,宽为 8dm 时,海报四周空白面积最小。 【引申思考】

在本题解法中,“x=16 是函数 S(x)的极小值点,也是最小值点。”为什么? 【生】学生讨论回答 【师】一个函数在某个区间上若只有一个极值,则该极值即为这个区间上的最值。在 实际问题中,由于 f'(x)=0 常常只有一个根,因此若能判断该函数的最大(小)值在的变化 区间内部得到,则这个根处的极大(小)值就是所求函数的最大(小)值。 【一题多解】对于本题的最值你是否还有别的解法? 【探究解答】 由解法一可得:

【变式练习】 在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如 图),做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积是多少?

【规范解答】 解法一:

由题意可知,当 x 过小(接近 0)或过大(接近 60)时,箱子容积很小,因此,16000 是最大值 答:当 x=40cm 时,箱子容积最大,最大容积是 16000cm3 解法二: 设箱高为 xcm,则箱底长为(60-2x)cm,则得箱子容积

由题意可知,当 x 过小或过大时箱子容积很小,所以最大值出现在极值点处. 【反思提高】 事实上,可导函数

在各自的定义域中都只有一个极值点,从图象角度理解即只有一个波峰,是单峰的, 因而这个极值点就是最值点,不必考虑端点的函数值 (二)饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 【问题引领】 (1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些? (2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 【例题 2】 【背景知识】

某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是 0.8πr2 分,其中是瓶子 的半径,单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶 子的最大半径为 6cm. 【问题】 (1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小? 【分析】 先建立目标函数,转化为函数的最值问题,然后利用导数求最值. 【规范解答】 由于瓶子的半径为,所以每瓶饮料的利润是

【新视角解答】 我们已经求出利润和瓶子半径之间的关系式: 如图,能否根据它的图象说出其实际意义? 图象

【合作探究】

(三)磁盘的最大存储量问题 【例题 3】 【背景知识】 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其格式化 成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分割所成的扇形 区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1, 这个基本单元通常被称为比特(bit)。 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于 m,每比特所占用的磁道长度不得 小于 n。为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 【问题】 现有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半径介于 r 与 R 之间的环形区域. (1) 是不是 r 越小,磁盘的存储量越大? (2) r 为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)? 【规范解答】 由题意知:存储量=磁道数× 每磁道的比特数。

设存储区的半径介于 r 与 R 之间,由于磁道之间的宽度必需大于 m,且最外面的磁道 不存储任何信息,故磁道数最多可达 。由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大 。

存储量,最内一条磁道必须装满,即每条磁道上的比特数可达

所以,磁盘总存储量

(1)它是一个关于 r 的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是 r 越小,磁盘的存 储量越大.

【思考】根据以上三个例题,总结用导数求解优化问题的基本步骤. 【例题总结】

(3)比较函数在各个根和端点处的函数值的大小, 根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值。 【提别提醒】

由问题的实际意义来判断函数最值时,如果函数在此区间上只有一个极值点,那么这 个极值就是所求最值,不必再与端点值比较. 四、课堂练习 1 .某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法:达到 100 人的团体,每人收费 1000 元。如果团体的人数超过 100 人,那么每超过 1 人,每人平均收费降低 5 元,但团体人数 不能超过 180 人,如何组团可使旅行社的收费最多? (不到 100 人不组团) 【分析】先列出问题的文字模型(标准收费数-降低的收费数),再转化为数学模型. 【规范解答】 设参加旅游的人数为 x,旅游团收费为 y

所以当参加人数为 150 人时,旅游团的收费最高,可达 112500 元。 2.圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用的材 料最省?

【规范解答】

因为 S(R)只有一个极值,所以它是最小值 答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省 【变式练习】 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时,它的高与底面半径应怎样选取才能使所用 材料最省?

课堂小结
1.导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有 以下几种类型: (1)与几何(长度、面积、体积等)有关的最值问题; (2)与物理学有关的最值问题;

(3)与利润及其成本(效益最大、费用最小等)有关的最值问题; (4)效率最值问题。 2.利用导数解决优化问题的基本思路:

课后习题
课本 37 页 A 组 1,2; B 组第 1 题

板书
1.4 生活中的优化问题举例 5.1 复习引入 5.2 新知学习 5.3 应用举例 5.3.1 例 1 探究分析 【分析】 【规范解答】 【引申思考】 【一题多解】 【变式练习】 5.3.2 例 2 探究分析

【问题引领】 【背景知识】 【问题】 【分析】 【规范解答】 【新视角解答】 【合作探究】 5.3.3 例 3 探究分析 【问题引领】 【背景知识】 【问题】 【分析】 【规范解答】 【小结】 【提别提醒】 5.4 课堂练习 1、2 5.5 小结提高


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