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2012-2013学年第二学期期末考试高二数学试卷(文科)

时间:2013-12-27


四川省资阳市 2012-2013 学年第二学期期末考试 高二数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目的要求的. 1. 分)复数 z=1﹣2i 的虚部和模分别是( (5 ) A.﹣2, B.﹣2i,5 C.﹣2,5 D.﹣2i, 考点: 复数的基本概念;复数求模. 专题: 计算题.

分析: 由条件利用复数的虚部和复数的模的定义求得此复数的虚部和模. 解答: 解:∵复数 z=1﹣2i,故它的虚部为﹣2,它的模等于
.

=



故选 A. 点评: 本题主要考查复数的基本概念,属于基础题. 2. 分)命题“?x0∈R,使得 x ﹣x>0”的否定是( (5 ) 2 2 A.?x∈R,x ﹣x>0 B. ?x∈R,x ﹣x≤0 2 2 C. ?x0?R,使得 x ﹣x<0 D.?x0?R,使得 x ﹣x≤0 考点: 特称命题;命题的否定. 专题: 规律型. 2 2 分析: 根据命题“?x0∈R, 使得 x ﹣x>0”是特称命题, 其否定为全称命题, 即?x∈R, ﹣x≤0, x 从而得到答案. 2 解答: 解:∵命题“?x0∈R,使得 x ﹣x>0”是特称命题.
.

2

∴否定命题为:?x∈R,x ﹣x≤0. 故选 B. 点评: 这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词,或者对于“>”的否定用“<” 了.这里就有注意量词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”.特 称命题的否定是全称命题,“存在”对应“任意”. 3. 分)“因为对数函数 y=logax 是增函数(大前提) (5 ,而 y= 所以 y= 是增函数(结论) .”上面推理的错误是( ) 是对数函数(小前提) ,

2

A.大前提错导致结论错 C. 推理形式错导致结论错

B. 小前提错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错

考点: 进行简单的演绎推理. 专题: 规律型. 分析: a>1 时,对数函数 y=logax 是增函数,当 0<a<1 时,对数函数 y=logax 是减函数, 当 故可得结论. 解答: 解:当 a>1 时,对数函数 y=logax 是增函数,当 0<a<1 时,对数函数 y=logax 是减
.

函数, 故推理的大前提是错误的 故选 A. 点评: 本题考查演绎推理,考查三段论,属于基础题. 4. 分)已知条件 p:a≤1,条件 q:|a|≤1,则 p 是 q 的( (5 ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先通过解不等式化简条件 p,判断出两个条件对应的数集间的包含关系,据小范围成 立大范围内一定成立,利用充要条件的有关定义得出结论. 解答: 解:因为条件 q:|a|≤1,即为﹣1≤a≤1; 因为{a|﹣1≤a≤1}?{a|a≤1}; 所以 p 推不出 q,反之 q 能推出 p; 所以 p 是 q 的必要不充分条件; 故选 B. 点评: 本题考查判断一个条件是另一个条件的什么条件,一个先化简各个条件,条件是数集 的常转化为集合间的关系的判断.
.

5. 分)函数 f(x)的定义域为(a,b) (5 ,导函数 f'(x)在(a,b)内的图象如图所示, 则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极值点( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

考点: 函数在某点取得极值的条件. 专题: 导数的综合应用. 分析: 根据当 f'(x)>0 时函数 f(x)单调递增,f'(x)<0 时 f(x)单调递减,可从 f′ (x)的图象可知 f(x)在(a,b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减,然后 得到答案. 解答: 解:从 f′(x)的图象可知 f(x)在(a,b)内从左到右的单调性依次为增→减→增 →减, 根据极值点的定义可知,导函数在某点处值为 0,左右两侧异号的点为极值点, 由图可知,在(a,b)内只有 3 个极值点. 故答案为 C. 点评: 本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系.属基础题.
.

6. 分)在下面的图示中,结构图是( (5



考点: 结构图. 专题: 图表型. 分析: 本题考查的知识点是流程图、结构图、维恩图和直方图的定义,由结构图和流程图的 定义:流程图指的是一个动态过程,应有先后顺序,而结构图描述的是静态的系统结 构.逐一分析四个答案,即可得到答案. 解答: 解:流程图指的是一个动态过程,应有先后顺序,A 是流程图, 而结构图描述的是静态的系统结构,所以只有 B 是结构图, C 是一个直方图, D 是一个文恩图, 故选 B. 点评: 流程图指的是一个动态过程,应有先后顺序,而结构图描述的是静态的系统结构,这 两个图形要区分开.
.

7. 分)如图,椭圆中心在坐标原点,点 F 为左焦点,点 B 为短轴的上顶点,点 A 为长 (5 轴的右顶点.当 时,椭圆被称为“黄金椭圆”,则“黄金椭圆”的离心率 e 等于( )

A.

B.

C.

D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 2 2 2 分析: 由题意可得,FA =FB +BA ,把该式转化为关于 a,b,c 的方程,然后利用 a =b +c 2 消掉 b,两边再同除以 a 可得 e 的二次方程,解出即可. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 解答: 解:由题意可得,FA =FB +BA ,即(a+c) =a +a +b ,即(a+c) =2a +a ﹣c ,
.

整理得,a =c +ac,两边同除以 a ,得 1=e +e,解得 e= 故选 A. 点评: 本题考查椭圆的简单性质、基本量的求解,属基础题.

2

2

2

2



8. 分)商家生产一种产品,需要先进行市场调研,计划对天津、成都、深圳三地进行市 (5 场调研,待调研结束后决定生产的产品数量,下列四种方案中最可取的是( )

考点: 工序流程图(即统筹图) . 专题: 图表型. 分析: 四种方案中最可取的是,分别派出调研人员齐头并进赴三地搞调研,以便提早结束调 研,尽早投产,由此可得结论. 解答: 解:方案 A.立顶→派出调研人员先后赴深圳、天津、成都调研,待调研人员回来后 决定生产数量. 方案 B.立顶→派出调研人员先齐头并进赴深圳、天津调研,结束再赴成都调研,待 调研人员回来后决定生产数量. 方案 C.立顶→派出调研人员先赴成都调研,结束后再齐头并进赴深圳、天津调研, 待调研人员回来后决定生产数量. 方案 D.分别派出调研人员齐头并进赴三地搞调研,以便提早结束调研,尽早投产. 通过四种方案的比较,方案 D 更为可取. 故选 D. 点评: 本题考查结构图,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.
.

9. 分)如图,圆 O 的半径为定长 r,A 是圆 O 外一定点,P 是圆上任意一点.线段 AP (5 的垂直平分线 l 和直线 OP 相交于点 Q,当点 P 在圆上运动时,点 Q 的轨迹是( )

A.椭圆

B.圆

C.双曲线

D.直线

考点: 圆锥曲线的轨迹问题. 专题: 计算题. 分析: 结合双曲线的定义及圆与直线的相关性质,推导新的结论,熟练掌握双曲线的定义及 圆与直线的性质是解决问题的关键. 解答: 解:∵A 为⊙O 外一定点,P 为⊙O 上一动点
.

线段 AP 的垂直平分线交直线 OP 于点 Q, 则 QA=QP,则 QA﹣Q0=QP﹣QO=OP=R 即动点 Q 到两定点 O、A 的距离差为定值, 根据双曲线的定义,可得点 P 的轨迹是:以 O,A 为焦点,OP 为实轴长的双曲线 故选 C. 点评: 双曲线是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹, 也可以定义为 到定点与定直线的距离之比是一个大于 1 的常数的点之轨迹. 10. 分)设函数 y=f(x) (5 (x∈R)的导函数为 f′(x) ,且 f′(x)<f(x) ,则下列成立 的是( ) ﹣2 ﹣2 ﹣2 A.e f 2) (﹣1) ef(﹣1)<f(0) C.ef ﹣1) B. ( <ef ( <e f 2) e f(2)<f(0) ( D. ﹣2 <f(0) <f(0) <ef(﹣1) <e f(2) 考点: 函数的单调性与导数的关系. 专题: 导数的综合应用. 分析: 由 f′(x)<f(x) ,得 f′(x)﹣f(x)<0,然后构造函数
.

,利

用导数研究函数

的单调性,得出选项.

解答: 解:因为 f′(x)<f(x) ,所以得 f′(x)﹣f(x)<0. 构造函数 ,则

, 因为 f′(x)﹣f(x)<0,e >0, 所以 F' (x) <0, 即函数在定义域上单调递减, 所以 即 e f(2)<f(0)<ef(﹣1) . 故选 D. 点评: 本题考查导数与函数单调性的关系.构造函数 键. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案直接填在题中横线上. 11. 分)计算 (5 = 1 .
﹣2

x



是解决这类题目的关

考点: 复数代数形式的乘除运算.

.

专题: 计算题. 分析: 利用两个复数代数形式的乘除法法则和虚数单位 i 的幂运算性质,花简求得结果. 解答: 解: = = = 1,

故答案为 1. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,虚数单位 i 的幂运算性质,属 于基础题.

12. 分)抛物线 (5

的焦点坐标为



考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 2 先把抛物线的方程化为标准形式, 再利用抛物线 x =﹣2p y 的焦点坐标为 (0, ﹣ ) ,
.

求出物线 解答: 解:∵在抛物线 ∴p=3, = ,

的焦点坐标. ,即 x =﹣6y,
2

∴焦点坐标是 (0,﹣ ) , 故答案为: .

2 点评: 本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用, 抛物线 x =﹣2p y 的焦点坐标为 (0,

﹣ ) .

13. 分)把 x=﹣1 输入如图所示的流程图可得输出 y 的值是 (5

1 .

考点: 选择结构. 专题: 图表型.

.

分析: 根据已知的程序框图,框图的作用是计算分段函数的值 y= ,将 x=﹣1

代入,判断出不满足判断框中的条件,故执行“否”分支上的解析式,代入求解可得答 案. 解答: 解:∵框图的作用是计算分段函数的值 y= ,

∴当 x=﹣1 时,不满足条件 x<0, 故 y=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查的知识点是程序框图,其中根据已知中输入的数据,结合框图选择程序执行 的函数解析式是解答的关键.

14. 分)三角形的面积为 (5

,其中 a,b,c 为三角形的边长,r 为三角

形内切圆的半径,设 S1、S2、S3、S4 分别为四面体四个面的面积,r 为四面体内切球的半径, 利用类比推理可以得到四面体的体积为 .

考点: 类比推理. 专题: 规律型. 分析: 根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线 类比 直线或平面,由 内切圆类比内切球,由平面图形面积类比立体图形的体积,结合求三角形的面积的方 法类比求四面体的体积即可. 解答: 解:设四面体的内切球的球心为 O, 则球心 O 到四个面的距离都是 R, 所以四面体的体积等于以 O 为顶点, 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和.
.

利用类比推理可以得到四面体的体积为 故答案为: .



点评: 类比推理是指依据两类数学对象的相似性, 将已知的一类数学对象的性质类比迁移到

另一类数学对象上去.一般步骤:①找出两类事物之间的相似性或者一致性.②用一 类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想) . 15. 分)抛物线 y =4x 上的点 P 到抛物线的准线距离为 d1,到直线 3x﹣4y+9=0 的距离为 (5 d2,则 d1+d2 的最小值是 .
2

考点: 抛物线的简单性质;点到直线的距离公式. 分析: 设点 P 坐标为(x,y) ,由抛物线性质可知 d1=1+x.又根据点到直线的距离公式可得
.

d2=

,进而可得到 d1+d2 表达式,再根据 x 的范围确定 d1+d2 的范围,

求得最小值. 2 解答: y =4x p=2 准线为 x=﹣1; 解: 设点 P 坐标为 (x, , y) 到抛物线准线的距离是 d1=1+x. d2= ∴d1+d2=



=t,上式得:

=

但 t= ,即 x= 时,d1+d2 有最小值 故答案为: 点评: 本题主要考查了抛物线的性质及抛物线与直线的关系.要注意利用好抛物线的定义. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤. 16. (12 分)写出命题“若 a>b,则 a﹣2>b﹣2”的否命题、逆命题、逆否命题、命题的否定, 并判断真假. 考点: 四种命题的真假关系. 专题: 规律型. 分析: 根据逆命题是条件、结论互换;否命题是否定条件的同时,否定结论;逆否命题是否 命题的逆命题或逆命题的否命题求解;注意命题与其逆否命题同真、同假. 解答: 解:否命题:若 a≤b,则 a﹣2≤b﹣2,真命题; 分) (3 逆命题:若 a﹣2>b﹣2,则 a>b,真命题; 分) (6 逆否命题:若 a﹣2≤b﹣2,则 a≤b,真命题; 分) (9 命题的否定:若 a>b,则 a﹣2≤b﹣2,假命题. (12 分) 点评: 本题考查四种命题之间的关系,命题与逆否命题同真、同假.
.

17. (12 分)经过双曲线

的左焦点 F1 作倾斜角为

的直线 AB,分别交双曲线

的左、右支为点 A、B. (Ⅰ)求弦长|AB|; (Ⅱ)设 F2 为双曲线的右焦点,求|BF1|+|AF2|﹣(|AF1|+|BF2|)的长. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)求出双曲线的焦点坐标,求出直线的斜率,利用点斜式求出直线方程;将直线 的方程代入双曲线的方程,利用两点的距离公式求出|AB|. (Ⅱ)利用双曲线的定义,即可求|BF1|+|AF2|﹣(|AF1|+|BF2|)的长. 解答: 解析: (Ⅰ)∵双曲线的左焦点为 F1(﹣2,0) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,
.

直线 AB 的方程可设为 分) ∴ ,

, 代入方程

得, ﹣4x﹣13=0, 8x (4

2



(8 分)

(Ⅱ)∵F2 为双曲线的右焦点,且双曲线的半实轴长 a=1 ∴|AF1|+|BF2|﹣(|BF1|+|AF2|)=(|AF1|﹣|AF2|)+(|BF2|﹣|BF1|)=4a=4(12 分)

点评: 本题考查直线与双曲线的位置关系,考查双曲线的定义,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题.解决直线与圆锥曲线的弦长问题常将直线的方程与圆锥曲线方程联 立,利用弦长公式. 18. (12 分)在△ ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A,B,C 成等差 数列,a,b,c 成等比数列,求证△ ABC 为等边三角形. 考点: 三角形的形状判断;等差数列的性质;等比数列的性质. 专题: 证明题. 分析: 先根据 A,B,C 成等差数列和三角形内角和气的 B 的值,进而根据等比中项的性质 2 2 2 可知 b =ac 代入余弦定理求得 a +c ﹣ac=ac,整理求得 a=c,判断出 A=C,最后利用 三角形内角和气的 A 和 C,最后证明原式.
.

解答: 解:由 A,B,C 成等差数列,有 2B=A+C(1) 因为 A,B,C 为△ ABC 的内角,所以 A+B+C=π. 由(1) (2)得 B= . (3)
2

由 a,b,c 成等比数列,有 b =ac(4) 2 2 2 2 2 由余弦定理及(3) ,可得 b =a +c ﹣2accosB=a +c ﹣ac 2 2 再由(4) ,得 a +c ﹣ac=ac, 2 即(a﹣c) =0 因此 a=c 从而 A=C(5) 由(2) (5) (3) ,得 A=B=C= 所以△ ABC 为等边三角形. 点评: 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质, 三角形形状的判断, 余弦定理的应用. 三 角形问题与数列,函数,不等式的综合题,是考试中常涉及的问题,注重了对学生的 双基能力的考查.
3 2

19. (12 分) (2006?江西)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 在 x=﹣ 与 x=1 时都取得极值 (1)求 a、b 的值与函数 f(x)的单调区间. 2 (2)若对 x∈[﹣1,2],不等式 f(x)<c 恒成立,求 c 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: (1)求出 f′(x) ,因为函数在 x=﹣ 与 x=1 时都取得极值,所以得到 f′(﹣ )
.

=0 且 f′(1)=0 联立解得 a 与 b 的值,然后把 a、b 的值代入求得 f(x)及 f′(x) , 然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间; (2)根据(1)函数的单调性,由于 x∈[﹣1,2]恒成立求出函数的最大值值为 f(2) , 代入求出最大值,然后令 f(2)<c 列出不等式,求出 c 的范围即可. 3 2 2 解答: (1)f(x)=x +ax +bx+c,f'(x)=3x +2ax+b 解; 由
2 2

解得,

f'(x)=3x ﹣x﹣2=(3x+2) (x﹣1) ,函数 f(x)的单调区间如下表: x 1 (1,+∞) (﹣∞,﹣ )﹣ (﹣ ,1) f′(x)+ f(x) ↑ 0 ﹣ 极大值↓ 0 + 极小值↑

所以函数 f(x)的递增区间是(﹣∞,﹣ )和(1,+∞) ,递减区间是(﹣ ,1) . (2) ,

当 x=﹣ 时,f(x)=
2

+c 为极大值,而 f(2)=2+c,所以 f(2)=2+c 为最大值.
2

要使 f(x)<c 对 x∈[﹣1,2]恒成立,须且只需 c >f(2)=2+c. 解得 c<﹣1 或 c>2. 点评: 考查学生利用导数研究函数极值的能力,利用导数研究函数单调性的能力,以及理解 函数恒成立时所取到的条件.

20. (12 分)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是椭圆

上的两点,已知

O 为坐标原点, 椭圆的离心率

, 短轴长为 2, 且







(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c) 为半焦距) (c ,求△ AOB 的面积. 考 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 点: 专 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 题: 分 析: (1)根据题意,可得 b=1 且 ,解出 a=2,由此即可得到该椭圆的方程;
.

(2)由(1)得焦点 F(0, ) ,设 AB 的方程为 ,与椭圆方程联解并消去 2 2 y,得(k +4)x + kx﹣1=0,由根与系数的关系得 x1+x2、x1x2 关于 k 的表达式.由 ,利用向量数量积的运算性质得到关于 k 的方程,解出 得 ,从而算出|x1﹣x2|= ,代入前面式子

,由此代入△ AOB 面积公式,

即可得到所求△ AOB 的面积. 解 解: (1)∵短轴长为 2b=2,∴b=1 答: 又∵椭圆的离心率

∴解得 a=2,所以椭圆的方程为 (2)由(1)得 c=

(5 分) ,可得 F(0, )

=

由题意知直线 AB 的斜率存在,

设直线 AB 的方程为

,与椭圆方程联解得

消去 y,得



(7 分)

∵ ∴



=

=

,解之得

(10 分)





由此可得|x1﹣x2|= ∴△AOB 的面积为 . (13 分)

=

点 本题给出椭圆的短轴长和离心率,求椭圆的方程并依此求△ AOB 的面积.着重考查了 评: 椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系和坐标系中三角形面积求法等知识,属于 中档题. 21. (14 分)已知函数 f(x)=ae 和 g(x)=lnx﹣lna 的图象与坐标轴的交点分别是点 A, B,且以点 A,B 为切点的切线互相平行. (Ⅰ)求实数 a 的值;
x

(Ⅱ)若函数 (Ⅲ)若存在 x 使不等式

,求函数 F(x)的极值; 成立,求实 m 的取值范围.

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某 点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (I)利用导数的运算法则得出 f′(x) ,g′(x) ,再利用导数的几何意义,得到 f′ (0)=g′(a) ,解出即可; (II)解出 F′(x)=0,再判定是否符合极值的定义即可;
.

(III)存在 x 使不等式 ?令 解答: 解: (Ⅰ)

成立?故

在 x∈[0,+∞)上有解

,m<h(x)max,利用导数求出即可. , (x>0) .

函数 y=f(x)的图象与坐标轴的交点为(0,a) , 函数 y=g(x)的图象与坐标轴的交点为(a,0) , 由题意得 (Ⅱ)∵ , (x>0) , ,又∵a>0,∴a=1;





解 F′(x)>0 得 x>1;解 F′(x)<0,得 0<x<1. ∴函数 F(x)的递减区间是(0,1) ,递增区间是(1,+∞) , 所以函数 F(x)极小值是 F(1)=1,函数 F(x)无极大值; (Ⅲ)由 得 ,

故 令 当 x=0 时,m<0 当 x>0 时, ∵x>0,∴ ∴

在 x∈[0,+∞)上有解, ,m<h(x)max

, ,

故 即

, 在区间[0,+∞)上单调递减,故 m<h(x)max,∴m<0,

即实数 m 的取值范围(﹣∞,0) . 点评: 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、等价转化方法等是解题的关键.


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