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选修2-1期末复习试卷


2-1 期末练习
班级 姓名 座号 一、选择题 ? x ? R,使 tan x ? 1,其中正确的是( 1. 已知命题 p:



? x ? R,使 tan x ? 1 (A) ?p:
? x ? R,使 tan x ? 1 (C) ?p:
2. 抛物线 y ? 4ax(a ? 0) 的焦点坐标是( (A)

( a , 0) (B)(- a , 0)
2

? x ? R,使 tan x ? 1 (B) ?p:
? x ? R,使 tan x ? 1 (D) ?p:
) (C)(0, a ) ) (D)(0, - a )

3. 设 a ? R ,则 a ? 1 是

1 ?1 的 ( a

(A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 4. 已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),则 BC 边上的 中线长为 ( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 5.有以下命题: ①如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 a, b 的关系是不共线; ② O, A, B, C 为空间四点,且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一个基底,则点 O, A, B, C 一定 共面; ③已知向量 a, b, c 是空间的一个基底,则向量 a ? b, a ? b, c 也是空间的一个基底。 其中正确的命题是 ( ) (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③

M 为 A1C1 与 B1 D1 的交点。 6. 如图: 在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 若 AB ? a , AD ? b ,
) AA1 ? c 则下列向量中与 BM 相等的向量是( 1 1 1 1 (A) ? a ? b ? c (B) a ? b ? c 2 2 2 2 1 1 1 1 (C) ? a ? b ? c (D) a ? b ? c 2 2 2 2 7. 已知△ABC 的周长为 20,且顶点 B (0,-4),C (0,4),则顶 点 A 的轨迹方程是 ( ) (A)
D1 A1 M B1 C1

D A B

C

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (x≠0) ? ? 1 (x≠0) (B) 36 20 20 36 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (x≠0) ? ? 1 (x≠0) (C) (D) 6 20 20 6 8. 过抛物线 y2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1, y1)B(x2, y2)两点,如果 x1 ? x2 =6,
那么 AB =( (A)6 ) (B)8
2 2

(C)9

(D)10 )

9. 若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点, 那么 k 的取值范围是 ( (A)( ?

15 15 15 15 15 , ,0 ) (D)( ? ,?1 ) ) (B)( 0, ) (C)( ? 3 3 3 3 3
1

10.试在抛物线 y 2 ? ?4x 上求一点 P,使其到焦点 F 的距离与到 A?? 2,1? 的距离之和最小,则该 点坐标为( )

?1 ? (C) ? 2,?2 2 (D) ? 2,2 2 ?4 ? 0 11.在直角坐标系中, A(?2,3) , B(3,?2) 沿 x 轴把直角坐标系折成 120 的二面角,则此时线段 AB 的长度为( ) (A) 2 5 (B) 2 11 (C) 5 2 (D) 4 2
(A) ? ? (B) ? ,1?

? 1 ? ,1? ? 4 ?

?

?

?

?

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A、 a2 b2 B 两点,若△ABF2 为正三角形,则该椭圆的离心率 e 为 ( ) 2 3 1 1 (A) (B) (C) (D) 2 3 2 3 二、填空题 13.已知 A(1,-2,11)、B(4,2,3)、C(x,y,15)三点共线,则 x y =___________。 14.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时,量得水面宽 8 米。当水面升高 1 米后,水面宽度 是________米。
12.已知点 F1、F2 分别是椭圆 15. 如果椭圆

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是___________。 36 9

16.①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真; ②在 ?ABC 中,“ ?B ? 60? ”是“ ?A, ?B, ?C 三个角成等差数列”的充要条件. ③?

?x ? 1 ?x ? y ? 3 2 2 是? 的充要条件;④“am <bm ”是“a<b”的充分必要条件. ? y ? 2 ? xy ? 2
2

以上说法中,判断错误的有___________. 三、解答题 17.设 p :方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根, q :方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根, 若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围.

18.已知椭圆 C 的两焦点分别为 F1 -2 2 , 0 、F2 2 2, 0 ,长轴长为 6, ⑴求椭圆 C 的标准方程; ⑵已知过点(0,2)且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A 、B 两点,求线段 AB 的长度。.

?

?

?

?

2

19.如图, 已知三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA,OB,OC 两两垂直, 且 OA ? 1 , OB ? OC ? 2 , E 是 OC 的中点。 (1)求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值; (2)求直线 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值。

20.已知双曲线过点 P (?3 2 ,4) ,它的渐近线方程为 y ? ?

4 x 3

(1)求双曲线的标准方程; (2)设 F1 和 F2 是这双曲线的左、右焦点,点 P 在这双曲线上,且|PF1|·|PF2|=32,求 ∠F1PF2 的大小.

3

21.如图, 棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD, PA=AD=2,BD= 2 2 . (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)求二面角 P—CD—B 余弦值的大小; (3)求点 C 到平面 PBD 的距离.

P

A

D

B

C

22. 如图所示,F1、F2 分别为椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右两个焦点,A、B 为两个顶点, a2 b2

已知椭圆 C 上的点 (1, 3 ) 到 F1、F2 两点的距离之和为 4. 2 (1)求椭圆 C 的方程和焦点坐标; (2)过椭圆 C 的焦点 F2 作 AB 的平行线交椭圆于 P、Q 两点,求△F1PQ 的面积.

4

高二年级理科数学选修 2-1 期末练习
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 C 6 A 15、 7 B 8 B 9 D

参考答案
10 A 11 B 12 D

二、填空题: 13、 2 三、解答题:

14、 4 2

x ? 2y ? 8 ? 0

16、③④

17、解:若方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根,则 ?
2

? ? ? m2 ? 4 ? 0 ? x1 ? x2 ? ?m ? 0



????2 分

所以 m ? 2 ,即 p : m ? 2 .
2

?????????????????????3 分

若方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,则 ? ? 16(m ? 2)2 ? 16 ? 0 , ????5 分 即1 ? m ? 3 , 所以 p :1 ? m ? 3 . ???????????????????6 分 因为 p ? q 为真,则 p, q 至少一个为真,又 p ? q 为假,则 p, q 至少一个为假. 所以 p, q 一真一假,即“ p 真 q 假”或“ p 假 q 真”. ???????????8 分

?m ? 2 ? m?2 或? ???????????????????10 分 ? m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3 所以 m ? 3 或 1 ? m ? 2 . 故实数 m 的取值范围为 (1, 2] ? [3, ??) . ????????????????12 分
所以 ? 18、解:⑴由 F1 -2 2 , 0 、F2 2 2, 0 ,长轴长为 6
2 2 ∴椭圆方程为 x ? y ? 1 9 1

?

?

?

?

得: c ? 2

2, a ? 3 所以 b ? 1

???????????????????5 分

⑵设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由⑴可知椭圆方程为 ∵直线 AB 的方程为

y ? x?2
2

x2 y 2 ? ?1 9 1

①, ???????????7 分



把②代入①得化简并整理得 10 x ? 36 x ? 27 ? 0
2

∴ x1 ? x2 ? ? 18 , x1 x2 ? 27 ?????10 分
5 10

∴ AB ? (1 ? 12 )(18 ? 4 ? 27 ) ? 6 3 ???????????12 分 52 10 5 19、解:(1)以 O 为原点, OB 、 OC 、 OA 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系. 则有 A(0,0,1) 、 B(2,0,0) 、 C (0, 2,0) 、 E (0,1,0). ???????????3 分

??? ? ??? ? EB ? (2,0,0) ? (0,1,0) ? (2, ?1,0), AC ? (0,2, ?1) ?2 2 ??? ? ???? ? ?? , 5 5? 5 COS< EB, AC > ???????????5 分 ? ? ?

所以异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦为

2 5

???????????6 分

(2)设平面 ABC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z), 则

? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? n1 ? AB知 : n1 ? AB ? 2 x ? z ? 0; ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? n1 ? AC知: n1 ? AC ? 2 y ? z ? 0.取 n1 ? (1,1,2) ,

???8 分

5

则 cos ? EB, n1 ??

2 ?1? 0 5 6

?

30 ,???????10 分 30
30 ????12 分 30

故 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值为

20.解(1)由渐近线方程知双曲线中心在原点,且渐近线上横坐标为 ? 3 2 的点 P ? 的纵坐 标绝对值为 4 2

x2 y2 ? 4 2 ? 4 ∴双曲线的焦点在 x 轴上,设方程 2 ? 2 ? 1 ??????3 分 a b b 4 18 16 ? 2 ? 2 ? 1 ①又? ? ∵双曲线过点 P(?3 2 ,4) ② a 3 a b x2 y2 2 2 ? ? 1 ????6 分 由①②得 a ? 9, b ? 16 ,∴所求的双曲线方程为 9 16
(2)证|PF1|=d1,|PF2|=d2,则 d1·d2=32 又由双曲线的几何性质知|d1-d2|=2a=6????8 分
2 2 ? d12 ? d 2 ? 2d1d 2 ? 36 即有 d12 ? d 2 ? 36 ? 2d1d 2 ? 100??????10 分 2 2 2 又|F1F2|=2c=10 ? | F1 F2 | ? 100 ? d1 ? d 2 ?| PF1 |2 ? | PF2 |2 △PF1F2 是直角三角形, ?F1 PF2 ? 90? ????????????12 分

解法二(1)设双曲线方程为:

x2 y 2 ? ? ???(? ? 0) , 9 16 (?3 2)2 42 ∵双曲线过点 P (?3 2 ,4) ,∴ ??? ? ??? , 9 16
∴所求的双曲线方程为 (2)与解法一相同.

3分

x2 y2 ? ? 1 ????6 分 9 16

21、解:方法一:证:⑴在 Rt△BAD 中,AD=2,BD= 2 2 ,∴AB=2,ABCD 为正方形,因此 BD⊥AC. ∵PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,∴BD⊥PA .又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面 PAC. 解:(2)由 PA⊥面 ABCD,知 AD 为 PD 在平面 ABCD 的射影,又 CD⊥AD, ∴CD⊥PD, 知∠PDA 为二面角 P—CD—B 的平面角. 又∵PA=AD,∴∠PDA=450 . (3)∵PA=AB=AD=2,∴PB=PD=BD= 2 2 ,设 C 到面 PBD 的距离为 d, z 1 1 由 VP? BCD ? VC ? PBD ,有 ? S ?BCD ? PA ? ? S ?PBD ? d , 3 3 P 即

1 1 1 1 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? (2 2 ) 2 ? sin 60 0 ? d ,得 d ? 3 3 2 3 2 3

方法二:证:(1)建立如图所示的直角坐标系, 则 A(0,0,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2).??????2 分 在 Rt△BAD 中,AD=2,BD= 2 2 , ∴AB=2. ∴B(2,0,0)、C(2,2,0), ∴ AP ? (0,0,2), AC ? (2,2,0), BD ? (?2,2,0) ∵ BD ? AP ? 0, BD ? AC ? 0 ,即 BD⊥AP,BD⊥AC, 又 AP∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC. ?4 分 x A D y

C

B

6

解:(2)由(1)得 PD ? (0,2,?2),CD ? (?2,0,0) . 设平面 PCD 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,则 n1 ? PD ? 0, n1 ? CD ? 0 , 即?

?0 ? 2 y ? 2 z ? 0 ?x ? 0 ,∴ ? ?? 2 x ? 0 ? 0 ? 0 ?y ? z

故平面 PCD 的法向量可取为 n1 ? (0,1,1)

∵PA⊥平面 ABCD,∴ AP ? (0,01 ) 为平面 ABCD 的法向量. ???????????7 分 设二面角 P—CD—B 的大小为?,依题意可得

cos? ?

n1 ? AP n1 ? AP

?

2 . ???????????9 分 2

(3)由(Ⅰ)得 PB ? (2,0,?2), PD ? (0,2,?2) ,设平面 PBD 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) , 则 n2 ? PB ? 0, n2 ? PD ? 0 ,即 ?

?2 x ? 0 ? 2 z ? 0 ,∴x=y=z,故可取为 n2 ? (1,1,1) . ??11 分 ?0 ? 2 y ? 2 z ? 0
n2 ? PC n2 ? 2 3 3
???????14 分

∵ PC ? (2,2,?2) ,∴C 到面 PBD 的距离为 d ?

2 1 (3 3 2) 22、解:(1)由题设知:2a = 4,即 a = 2, 将点 (1, ) 代入椭圆方程得 2 ? 2 ? 1 ,解得 2 2 b

b2 = 3

∴c2 = a2-b2 = 4-3 = 1 , 2 2 故椭圆方程为 x ? y ? 1 , ???????????5 分 4 3 焦点 F1、F2 的坐标分别为(-1,0)和(1,0) ???????????6 分 ( 2 ) 由( Ⅰ)知 A(?2,0), B(0, 3) , ? k PQ ? k AB ?

3 , ∴ PQ 所在 直线 方程 为 2

y?

3 ( x ? 1) , 2 ? 3 y? ( x ? 1) ? ? 2 由 得 8y 2 ? 4 3y ? 9 ? 0 ? 2 2 ?x ? y ?1 ? 3 ?4

设 P (x1,y1),Q (x2,y2),则 y1 ? y 2 ? ?
? y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ?

3 9 , y1 ? y 2 ? ? , ???????9 分 2 8

3 9 21 ? 4? ? 4 8 2

? S ?F1PQ ?

1 1 21 21 F1 F2 ? y1 ? y 2 ? ? 2 ? ? . 2 2 2 2

?????????12 分

7


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