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山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试


青岛市高三统一质量检测数学(理科)
参考公式:球的表面积为: S ? 4 ? R ,其中 R 为球的半径.
2

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位,复数 A. 2 B. ? 2
2i 1? i

的实部为

C. 1 D. ? 1

2 2. 设全集 U ? R ,集合 M ? ? x | y ? lg ( x ? 1) ? , N ? ? x | 0 ? x ? 2 ? ,则 N ? ( ?U M ) ?

A. ? x | ? 2 ? x ? 1?

B. ? x | 0 ? x ? 1?

C. ? x | ? 1 ? x ? 1?

D. ? x | x ? 1?

3. 下列函数中周期为 ? 且为偶函数的是 A. y ? sin( 2 x ?
?
2 )

B. y ? cos( 2 x ?

?
2

)

C. y ? sin( x ?

?
2

)

D. y ? cos( x ?

?
2

)

4. 设 S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和, a 1 ? 2, a 5 ? 3 a 3 ,则 S 9 ? A. 9 0 B. 5 4 C. ? 54 D. ? 7 2

5. 已知 m 、 n 为两条不同的直线, ? 、 ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A.若 l ? m , l ? n ,且 m , n ? ? ,则 l ? ? B.若平面 ? 内有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? C.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? D.若 m // n , n ? ? ,则 m ? ? 6. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是 2 的圆,则这个几何体 的表面积是 A. 1 6 ? B. 1 4 ? C. 1 2 ? D. 8 ?
正视图 左视图

7. 已知抛物线错误!未找到引用源。的焦点为 F ,准线为 l ,点为抛物线上一点,且在第 一象限,错误!未找到引用源。,垂足为 A ,则直线 A F 的倾斜角等于 A.错误!未找到引用源。
5? 6

B.

2? 3

C.错误!未找到引用源。

D.
俯视图

8. 若两个非零向量 a , b 满足 | a ? b |? | a ? b |? 2 | a | ,则向量 a ? b 与 b ? a 的夹角为 A.
?
6

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

B.

?
3

C.

2? 3

D.

5? 6

9. 已知函数 f ( x ) ? ?

? x, x ? 0 ? x ? x, x ? 0
2

,若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? m 有三个不同的零点,则实数 m 的取值范围为

-1-

A. [ ?

1 2

,1]

B. [ ?

1 2

,1)

C. ( ?

1 4

, 0)
1 x

D. ( ?

1 4

, 0]

10. 已知 f ( x ) ? | x ? 2 | ? | x ? 4 | 的最小值为 n ,则二项式 ( x ? A. 1 5 B. ? 1 5 C. 3 0 D. ? 3 0

) 展开式中 x 项的系数为
n

2

11. 已知函数 f ( x ) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x ) = f ( 4 ? x ) ,且当 x ? 2 时其导函数 f ? ( x ) 满足 xf ? ( x ) ? 2 f ? ( x ), 若2 ? a ? 4 则 A. f ( 2 ) ? f (3) ? f (lo g 2 a )
a

B. f (3) ? f (lo g 2 a ) ? f ( 2 )
a

C. f (lo g 2 a ) ? f (3) ? f ( 2 )
a

D. f (lo g 2 a ) ? f ( 2 ) ? f (3)
a

12. 定义区间 ( a , b ) , [ a , b ) , ( a , b ] , [ a , b ] 的长度均为 d ?b?a,多个区间并集的长度为各区间长度之和,例如,
( , 2 ?3 5 的长度 d ( ?? ? ? 用 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,记 { }?x? x ,其中 x ? R .设 1 ) [, ) ? 1( 2 ) 53 3 ) . x [ ] f( )?x? x , g x ?x? ,当 0 ? x ? k 时,不等式 f (x ?g x 解集区间的长度为 5 ,则 k 的值为 x [ ]{} ( ) 1 ) ( )

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9 网 ;
开始

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 某程序框图如右图所示,若 a ? 3 ,则该程序运行后,输出的 x 值为 14. 若 ? ( 2 x ?
1 a

1 x

) d x ? 3 ? ln 2 ( a ? 1) ,则 a 的值



;
2 2

? x ? y ? 4 ? 15. 已知 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值 ? y ? 0 ?

n ? 1, x ? a

n ? n ?1 n?3
否 是



;

x ? 2x ?1

16.给出以下命题:
输出 x

① 双曲线

y

2

? x ? 1 的渐近线方程为 y ? ?
2

2x ;
结束

2

② 命题 p : “ ? x ? R , s in x ?
+

1 s in x

? 2 ”是真命题;

? ③ 已知线性回归方程为 y ? 3 ? 2 x ,当变量 x 增加 2 个单位,其预报值平均增加 4 个单位;

④ 设随机变量 ? 服从正态分布 N (0 ,1) ,若,则 P ( ? 1 ? ? ? 0 ) ? 0 .6 ; ⑤ 已知
2 2?4 ? 6 6?4 ? 2, 5 5?4 ? 3 3?4 ? 2, 7 7?4 ? 1 1? 4 ? 2, 10 10 ? 4 ? ?2 ?2 ? 4 ? 2 ,依照以上各式的规律,得

到一般性的等式为

n n?4

?

8?n (8 ? n ) ? 4

? 2, n ? 4) (

则正确命题的序号为

(写出所有正确命题的序号) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
-2-

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin ? x (? ? 0 ) 在区间 [0,
?
3 ] 上单调递增,在区间 [

?
3

,

2? 3

] 上单调递减;如图,四边形 O A C B

中, a , b , c 为 △ A B C 的内角 A, B, C 的对边,且满足
4? sin B ? sin C sin A ? 3 cos A
B

C

? cos B ? cos C

.

(Ⅰ)证明: b ? c ? 2 a ; (Ⅱ)若 b ? c ,设 ? AOB ? ? , (0 ? ? ? ? ) , O A ? 2 O B ? 2 ,

?

求四边形 O A C B 面积的最大值.

O

A

18.(本小题满分 12 分) 现有长分别为 1m 、2 m 、3m 的钢管各 3 根 (每根钢管质地均匀、 粗细相同且附有不同的编号) 从中随机抽取 n 根 , (假 设各钢管被抽取的可能性是均等的, 1 ? n ? 9 ) ,再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根. (Ⅰ)当 n ? 3 时,记事件 A ? {抽取的 3 根钢管中恰有 2 根长度相等},求 P ( A ) ; (Ⅱ)当 n ? 2 时,若用 ? 表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计),①求 ? 的分布列; ②令? ? ? ? 2 ? ? ? ? 1 , E (? ) ? 1 ,求实数 ? 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 如图,几何体 A B C D ? B1C 1 D 1 中,四边形 A B C D 为菱形, ? B A D ? 6 0 , A B ? a ,
?

-3-

面 B1C 1 D 1 ∥面 A B C D , B B 1 、 C C 1 、 D D 1 都垂直于面 A B C D ,且 B B1 ?
E 为 C C 1 的中点, F 为 A B 的中点.

2a ,
D1 B1
E

C1

(Ⅰ)求证: ? D B1 E 为等腰直角三角形; (Ⅱ)求二面角 B1 ? D E ? F 的余弦值.

D
C
A

F

B

20. (本小题满分 12 分)
? 已知 n ? N ,数列 ?d n ? 满足 d n ?

3 ? ( ? 1) 2

n

,数列 ?a n ? 满足 a n ? d 1 ? d 2 ? d 3 ? ? ? ? ? d 2 n ;又知数列 ?b n ? 中, b 1 ? 2 ,且

对任意正整数 m , n , b n ? b m .
m n

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 和数列 ?b n ? 的通项公式; (Ⅱ)将数列 ?b n ? 中的第 a 1 项,第 a 2 项,第 a 3 项,……,第 a n 项,……删去后,剩余的项按从小到大的顺序排成新 . . . . 数列 ?c n ? ,求数列 ?c n ? 的前 2013 项和.

21. (本小题满分 13 分)
x 已知向量 m ? ( e , ln x ? k ) , n ? (1, f ( x )) , m / / n ( k 为常数, e 是自然对数的底数) ,曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1))

??

?

??

?

x 处的切线与 y 轴垂直, F ( x ) ? xe f ? ( x ) .

(Ⅰ)求 k 的值及 F ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)已知函数 ( a 为正实数),若对于任意 x 2 ? [0 ,1] ,总存在 x1 ? (0 , ? ? ) , 使得 g ( x 2 ) ? F ( x1 ) ,求实数 a 的取值范 围.

-4-

22. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :
A.

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的焦距为 2 3 ,离心率为

2 2

,其右焦点为 F ,过点 B ( 0 , b ) 作直线交椭圆于另一点

(Ⅰ)若 A B ? B F ? ? 6 ,求 ? A B F 外接圆的方程; (Ⅱ)若过点 M ( 2 , 0 ) 的直线与椭圆 N :
x a
???? ???? 2 5 3
2 2

??? ??? ? ?

?

y b

2 2

?

1 3

H 设 相交于两点 G 、 , P 为 N 上一点, 且满足 O G ? O H ? t O P( O

????

????

??? ?

为坐标原点) ,当 P G ? P H ?

时,求实数 t 的取值范围.

CBACD 13. 3 1 14. 2

ABBCA 15. 2 5

CB 16.①③⑤
2? ? 4? 3

17. (本小题满分 12 分)解: (Ⅰ)由题意知:
sin B ? sin C sin A 2 - cos B - cos C cos A

?

,解得: ? ?

3 2



……………………………2 分

?

?

? sin B cos A ? sin C cos A ? 2 sin A - cos B sin A - cos C sin A ? sin B cos A ? cos B sin A ? sin C cos A ? cos C sin A ? 2 sin A

? sin ( A ? B ) ? sin ( A ? C ) ? 2 sin A …? sin C ? sin B ? 2 sin A ?? b ? c ? 2 a …………

(Ⅱ)因为 b ? c ? 2 a, b ? c ,所以 a ? b ? c ,所以 △ A B C 为等边三角形
S OACB ? S ?OAB ? S ?ABC ? 1 2 O A ? O B sin ? ? 3 4
2

AB

……………………………8 分

……………………………………………9 分
-5-

? sin ? -

3 cos ? ?

5 3 4

? 2 sin ( ? -

?
3

)?

5 3 4



………………………………………10 分

? ? ? (0 , ? ) ,? ? -

?
3

?( -

?

5 3 2? ? ? 5? , ) , 当且仅当 ? ? , ? ? 即 时取最大值, S OACB 的最大值为 2 ? 4 6 3 3 3 2

18. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)事件 A 为随机事件, P ( A ) ?
C 3C 3 C 6 C9
3 1 2 1

?

9 14

………………………………………4 分

( Ⅱ ) ① ? 可 能 的 取 值 为 2, 3, 4, 5, 6 P ( ? ? 2 ) ?

C3 C9

2 2

?

1 12

P ( ? ? 3) ?

C 3C 3 C9
2

1

1

?

1 4

P (? ? 4 ) ?

C 3 ? C 3C 3
2 1

1

C9

2

?

1 3

P (? ? 5 ) ?

C 3C 3 C9
2

1

1

?

1 4

P ( ? ? 6 )?

C3 C9

2 2

?

1 12

∴ ? 的分布列为:

?
P

2
1 12

3
1 4

4
1 3

5
1 4

6
1 12

② E (? ) ? 2 ?
2

1 12

? 3?

1 4

? 4?

1 3

? 5?
2

1 4

? 6?

1 12

? 4
2

………………………………10 分

? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ,? E (? ) ? ? ? E ( ? ) ? ? ? 1 ? ? 4 ? ? ? ? 1
? E (? ) ? 1 ,? ? 4 ? ? ? ? 1 ? 1 ? 0 ? ? ?
2

1 4

…………………………………………12 分

19. (本小题满分 12 分) 解: (I)连接 B D ,交 A C 于 O ,因为四边形 A B C D 为菱形, ? B A D ? 6 0 ,所以 B D ? a
?

C 因为 B B 1 、 C 1 都垂直于面 A B C D ,? B B1 // C C 1 , 又面 B1C 1 D 1 ∥面 A B C D ,

所以四边形 B C C 1 B 1 为平行四边形 ,则 B1C 1 ? B C ? a 因为 B B 1 、 C C 1 、 D D 1 都垂直于面 A B C D ,则
D B1 ? D B ? B B1 ?
2 2

z
D1

C1 B1
E

a ? 2a
2

2

?

3a
H

DE ?

DC

2

? CE

2

?

a ?
2

a

2

?

6a 2

D
C

2 a
2

O

B1 E ?

B1C 1 ? C 1 E
2

2

?

a ?
2

?

6a 2

…4 分

x

A

F

B

y

2
2 2

所以 D E ? B1 E ?
2 2

6a ? 6a 4

? 3 a ? D B 1 所以 ? D B1 E 为等腰直角三角形
2 2

-6-

(II)取 D B 1 的中点 H ,因为 O , H 分别为 D B , D B 1 的中点,所以 O H ∥ B B 1 以 O A , O B , O H 分别为 x , y , z 轴建立坐标系,
a 2 ???? ? 3 2 ???? 2 2 a 2 2 2 3 4 ???? a ), D F ? ( 3 4 a 4 3 4

则 D (0 , ?

, 0 ), E ( ?

a , 0,

a ), B 1 (0 ,

,

2 a ), F (

a,

, 0)

所以 D B1 ? (0 , a , 2 a ), D E ? ( ?
??

3 2

a,

a 2

,

a,

a , 0 ) ………………7 分

设面 D B1 E 的法向量为 n1 ? ( x1 , y 1 , z 1 ) , 则 n1 ? D B1 ? 0, n1 ? D E ? 0 ,即 a y1 ?
?? ?? ???? ? ?? ???? 2 a z1 ? 0 且 ?
3 2 a x1 ? a 2 y1 ? 2 2 a z1 ? 0

令 z 1 ? 1 ,则 n1 ? (0 , ? 2 ,1) 设面 D F E 的法向量为 n 2 ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) , 则 n 2 ? D F ? 0, n 2 ? D E ? 0 即 令 x 2 ? 1 ,则 n 2 ? (1, ?
6 ?? ?? ? 则 co s n1 , n 2 ? 3 3? 1?
?? ?

?? ?

?? ???? ?

?? ???? ?

3 4

ax2 ?

3 4

ay2 ? 0 且 ?

3 2

ax2 ?

a 2

y2 ?

2 2

az2 ? 0

3 2 6 , ) 3 3

……………………………………………………11 分

?

2 6 3 1 3 ? 8 3 ? 2 2

,则二面角 B1 ? D E ? F 的余弦值为

2 2

…12 分

20. (本小题满分 12 分) 解:? d n ?
3 ? ( ? 1) 2
n

,? a n ? d 1 ? d 2 ? d 3 ? ? ? ? ? d 2 n ?
2 2 3 3

3 ? 2n 2
n

? 3 n …………………3 分
n

又由题知:令 m ? 1 ,则 b 2 ? b1 ? 2 , b3 ? b1 ? 2 ? b n ? b1 ? 2 若 b n ? 2 ,则 b n ? 2
n m n nm

………………5 分

, bm ? 2
n n

mn

,所以 b n ? b m 恒成立
m n n

若 b n ? 2 ,当 m ? 1 , b n ? b m 不成立,所以 b n ? 2
m

……………………………………6 分

(Ⅱ)由题知将数列 ?b n ? 中的第 3 项、第 6 项、第 9 项……删去后构成的新数列 ?c n ? 中的奇数列与偶数列仍成等比数 列,首项分别是 b1 ? 2 , b 2 ? 4 公比均是 8 , …………9 分

T 2 0 1 3 ? ( c1 ? c 3 ? c 5 ? ? ? ? ? c 2 0 1 3 ) ? ( c 2 ? c 4 ? c 6 ? ? ? ? ? c 2 0 1 2 )
? 2 ? (1 ? 8 1? 8
1007

)

?

4 ? (1 ? 8 1?8

1006

)

?

20 ? 8

1006

?6

…………………………………………12 分
1 x ? f ?( x ) ? e ? ln x ? k
x

7

21. (本小题满分 13 分)解: (I)由已知可得: f ( x ) = 由已知,
f ? (1) ? 1? k e ? 0

1n x ? k e
x



,∴ k

?1

…………………………………………………………2 分

-7-

x ? F ( x ) ? xe f ? ( x ) ? x (

1 x

? ln x ? 1) ? 1 ? x ln x ? x 所以 F ? ( x ) ? ? ln x ? 2 …………3 分 1 e
2

由 F ? ( x ) ? ? ln x ? 2 ? 0 ? 0 ? x ?
? F ( x ) 的增区间为 (0 ,

,由 F ? ( x ) ? ? ln x ? 2 ? 0 ? x ?
1 e
2

1 e
2

1 e
2

] ,减区间为 [

, ?? )

………………………………………5 分

(II)? 对于任意 x 2 ? [0 ,1] ,总存在 x1 ? (0 , ? ? ) , 使得 g ( x 2 ) ? F ( x1 ) ,? g ( x ) m ax ? F ( x ) m ax 由(I)知,当 x
2

?

1 e
2

时, F ( x ) 取得最大值 F (

1 e
2

) ?1?

1 e
2

.………………………………8 分

对于 g ( x ) ? ? x ? 2 a x ,其对称轴为 x ? a 当 0 ? a ? 1 时, g ( x ) m ax ? g ( a ) ? a , ? a ? 1 ?
2
2

1 e
2

,从而 0 ? a ? 1 ………………10 分
1 e
2

当 a ? 1 时, g ( x ) m ax ? g (1) ? 2 a ? 1 , ? 2 a ? 1 ? 1 ? 综上可知: 0 ? a ? 1 ?
1 2e
2

,从而 1 ? a ? 1 ?

1 2e
2

……12 分

………………………………………………………………13 分
c a 2 2

22. (本小题满分 13 分)解:(Ⅰ)由题意知: c ?
x
2

3 ,e ?
y
2

?

,又 a ? b ? c ,
2 2 2

解得: a ?

6,b ?

3 ? 椭圆 C 的方程为:

?

?1

…………………………2 分
??? ?

6

3

可得: B (0, 3 ) , F ( 3 , 0 ) ,设 A ( x 0 , y 0 ) ,则 A B ? ( ? x 0 , 3 ? y 0 ) , B F ? ( 3 , ? 3 ) ,
??? ??? ? ? ? A B ? B F ? ? 6 ,? ? 3 x 0 ?
3 ( 3 ? y 0 ) ? ? 6 ,即 y 0 ? x 0 ? 3

??? ?

? 4 3 2 2 ? x0 y0 ? x0 ? ? x0 ? 0 ? ?1 4 3 3 ? ? ? 3 , ) ? ? 3 由? 6 ,或 ? 即 A (0, ? 3 ) ,或 A ( 3 3 ? y0 ? ? 3 3 ?y ? x ? 3 ? ? y ? 0 ? 0 ? 0 3 ?

①当 A 的 坐标为 (0 , ? 3 ) 时, O A ? O B ? O F ? 3 , ? ? A B F 外接圆是 以 O 为圆心, 3 为半径的圆 ,即
x ? y ? 3 ……………………………………………………………5 分
2 2

②当 A 的坐标为 (

4 3 3

,

3 3

) 时, k A F ? 1 , k B F ? ? 1 ,所以 ? A B F 为直角三角形,其外接圆是以线段 A B 为直径的圆, 15 3 2 3 3 ) ? (y ?
2

圆心坐标为 (

2 3 2 3 1 , ) ,半径为 A B ? 3 3 2

,? ? A B F 外接圆的方程为 ( x ?
2 3 3 5 3

2 3 3

) ? (y ?
2

2 3 3

) ?
2

5 3

2 2 综上可知: ? A B F 外接圆方程是 x ? y ? 3 ,或 ( x ?

) ?
2

……7 分

(Ⅱ)由题意可知直线 G H 的斜率存在.
? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 设 G H : y ? k ( x ? 2 ) , G ( x1 , y 1 ) , H ( x 2 , y 2 ) , P ( x , y ) 由 ? x 2 得: (1 ? 2 k ) x ? 8 k x ? 8 k ? 2 ? 0 2 ? y ?1 ? ? 2

-8-

4 2 2 由 ? ? 6 4 k ? 4 ( 2 k ? 1)(8 k ? 2 ) ? 0 得: k ?
2

1 2

(? )

x1 ? x 2 ?

8k

2 2

1 ? 2k

, x1 x 2 ?

8k ? 2
2

1 ? 2k

2

???? ???? ???? 2 5 2 5 2 5 2 ? PG ? PH ? ,? H G ? 即 1 ? k x1 ? x 2 ? 3 3 3

,结合( ? )得: ………………………………………………11 分 4 ???? ???? ??? ? ? O G ? O H ? t O P ,? ( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) ? t ( x , y )
?k
2

?

1

从而 x ?

x1 ? x 2 t

?

8k

2 2

t (1 ? 2 k )
8k
2

,y ?

y1 ? y 2 t

?

1 t

[ k ( x1 ? x 2 ) ? 4 k ] ?

?4k t (1 ? 2 k )
2
2

? 点 P 在椭圆上,? [

t (1 ? 2 k )
2

] ? 2[
2

?4k t (1 ? 2 k )
2

] ? 2 ,整理得: 1 6 k
2

? t (1 ? 2 k )
2 2

即t ? 8 ?
2

8 1 ? 2k
2

,? ? 2 ? t ? ?

2 6 3

,或

2 6 3

? t ? 2 ………………………………13 分

-9-


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