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2013年绍兴市高三教学质量调测数学(理科)(一模) 2

时间:2013-08-05


2013 年 绍 兴 市 高 三 教 学 质 量 调 测

[来源:学科网]

数学(理)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

1.设全集 U ? { x | x ? 0} ,集合 M ? { x | x ? 3 ? 0} ,则 CU M ? A. { x | 0 ? x ? 3

} B. { x | x ? 3} C. { x | x ? 3} D. { x | 0 ? x ? 3}

2.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 ? S3 ? ?4, a4 ? 3 ,则公差为 A. - 1 B. 1 C. 2 D. 3

3.若 a , b ? R ,则“ a ? 0, b ? 0 ”是“ a ? b ? 0 ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.某四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示, 则该三棱锥的体积等于 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.函数 f ( x ) ? sin 2 x ? cos 2 x 在下列哪个区间上 单调递增

5? ? ,? ] 4 4 3? 7? , ] C. [ 8 8
A. [?

B. [? D. [

? 3?
8 , 8

]

3? 7? , ] 4 4
值为 D. -5

? x ? 2 y ? 1? 0 ? 6.已知实数 x , y 满足 ?3 x ? y ? 3 ? 0, 则 z ? 4 x ? y 的最小 ?x ?1 ?
A. 5 B. -2 C. -4 7.已知 m , n 是 不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,在下列条件中,可得出 ? ? ? 的是 A. m ? n, m ? ? , n / / ? C. m ? n, m / /? , n / / ? 8.已知双曲线 B. m / / n, m ? ? , n ? ? D. m / / n, m / /? , n ? ?

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F , O 为坐标原点,以 OF 为直径的圆与双曲线 a 2 b2 2 的一条渐近线相交于 O , A 两点,若 ? AOF 的面积为 b ,则双曲线的离心率等于
A.

3

B.

5
0? x? 4

C.

3 2

D.

5 2

9. 已 知 函 数 f ( x ) ? ?

?| log 2 x |,
2

? x ? 12 x ? 34, x ? 4 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 x2 x3 x4 的取值范围为
B. (30,36)

, 若 方 程 f ( x ) ? t ( t ? R) 有 四 个 不 同 的 实 数 根

A. (30,34)

C. (32,34)
1

D.(32,36)

10.如图,正四面体 ABCD 的顶点 C 在平面 ? 内,且直线 BC 与平面 ? 所成的角为 45 , 顶点 B 在平面 ? 上的射影为点 O . 当顶点 A 与点 O 的距离最大时, 直线 CD 与平面 ? 所成角的 正弦值等于
?

A. C.

6?3 2 12 6? 2 4

B.

2 2 ?1 5 5?2 2 D. 12

二、填空题 (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

1 ? 3i ? . 1? i 12.某程序框图如图所示,若输入 x ? 16 ,则运行后输出的
11.已知 i 为虚数单位,则 值是 13. ( x ?
2

.

1 6 ) 展开式的常数项是 . x 14.已知实数 a1 , a2 , a3 , a4 依次构成公差不为零的等差数列,
若去掉其中一个数后,其余三个数按原来顺序构成一个 等比数列,则此等比数列的公比为 . 15.甲、乙、丙三位学生在学校开设的三门选修课中自主选 课,其中甲和乙各选修其中的两门,丙选修其中的一门, 且每门选修课这三位学生中至少有一位选修,则不同的 选法共有 种.

16.已知 a , b 为平面内两个互相垂直的单位向 量,若向量 c 满足

? ?

?

? ? ? ? ? . c ? a ? ? ( c ? b)(? ? R),则 | c | 的最小值为 17.已知 a 为 [0,1] 上的任意实数,函数 f1( x) ? x ? a, f2 ( x) ? ? x 2 ? 1, f3 ( x) ? ? x3 ? x 2 ,则以下结
论: ①对于任意 x0 ? R ,总存在 fi ( x), f j ( x)({i , j} ? {1, 2, 3}) ,使得 fi ( x0 ) f j ( x0 ) ? 0 ; ②对于任意 x0 ? R ,总存在 fi ( x), f j ( x)({i , j} ? {1, 2, 3}) ,使得 fi ( x0 ) f j ( x0 ) ? 0 ; ③对于任意的函数 fi ( x), f j ( x)({i , j} ? {1, 2, 3}) ,总存在 x0 ? R ,使得 fi ( x0 ) f j ( x0 ) ? 0 ; ④对于任意的函数 fi ( x), f j ( x)({i , j} ? {1, 2, 3}) ,总存在 x0 ? R ,使得 fi ( x0 ) f j ( x0 ) ? 0 . 其中正确的为 .(填写所有正确结论的序号)

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)

B 18. (本小题满分 14 分) 如图, ? ABC 中, ? 在

?
3

, BC ? 2 , D 在边 AB 上,AD ? DC , DE ? AC , 点

E 为垂足.
(I)若 ? BCD 的面积为 (II)若 DE ?

3 ,求 CD 的长; 3

6 ,求角 A 的大小. 2

2

19.(本小题满分 14 分)两个不同的口袋中,各装有大小、形状完全相同的 2 个红球、3 个黄球,现 分别从每个口袋中各任取 2 个球,设随机变量 ? 为取得红球的个数. (I)求 ? 的分布列; (II)求 ? 的数学期望 E ? .

AB / / CD, AB ? AD, AD ? 4 , P 在平面 ABCD 20. (本小题满分 14 分) 如图, 在梯形 ABCD 中, 点
上的射影为点 O ,且 PA ? PD ? 2 3 ,二面角 P ? AD ? B 为 45 . (I)求直线 OA 与平面 PAB 所成角的大小; (II)若 AB ? BP ? 8 ,求三棱锥 P ? ABD 的体积.
?

21.(本小题满分 15 分)已知 A 是圆 x ? y ? 4 上的一个动点,过点 A 作两条直线 l1 , l2 ,它们与椭
2 2

x2 ? y 2 ? 1 都只有一个公共点,且分别交圆于点 M , N . 3 (I)若 A( ?2, 0) ,求直线 l1 , l2 的方程; (II) (i)求证:对于圆上任一点 A ,都有 l1 ? l2 成立; (ii)求 ?AMN 面积的取值范围.


22.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x ) ? x ? (1 ? p) x ? (1 ? p )ln x.
2 2

(I)若 f ( x ) 无极值点,求 p 的取值范围; (II)设 x0 为函数 f ( x ) 的一个极值点,问在直线 x ? x0 的右侧,函数 y ? f ( x ) 的图象上是否存在
3

点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )), x1 ? x2 , 使得 取值范围,若不存在,请说明理由.

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 求出 x1 的 ? 3 ? p 成立?若存在, x2 ? x1

2013 年 绍 兴 市 高 三 教 学 质 量 调 测
数学(理)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.A 2.C 3.A 4.B 5.B 6.C 7.D 8.D 9.C 二、填空题 (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. ?1 ? 2i 12. 7 13. 1 10.A

[来源:学科网]

5

14.

1 2

或2

15. 2

1

16.

2 2

17.①④

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 18.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)由已知得 S ? B C D

1 3 B C ? B D ? sin B ? 2 3 2 3 又 BC ? 2 , s i n B ? 得B D ? . 3 2 在△ BCD 中,由余弦定理得

?



……………………3 分

CD ?
所以 CD 的长为

2 1 ?2? ? 2 ? ? ? ? 2? 2? ? ? 2 7 3 2 ?3? 3
2

2



2 3

7



……………………7 分

(Ⅱ)方法 1:因为 CD

DE 6 . ……………………10 分 ? sin A 2 sin A BC CD 在△ BCD 中,由正弦定理得 ,又 ? D ?2 , ? BC A sin ? BDC sin B 2 6 ? 得 , ……………………1 2 分 sin 2 A 2 sin A sin 60 ? ? 2 解得 c o s A ? ,所以 A ? 即为所求. ……………………14 分 4 2 2 AC ? 方法 2:在△ ABC 中,由正弦定理得 ,又由已知得, E 为 AC 中点, sin A sin B 3 ? AC ? 2 AE ,所以 AE ? sin A ? sin B ? . ……………10 分 2 DE sin A 6 ? tan A ? 又 ,所以 A s AD o ? Ei ?E s ?n ? A c o s A ,……12 分 c AE cos A 2 2 ? 得c o s A ? ,所以 A ? 即为所求. ……………………14 分 4 2 ? AD ?
………………………2 分 ; ………………………3 分

19.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题意 ? 的取值为 0,1,2,3,4. 且P

(? ? 0 ) ?

C C C C ? C 52 C 52

2 3

0 2

2 3

0 2

?

9 100

[来源:Z。xx。k.Com]

4

P (? ? 1 ) ? 2?

9 C 31 C 21 C 32 C 20 ? ? 2 2 25 C5 C5



……………………4 分

P (? ? 2 ) ? 2?
P (? ? 3 ) ? 2 ?
P (? ? 4) ?

C 30 C 22 C 32 C 20 C 31 C 21 C 31 C 21 21 ? ? 2 ? ? 2 2 2 C5 C5 C5 C5 50

;……………………5 分

C 31 C 21 C 30 C ? C 52 C 52

2 2

?

3 25
.



……………………6 分

所以 ? 的分布列为

C 30 C 22 C 30 C 22 1 ? 2 ? 2 100 C5 C5
0 1

………………………7 分

?
P

2

[来源:Z#xx#k.Com]

3

4

9 100

9 2 5

2 1 5 0

3 2 5

1 100
…………………9 分 . ………14 分

(Ⅱ) ? 的数学期望 E 20.(本小题满分 14 分)

? ? 0?

9 9 21 3 1 8 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 100 25 50 25 100 5
ABCD 上的射影 O 在线段 A D ? AD , EP ? AD ,∴ ? PEO
,又 PA

解: (Ⅰ)方法 1:∵ P ? P ,∴ P 点在平面 A D 的中点为 E ,连接 EP , EO ,∴ EO 的平面角,∴ ? PEO ? 45 .
?

的中垂线上,设 A D

为二面角 P A ? ? DB

……………………2 分

在等腰△ PAD 中,∵

AD ? 4 ,∴ EA ? ED ? 2

在 Rt △ PEO 中,得 O ? E?2 . P O 以 O 为原点,分别以平行于

? PD

? 2 3

,∴ PE

? 2

2

.

……………………3 分 的直线为 x 轴、

y 轴建立空间直角坐标系,则 ??? ? P(0,0,2) , A(2, ?2,0) ,所以 OA ? ( 2 , ? 2 , 0 ) , P (2 ? , ? .………………4 分 A? , 2 2) ?? ? ? ?? ∵ AB // y 轴,故可取一个 A B 的平行向量 m ? ? 0 ,1, 0 ? . z


AD

AB

??? ? ? ? PA ? n ? 0, ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, ? 则 ? ?? ? 即? ?m ? n ? 0, ? ? y ? 0, D C ? O E 取 n ? (1, 0,1) . ……………………5 分 y ∴直线 A O 与平面 PAB 所成角 ? 满足 A B (2, ?2, 0) ? (1, 0,1) 1 x sin ? ? ? ,…………7 分 8? 2 2 0 所以直线 O A 与平面 PAB 所成角为 30 . ……………………8 分 P 方法 2:过 O 点作 O ? A ,垂足为 H ,连接 P H . H B K H 过 O 作 O ?P ,垂足为 K ,连接 A K . O B ? PO ? 平面 ABCD ,∴ P ? A . ? H?A ,∴ AB ? 平面 POH . O B C D K 又 OK ? 平面 POH , O E B K K H ∴ A ?O ,又 O ?P ,∴ OK ? 平面 PAB . ∴ ?OAK 就是 O A 与平面 PAB 所成角.……3 分 A H B A D ∵ P ? P ,∴ P 点在平面 ABCD 上的射影 O 在线 段 A D 的中垂线上,设 A D 的中点为 E ,连接 EP , EO , ? D B ∴ EO ? AD , EP ? AD ,∴ ? PEO 为二面 角 P A ? 的平面角,∴ ? PEO ? 45? .
5

设平面 PAB 的法向量是 n

? (x,y,z)



P

AD ? 4 ,∴ EA ? ED ? 2 ,又 PA ? PD ? 2 3 , ∴ PE P E ? 2 2 .在 Rt △ PEO 中,得 O ?O ?2,∴ OA ? 2 2 . 又 OH ? AE ? 2 , PO ? 2 ,在 Rt △ POH 中,可得 O K ? 2 . ………………6 分 OK 1 ? ,∴ ? AK ?30? . ∴ sin ? O AK ? ……………………7 分 O OA 2 所以直线 O A 与平面 PAB 所成角为 30? . …………8 分 (Ⅱ)设 AB ? x ,则 PB ? 8? x ,连接 O B . 2 在 Rt △ POB 中, PB ? PO 2 ? OB 2 ,又由(Ⅰ )得 OE ? AE , OE ? AE , ? ? ∴ ? AE ? 45 ,∴ ? AB ? 45 . ……………………9 分 O O 2 2 2 2 在△ O AB 中, OB ? AO ? AB ? 2 AO ? AB cos ?OAB ? 8? x ? 4x , 13 13 2 又 PB ,即 A B ? .……11 分 ? ( 8 ? x ) 2 ,∴ 4 ? ( 8 ? x 2 ? 4 x ) ? ( 8 ? x ) 2 ,得 x ? 3 3 1 1 1 13 52 ∴三棱锥 P? A D的体积 VP ? ABD ? S ?ABD ? OP ? ? ? 4 ? . ……14 分 ?2 ? B 3 3 2 3 9
在等腰△ PAD 中,∵ 21.(本小题满分 15 分) 解: (Ⅰ)设

y ? k(x ? 2)
? 0
得, k
2

,代入

x 3

2

? y

2

? 1

消去

y

,得 (1 ? 3k

2

) x 2 ? 12k 2 x .

………2 分

, l 2 的斜率分别为 k 1 , k 2 ,得 k 1 ? ? 1 , k 2 ? 1 . 所以直线 l 1 , l 2 的方程分别为 y ? ? x ? 2 , y ? x ? 2 . ………………4 分 (Ⅱ) (i)证明:①当 l 1 , l 2 中有一条斜率不存在时,不妨设 l 1 无斜率,
,设 l 1 因为 l 1 与椭圆只有一个公共点,所以其方程为 x 圆交于点 (

由?

? 1 ? 0

? ?

3

.当 l 1 方程为 x ) ,显然直线 l 1
2

?

3

时,此时 l 1 与

3 ,? 1 )

,所以 l

2

方程为

y ? 1

(或

y ? ?1
2

,l2

垂直; ………………5 分

同理可证 l 1 方程为 x ②当 l 1

? ?

3

时,直线 l 1

,l2

垂直.
0

? y0 ? 4 . 设经过点 A ( x 0 , y 0 ) 与椭圆只有一个公共点的直线为 y ? k ( x ? x 0 ) ? y 0
,l2
2

斜率都存在时,设点

A (x0, y0)
2

,且 x



代入

x 3

? y

2

? 1

消去

y

,得 (1 ? 3k

) x 2 ? 6k ( y0 ? kx0 ) x ?3( y0 ? kx0 ) 2 ? 3 ? 0 .
………………7 分

由?

? 0
2 0

化简整理得 (3 ? x0 ) k
2

2

2 ? 2 x0 y0 k ?1 ? y0 ? 0 , 2 2 2 ? 2 x0 y0 k ? x0 ? 3 ? 0 .…………………9 分

因为 x 设l 1

? y

2 0

? 4

,所以有 (3 ? x0 ) k

, l 2 的斜率分别为 k 1 , k 2 ,因为 l 1 , l 2 与椭圆只有一个公共点, 2 2 2 所以 k 1 , k 2 满足上述方程 (3 ? x0 ) k ? 2 x0 y0 k ? x0 ? 3 ? 0 ,所以 k 1 k 2 ? ? 1 ,即 l 1 , l 2 垂直. 综上, l 1 ? l 2 成立. …………………………10 分 (ii)方法 1:记原点到直线 l 1 , l 2 的距离分别为 d 1 , d 2 , 则△ AMN 面积
S ? 2 d 1d
2

| y ? k1x0 | | y0 ? k 2x0 | | y ? 2 0 ? ? 2 2 2 1 ? k1 1 ? k 2
2 0 2 0

2 0

? x

2 0

? (k1 ? k 2)x0y0 |
2 1

2 ? k


? k

2 2

?
因为 9

( 12

? 2 x 9 ? 2 x
2

)

2

?

9 ? 2 x

2 0

?

9 9 ? 2 x

2 0

? 6

…………………13 分 面积的取值范围为 [
2

? 2 x 0 ? [1 ,9 ]
2

,所以 S

? [ 2 3 ,4 ]
2

. 所以△

AMN
1

2

3 ,4 ]

.…15 分

方法:2:记原点到直线 l 1 满足 S

,l2
2

的距离分别为 d 1

,d

? 4d1 d
2

2 2

? 4 d 1 ( 4 ? d 1 ) ? ? 4 ( d 1 ? 2 ) ? 16
2

2 2

,因为 d

? d

2 2

? 4

,所以△

AMN 面积 S

,………………………13 分

6

且d

2 1

? [1 ,3 ]

,所以 S

2

? [ 12 , 16 ]
2

,即 S

? [ 2 3 ,4 ]


. ……………………15 分

所以△ AMN 22.(本小题满分 15 分) 解:(Ⅰ)由已知得

面积的取值范围为 [

3 ,4 ]

1 ? p2 (x ? 0 ) , x 令 f ? ? x ? ? 0 得 2 x 2 ? (3 ? p ) x ? (1 ? p 2 ) ? 0 ,则 [ x ? (1 ? p)] [2 x ? (1 ? p)] ? 0 .
f ?( x) ? 2 x ? (3 ? p) ?

……………………1 分

[来源:学科网]

…………………2 分

? p ? 1 ? 0, ? 1 ? p 因为 f ? x ? 无极值点,所以 ? 1 ? p 或p ? 1 ? ? , ……………4 分 2 ?? ? 2 ? 0 , 1 得 ?1 ? p ? 1 或 p ? .所以 p 的取值范围为 [ ? 1,1] . …………………6 分 3 (Ⅱ)因为 x ? 0 ,由(Ⅰ) f ? ( x ) ? 0 可知,函数 f ( x ) 最多只有一个极值点 x 0 ,且函数 f ( x ) x ? x 0 上单调递增. f ( x2 ) ? f ( x1 ) 由 ……………………7 分 ? 3? p ? 0得 p ? 3 . x2 ? x1 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ln x2 ? ln x1 又 ? ( x2 ? x1 ) ?(3 ? p) ? (1 ? p 2 ) ? 3? p , x2 ? x1 x2 ? x1



所以

ln x 2 ? ln x 1 1 ? p ?1 x 22 ? x 12
2

,所以

? x ? ln ? 2 ? 2 2 x1 ? x1 ? ? 2 p ? 1 ? x ?2 2 ? ? ? 1 x1 ? ?
2

2



……………………9 分

因为 x

2

? x1 ? 0
?1?
2

,所以

x x

2 1

? x ? ? 1 ,设 t ? ?? 2 ?? ? x1 ?
(x)


,g

( t ) ? t ? 1 ? ln t ? t ? 1 ?



则 g ?( t )

1 ?0 t

,则函数 g
2

? 1 , ? ? ? 上单调递增,又 g (1) ? 0 ,所以 g (t ) ? g (1) ,
……………………10 分

? x ? ? x ? 所以 ? 2 ? ? 1 ? ln ? 2 ? ? x ? ? x ? ? 1 ? ? 1 ?
? x ? ln ?? 2 ?? ? x1 ? ? 1 所以 2 ? x 2 ? ?? ? ? 1 x 1 ?? ?
得?
2



,即

2 x p
2

2 1

? 1

? 1



2( p 2 ? 1) 2( p 2 ? 1) ? x1 ? ( p ? ? 1 或1 ? p ? 3 ) .…………12 分 2 2 又因为点 A 在直线 x ? x 0 右侧,且在函数 y ? f ? x ? 图象上,所以
①当

p ? ?1

时, x

0

? ?
0

1 ? p 2

,此时 ?

1 ? p ? x1 ? 2 p ? 1 ? x1 ?
7

②当 1

? p ? 3

时, x

? p ? 1

,此时,

2( p 2 ? 1) 2 2( p 2 ? 1) 2



.………………14 分

综上,存在满足条件的点

A

,且当

p ? ? 1 时, x 1

的取值范围为 ( ?

2 ( p 2 ? 1) 1? p , ) 2 2

当1 ?

p ? 3 时, x 1

的取值范围为 (

p ? 1,

2 ( p 2 ? 1) ) 2



……………………15 分

8


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