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对两道赛题的探究


2 0 1 4年第 6期 

9  

对 两道 赛 题 的 探 究  
杨 学 枝 
( 福建省福州市第二十 四中学 , 3 5 0 0 1 5 )  
中 图分 类 号 : O 1 2 2 . 3   文献标识码 : A   文章 编 号 :1 0 0 5—6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) 0 6-

0 0 0 9—0 1  

原式.  

( 口 3 + 古 一   ) ( 6   +   一   ) ( c 3 +   a 一 ? )  
≤ ab c+ 1


易知 , 当且仅 当 a = b = C 时, 原式 等号成立.   题2   已知 a、 b 、 C ≥1 , 且 a+b+c :9 . 证 明:  
+   +   ≥ 

1 )   . …  

当且仅当 口= b = c = 3时取等号. … 
( 第 三 届 陈 省 身杯 全 国商 中数 学 奥林 匹 克 )  

( 第 三届 陈省身杯全 国高中数学奥林匹克 )   文[ 1 ] 给 出 了该 题 的解 答. 本 文给 出另 一种 
证法 .  

本文给出另一种证明, 并将原题条件“ a 、 b 、 C ≥1 ”  

证 明  由于原不等式左边任意两个乘积式 的  和为正 , 故三个乘积式 中至多一个 非正.   因此 , 不妨设三个乘积式均为正.   注意到 ,  

放 宽  。 、 6 、 c ≥ 言 ” ?  
证明 不妨设c 最小. 则寺≤ o  c ≤ 3 .  
于是 , 原式等价于 
(   +   +  )  ≥6 c+c a+口 6  

∑  古 一  +   一   ) + Ⅱ ( 。 3 + 古 一 ? )  


( 。 6 c )  +   1   +2  
3   +   一?   十   一?  

甘2 (   +   + 河 ) 一 a b + ( C   一 9 c + 9 ) > I 0 . ① 

由 于 口 、 6 、 c ≥ 吉 , 口 十 6 + c = 9 , ÷ ≤ c ≤ 3 , 则  
a+b≥ 6 .  



其中, “ ∑” 、 “ Ⅱ” 分别表示轮换对称和、 轮换对  
称积.  

故 

一  

[ Ⅱ ( n 3 十 古 一 ?  + Ⅱ  古 一   )   ≤ ∑  古 一   +   一 ? ) +  
Ⅱ ( 。   +   1 — 1 )  
:3   +   一,   +  1


≥ 



 

。 

【  
2 (  


l ≥ 0  
+   )一a b   一a b  

+  

?  

① 

2  (   +   )+  

a O c   L 【 Ⅱ 一 一 ( 、   口 3 + 古 D  J 一   )   3 = 移 .  
_
一  



≥ 2   ? 厕
2   ? 丽
( c   一9 c+ 9 ) >0 i  

+ ( 。 + 6 ) 一 (  r  
 + 6 ) 一 (  )   +  

: “ ,

于是 , 要证式①成立 , 只要证 

则式①可写为 3 v +   ≤3  + / , 。 , 即  
( 3 v +  ) 一( 3 u +  )   (  一  ) ( 3 +   2 + t J  + “ 2 ) ≤ 0 .  


I l   时. F h   3+I ) 2 +t J “+U 2 >0 . 知  一   ≤O. 即得 
收稿 日期 : 2 0 1 4—0 4—2 1  

铮 2   ? 厕

+ ( 9 _ c ) 一 ( 学 

1 0  

中 等 数 学 

利用 t t V W 变 换 证 明一类 不 等j j c 闻题  
张 艳 宗  檀 奇 斌 
( 浙江省嘉兴市元济高级 中学 , 3 1 4 3 0 0)  
中图分类号 : O 1 2 2 . 3   文献标识码 : A   文章编号 :1 0 0 5—6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) 0 6— 0 0 1 0— 0 2  

在不等式 问题 中, 经常遇 到三元对 称型不等  式或轮换 型不 等式. 这类不等式形式优美 , 结构对  称, 可尝试使用 t t t ' , W变换解证 , 即令 
a+b+c=3 u, a b+6 c+c a=3 v  , a b c=W   ,  

9 v    ̄9 > u w  

≥ 

.  

将不等式转化 为含  W的不等 式 问题解 决. 在  解题过程 中 , 通过 U Y W变换可简化问题 , 同时建立  了U   t l J 三者之 间的关系 , 为解题增加条件 , 也为  解决问题带来便利.   在l t l r W变换 中 ,   W之间存 在以下关系 :   性质 1  若 a , b 、 c ≥0 , 则 ≥   ≥  ≥O .   性质 l 的证 明 : 由于 a 、 b 、 c ≥O , 令 
a+b+C=3 u, a b+6 c+c a=3 v   , a b c=W   .  

性质 4 若 a 、 b 、 c ≥0 , 则W    ̄4 > u v 。 一 3 u   .   性质 4的证 明: 由舒尔不等式得  口 ( a一 6 ) ( a— c ) + b ( b — a ) ( b — c ) - I -   c ( c —a ) ( c —b ) 10 >   =  ( 口 + b + c )  - 4 ( 0 + b + C ) (   6 + b c + c a ) + 9 a b c 10 >  
=  2 7  3—3 6 u v  +9   > 10  
j  w    ̄4 > u v  一3 u   .  

则 、   、 W> t 0 .   又( a+b+c )  ≥3 ( 口 6+6 c+ c a )  
9 u   ≥9   ≥ 

下面 以一些不 等式 问题 为 实例 , 阐述 U U W变  换以及  W关 系性质应用 的方法及策略.   例 1 设0 ≤  、 Y 、 z ≤1 . 证明:   x y z +( 1 一  ) ( 1 一 Y ) ( 1 一   ) ≤1 .   ( 2 0 1 0 , 斯洛文尼亚数学奥林 匹克 )   证明  令 + Y + z = 3 u ,  
x y+   +   =3 v   , x y z=W   .  

由均值不等式得 
口 b+6 c+c 口> 13   3 v   ≥3   = = >   ≥  .  

性质 2 若 口 、 b 、 c ≥0 , 则 删  ≥  。 .   性质 2的证 明: 由均值 不等式得 
( a + b   4 - c ) ( 0 6 + 6 c   4 - c a )  

由0 ≤   、 Y 、   ≤1 , 知0 ≤  ≤1 .   故0 ≤W≤  ≤1 1 , ≤1 .   又( 1 一  ) ( 1 一 y ) ( 1 一   )   = 1 一(  + Y +   ) +(   +  + Z X )一 x y z  


1—3 u+3 v  一W。

. 

则原不等式即化为 
+1—3   +3   一   ≤1 .  

≥( 3   ) [ 3  ( a b c )  ] = 9 a b c .   从而, 9 u v 。 ≥9   j 聊  ≥  .   性质 3 若 a , b 、 c ≥O , 则  ≥l l , W   .   性质 3的证 明: 由  
( 口 6+6 c +c a )  >  ̄3 a b c ( a+b+c )  
收稿 日期 : 2 0 1 3—1 1— 0 5  

只要证 t J   ≤  .  

结合性质 1 得 1 ≥   ≥   ≥O . 则  ≤   ≤u .   原不等式得证.  

【 评注 】 此题有很多证法. 通过 z n   变换 , 将  原本较复杂 的不等式转化为结构简单 的不等式 问 
题, 思路顿现 , 证法简洁明了 、 自然流畅.  

§ 8   ?  

=   ≥ 一3 c  +2 2 c+9 >0  

② 

≤0.  

( 注意到 1 ≤c ≤3 ) .   事实上 , 由于 
6 4 c ? 2 ( 9一c )一( 一 3 c  +2 2 c + 9 )  
= 一

因此 , 式②成立.  
从而, 原式得证.   由以上证 明易知 , 当且 仅当 a =b = c = 3时取 

( 9 c  一1 3 2 c  + 5 5 8 c   一 7 5 6 c +8 1 )  

等号.  
参考 文献 :  





3( c 一 3 )   ( 3 c   一 2 6 c + 3 )  

( c - 3 )   ( c 一  

)  

[ 1 ] 第三届陈省身杯 全 国高中数学 奥林 匹克 [ J ] . 中等数 
学, 2 0 1 2 ( 1 O ) .  


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