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曲线与方程


曲线与方程

高二(5)班
上海市第四中学

12.1曲线与方程

思考:下述方程表示图1的直线,对吗?为什么? ② |x|-|y|=0
y

① x - y =0
y 1 O 1 x

③ x-|y|=0
1 y y

/>1
O 1 x -1

1
1 -1 x O -1 1 x

O

图1

A

B

C

一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一 个二元方程 F(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线C上的点的坐标都是这个方程F(x,y)=0 的解;

(2)以这个方程F(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线 C上的点,那么这个方程F(x,y)=0叫做曲线的方程; 这条曲线C叫做方程的曲线(图形)。 说明: (1)“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” ,阐 明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是说曲线上 所有的点都符合这个条件而毫无例外 (纯粹性). (2)“以这个方程的解为坐标的点都在曲线 上”阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无 (完备性). 遗漏 由曲线的方程的定义可知, 如果曲线C的方程是 F(x,y)=0,那么点P0(x0 ,y0)在曲线C 上的 充要条件是 F(x0,y0)=0 .

例1.判断正误:
已知f(x,y)=0是曲线c的方程,
(1)若点M(x,y)的坐标是方程f(x,y)=0的解,则点M在曲 线C 上. (2)若点M(x,y)的坐标是方程f(x,y)=0的解,则点M 不在曲线C上.

(3)若点M(x,y)在曲线C上,则点M的坐标满足方程 f(x,y)=0.
(4)若点M(x,y)在曲线C上,则点M的坐标不一定满足 方程f(x,y)=0.

例2、设A、B两点的坐标分别为(-1,1)、(3,-1), 求证:线段AB的垂直平分线L 的方程是2x-y-2=0.
证明:①曲线上的点的坐标都是这个方程的解 ;

(1)设M(x1,y1)是线段AB的垂直平分线上任意一点, 也就是点M属于集合P={M||MA|=|MB|}. 由两点的距离公式,点M所适合的条件可表示为:
( x 1 ?1) 2 ? ( y 1 ?1) 2 ? ( x 1 ?3) 2 ? ( y 1 ?1) 2

? ( x1 ?1) ? ( y1 ?1) ? ( x1 ?3) ? ( y1?1)
2 2 2

2



2 x1 ? y1 ?2 ? 0 .

∴垂直平分线上每一点坐标都是方程2x-y-2=0的解

②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 (2)下面证明: 设(x2,y2)是方程2x-y-2=0的任意一个解,即2x2-y2-2=0或y2=2x22,以(x2,y2)为坐标的点P到A、B的距离分别是
| PA |? ( x 2 ?1) 2 ?( y 2 ?1) 2 ? ( x 2 ?1) 2 ?(2 x 2 ?3) 2 ? 5 x 2 2 ?10 x 2 ?10

| PB |? ( x 2 ?3) 2 ?( y 2 ?1) 2 ? ( x 2 ?3) 2 ?(2 x 2 ?1) 2 ? 5 x 2 2 ?10 x 2 ?10

故|PA|=|PB| 即点P在线段AB的垂直平分线上

由(1)和(2)知,线段AB的垂直平分线是2x-y-2=0

归纳:证明曲线的方程的方法与步骤
第一步,设M (x0,y0)是曲线C上任一点,证明 (x0,y0)是F(x,y)=0的解; 第二步,设(x0,y0)是F(x,y)=0的解,证明点M (x0,y0)在曲线C上。

如果曲线C的方程是F(x,y)=0,那么 点P(x0,y0)在曲线C上 F(x0,y0)=0

例3、(1)已知点A(1,0)、B(0,1).线段AB的方程是不是 x+y-1=0?为什么? (2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹C的方程是不 是x-y=0?为什么?

注意:(1)建立曲线与方程间的对应关系,仅有 条件“曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解” 是不够的,因为可能有满足方程F(x,y)=0的点不在 曲线C上; (2)仅有条件“以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都 在曲线C上”也是不够的,因为曲线C上可能有不满 足方程F(x,y)=0的点。 只有具备(1)和(2)两个条件时,才能说方程F(x,y)=0 是曲线C的方程,或曲线C是方程F(x,y)=0的曲线

例4、判断下列结论的正误并说明理由 (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线为x=3 对 (2)到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 错 错 (3)到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1

深化理解:
曲线可以看作是由点组成的集合,记作C ; 二元方程的解也描述了一个点集,记作F ; 思考:如何用点集C和F之间的关系来表达定义中的两个关系 ?

条件甲:“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0 的解”, 例 5: 条件 乙 :“ 曲 线 C 是方程 f (x , y)=0 的曲线 ”,则甲是乙的 B ( ) (A)充分非必要条件 (B)必要条件

(C)充要条件 (D) 非充分也非必要条件 若命题“曲线 C上的点的坐标满足方程 f(x ,y)=0 ”是正确的, 则下列命题中正确的是( D )
(A)方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C

(B)坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上
(C) 方 程 f(x , y)=0 的 曲 线 是 曲 线 C 的 一 部 分 或 是 曲 线 C

(D)曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部

例6.画出方程的曲线:logx y ? logy x ? 0


解:由 logx y ? log y x ? 0 得: 即原方程的曲线等价于
y? 1 ( x ? 0, x ? 1) 或 x

?lg y ? ? lg x ? ?x ? 1 ?y ? 1 ?

y ? x( x ? 0, x ? 1)

例7.下列方程表示什么曲线? 2 2 (1) x ? 4 y ? 0

(2)2 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 3 ? 0

(3) y ?

x ? 2x ? 1
2

(4)( x ? y ?1) x ?1 ? 0
(5) x ? ( x ? y ? 1) ? 0
2 2 2 2

例8.画出下列方程表示的曲线?

(1) | y |? x ? 1

(2) y ? x ? 1
1 1 (3) y ? 和|y |? | x| x

探究

f ( x, y) ? 0 若 P 直线 l: 1 ( x1 , y1 ) ? l , P 1 ?x2 , y2 ? ? l ,

则方程 f ( x, y) ? f ( x1 , y1 ) ? f ?x2 , y2 ? ? 0 表示怎样的曲线?与直线 l 有什么关系?

课堂小结 1、概念:曲线的方程,方程的曲线; 2、证明曲线的方程的方法与步骤 3、点在曲线上的充要条件;


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