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数列求和的方法总结教案


授课教案
学员姓名:__________ 学员年级:__________ 教学标题 教学目标 教学重难点 上次作业检查
重点掌握: 正确数: 正确率: 熟练掌握:专题 数列求和的方法总结 考点内容: 问题描述:

授课教师:_ 所授科目: 上课时间:___年__月___日___时___分至___时___分共___小时

授课内容: 一 复习上次课内容: 二 梳理知识(新课内容)

数列求和的常用方法:
(1)公式法:必须记住几个常见数列前 n 项和

n(a1 ? a n ) n(n ? 1)d ? na1 ? ; 2 2 ?na1 ?? q ? 1 ? 等比数列: S n ? ? a1 (1 ? q n ) ; ? ? q ? 1 ? 1? q ? 1 1 1 (2)分组求和:如:求 1+1, ? 4 , 2 ? 7 ,?, n ?1 ? 3n ? 2 ,?的前 n 项和 a a a 1 1 1 1 可进行分组即: 1 ? ? 2 ? 3 ? ?? ? n ?1 ? 1 ? 4 ? 7 ? ??3n ? 2 a a a a
等差数列: S n ? 前面是等比数列,后面是等差数列,分别求和

? (3n ? 1)n ?? a ? 1 ? ? 2 (注: S n ? ? ) ( 3 n ? 1 ) n ? ?? a ? 1 ? 2 ? 1 1 1 1 ? ? (3)裂项法:如 a n ? ,求 Sn ,常用的裂项 , n(n ? 2) n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ); ? [ ? ] n(n ? 2) 2 n n ? 2 n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)
(4)错位相减法:其特点是 cn=anbn 其中{an}是等差,{bn}是等比 如:求和 2 3 n-1 Sn=1+3x+5x +7x +??+(2n-1)x 注意讨论 x,

?n 2 ?? x ? 1 ? S n ? ? (2n ? 1) x n ?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) ?? x ? 1 ? (1 ? x) 2 ?
(5)倒序求和:等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。如求证:Cn +3Cn +5Cn +? n n +(2n—1) Cn =(n+1)2
0 1 2

三 典型例题

典型题(一)公式法求和
如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列, 我们可以运用等差、等比数列的前 n 项和的公式来求. ①等差数列求和公式: Sn ?
n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? ? na1 ? d 2 2

? na1 ? q ? 1? ? ②等比数列求和公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q ? 1 n ? q ? 1? ? 1 ? q 1? q ? n(n ? 1) 常见的数列的前 n 项和: 1 ? 2 ? 3 ? ……+n= , 1+3+5+……+(2n-1)= n2 2
n(n ? 1)(2n ? 1) ? n(n ? 1) ? 1 ? 2 ? 3 ? ……+n = , 13 ? 23 ? 33 ? ……+n3 = ? 等. 6 ? 2 ? ?
2 2 2 2

2

2 2 2 题 1:等比数列 {an } 的前n项和 Sn=2n-1,则 a12 ? a2 = ? a3 ? ? ? an

4n ? 1 3

题 2:若 12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn,则 a= . 解: 原式=
(n ? 1)n ? (2n ? 1) 2n 3 ? 3n 2 ? n ? . 6 6

,b =

,c=

答案: ;? ;

1 3

1 1 2 6

典型题(二)倒序相加法求和:
类似于等差数列的前 n 项和的公式的推导方法。如果一个数列 ?an ? ,与首末 两项等距的两项之和等于首末两项之和, 可采用正序写和与倒序写和的两个和式 相加,就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.

2x 题 1:已知函数 f ? x ? ? x 2 ? 2
(1)证明: f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? 1 ;
?1? (2)求 f ? ? ? ? 10 ? ? 2? f ? ?? ? 10 ? ?8? ? f ? ?? ? 10 ? ?9? f ? ? 的值. ? 10 ?

解: (1)先利用指数的相关性质对函数化简,后证明左边=右边 (2)利用第(1)小题已经证明的结论可知,
?1? f ? ?? ? 10 ? ?9? ? 2? f ? ? ? f ? ?? ? 10 ? ? 10 ? ?8? f ? ?? ? 10 ? ? 5? ? f ? ?? ? 10 ? ? 5? f ? ? ?1 ? 10 ?

?1? ?2? 令S ? f ? ? ? f ? ? ? ? 10 ? ? 10 ? ?9? 则S ? f ? ? ? ? 10 ? ?8? f ? ?? ? 10 ?

?8? ?9? ? f ? ?? f ? ? ? 10 ? ? 10 ? ?2? ? f ? ?? ? 10 ? ?1? f? ? ? 10 ?

两式相加得:

? 2S ? 9 ? ? ?

?1? f ? ?? ? 10 ?

? 9 ?? f ? ?? ? 9 ? 10 ? ?

所以 S ?

9 . 2

小结:解题时,认真分析对某些前后具有对称性的数列,可以运用倒序相加法求 和. 针对训练: 求值: S ?
12 22 32 ? ? ? 12 ? 102 22 ? 92 32 ? 82 ? 102 102 ? 12

典型题(三)错位相减法求数列的前 N 项和:
类似于等比数列的前 n 项和的公式的推导方法。 若数列各项是由一个等差数 列和一个等比数列对应项相乘得到,即数列是一个“差·比”数列,则采用错位 相减法. 若 an ? bn ? cn ,其中 ?bn ? 是等差数列, ?cn ? 是公比为 q 等比数列,令

Sn ? b1c1 ? b2c2 ?
则 qS n ?

? bn?1cn?1 ? bncn ? bn?1cn ? bncn?1

b1c2 ? b2c3 ?

两式相减并整理即得 题 1: 已知 an ? n ? 2n?1 ,求数列{an}的前 n 项和 Sn. 解: Sn

? 1 20 ? 2 21 ?

? (n ?1) 2n?2 ? n 2n?1

① ②

2Sn ? 1 21 ? 2 22 ?
②—①得

? (n ?1) 2n?1 ? n 2n

Sn ? n 2n ?1 20 ? 21 ?

2n?1 ? n 2n ? 2n ?1

题外音: 错位相减法的求解步骤:①在等式两边同时乘以等比数列 ?cn ? 的公比

q ;②将两个等式相减;③利用等比数列的前 n 项和的公式求和.
题 2:
2n ? 3 1 3 5 2n ? 1 , 2 , 3 , ? , n , ? ; 的前 n 项和为____ S n ? 3 ? 2n 2 2 2 2

题 3: Sn

? x ? 2x2 ? 3x3 ?

? nxn ? x ? 0, x ? 1?

典型题(四)裂项相消法:
把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差,在 求和时一些正负项相互抵消, 于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和,这一求

? c ? 和方法称为裂项相消法。适用于类似 ? ?(其中 ?an ? 是各项不为零的等差数 ? an an ?1 ?
列, c 为常数)的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和,需要掌握一些常 见的裂项方法: (1)

1 1?1 1 ? ? ? ? ?, n?n ? k ? k ? n n ? k ?
1 1 ? n?k ? n k

特别地当 k ? 1 时,

1 1 1 ? ? n ? n ? 1? n n ? 1

(2)

?

n?k ? n

?

特别地当 k ? 1 时

1 ? n ?1 ? n n ?1 ? n

题 1: 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 解: Sn ? a1 ? a2 ? a3 ?

1 ,求它的前 n 项和 Sn n( n ? 1)

? an?1 ? an
? 1 1 ? ? n ?1? n n ? n ? 1?
1? ?1 1 ? ? 1 ?? ? ??? ? ? ? n ?1 n ? ? n n ? 1 ?

?

1 1 1 ? ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4

? 1? ? 1 1? ?1 1? = ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2 3? ? 3 4?
? 1? 1 n ? n ?1 n ?1
? 1 ? (3n ? 2) ? (3n ? 1)

题 2:

1 1 ? ? 1? 4 4 ? 7

n . 3n ? 1

题 3:

1 1 1 1 1?1 1 1 1 ? ? ? ? ... ? =、 ? ? ? ? ? 2 ? 4 3?5 4 ? 6 (n ? 1)( n ? 3) 2? 2 3 n?2 n?3?

题 4:数列{an}满足:a1=1,且对任意的 m,n∈N*都有:am+n=am+an +mn,则 A.
1 1 1 1 ? ? ??? ? a1 a2 a3 a2008

( C.

)

4016 2009

B.

2008 2009

2007 1004

D.

2007 2008

解:先用叠加法得到: an ?

n( n ? 1) 1 2 1 1 ,∴ ? ? 2( ? ), 2 an n(n ? 1) n n ?1
? 4016 2009



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 2(1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? 2(1 ? ) a1 a2 a3 a2008 2 2 3 2008 2009 2009



题外音 裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差, 且这两项是同 一数列的相邻两项,即这两项的结构应一致,并且消项时前后所剩的项数相同.
1 1 1 , , , 1 ? 2 2 ? 3 3 ? 2 针对训练:求数列 , 1 n ? n ?1 ,

的前 n 项和

Sn

.

典型题(五)拆分组求和法:
有一类数列, 它既不是等差数列, 也不是等比数列.若将这类数列适当拆开, 可分为几个等差、等比数列或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 题 1:求和: Sn ? ? 2 ? 3 ? 5?1 ? ? ? 4 ? 3 ? 5?2 ? ? ? 6 ? 3 ? 5?3 ? ? 解: Sn ? ? 2 ? 3 ? 5?1 ? ? ? 4 ? 3 ? 5?2 ? ? ? 6 ? 3 ? 5?3 ? ?
? ?2 ? 4 ? 6 ? ? 2n ? ? 3 ? 5?1 ? 5?2 ? 5?3 ? ? ? 2 n ? 3 ? 5? n ?

? ? 2 n ? 3 ? 5? n ? ? 5? n ?

n 1? ?1? ? ?1 ? ? ? ? n 5? 3 ? ?1? ? ? ?5? ? ? 2 ? n ? n ? 1? ? 3 ? ? n ? n ? ?1 ? ? ? ? 1 4? ? ?5? ? ? 1? 5

题 2: 数列 1,(1 ? 2),(1 ? 2 ? 22 ), ,(1 ? 2 ? 22 ?

? 2n?1 ),

的通项公式 an ? ,前 n 项

和 Sn ?
2

2n ?1; 2n?1 ? 2 ? n
) D. n(n+7)
1 2
n ( n ? 1) 3

题 3:设 m=1×2+2×3+3×4+?+(n-1)·n,则 m 等于 ( A A. B. n(n+4)
1 2

C. n(n+5)

1 2

1 1 1 1 题 4: 数列 1 ,3 ,5 ,7 , ? ,前 n 项和为 (A) 2 4 8 16 1 1 1 1 (A) n2 ? n ?1 ( B ) n 2 ? n ?1 ? (C) n2 ? n ? n ?1 2 2 2 2 1 1 n 2 ? n ? n ?1 ? 2 2

(D)

题 外 音 这是求和的常用方法,按照一定规律将数列分成等差(比)数列或常见的数列, 使问题得到顺利求解. 针对训练:求和: Sn ? ? a ? 1? ? ? a 2 ? 2 ? ? ? a 3 ? 3? ?
? ? an ? n?

典型题(六)奇偶并项求和法
题 1 :设 Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ?
? (?1)n (2n ? 1) ,则 S n =___ 2 (?1)n ? n .

题 2 :若 Sn=1-2+3-4+?+(-1)n-1·n,则 S17+S33+S50 等于 ( A.1 B.-1 C.0 D .2 解:对前 n 项和要分奇偶分别解决,即:
?n ?1 (n为奇) ? ? Sn= ? 2 ?? n (n为偶) ? 2 ?

)

答案:A

题 3 :1002-992+982-972+?+22-12 的值是 A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 解:并项求和,每两项合并,原式=(100+99)+(98+97)+?+(2+1)=5050. 答案:B

四 课堂练习(可以另附资料) 五 课堂小结(对本次课知识、考点、方法等进行归纳) 六 下次课内容: 课后作业: 学员课堂表现:

签字确认

学员_____________

教师_____________

班主任_____________


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