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高二数学必修二第一章 三视图、空间几何体的表面积和体积


三视图与空间几何体的体积、表面积 知识梳理: 1.中心投影与平面投影 光是直线传播的, 一个不透明物体在光的照射下, 在物体后面的屏幕上会留下这个物体的影 子,这种现象叫做投影,其中的光线叫做投影线,留下物体影子的屏幕叫做投影面. 思考 1:不同的光源发出的光线是有差异的, 其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么 不同? 我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影, 把在一

束平行光线照射下形成的投影叫 做平行投影.那么用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影? 思考 2:不同的投影形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系?

中心投影

平行投影

在平行投影中,投影线正对着投影面时叫做正投影,否则叫做斜投影. 2.三视图 把一个空间几何体投影到一个平面上,可以获得一个平面图形.从多个角度进行投影就能较 好地把握几何体的形状和大小,通常选择三种正投影,即正面、侧面和上面,并给出下列概 念: 光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图,叫做几何体的正视图; 光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图,叫做几何体的侧视图; 光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图,叫做几何体的俯视图; 几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图. 注意:能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示. 思考 3:圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么?

1

正视图

侧视图

正视图 正视图 侧视图

侧视图

俯视图

俯视图

俯视图

思考 4:如图是一个倒置的四棱柱的两种摆放,试分别画出其三视图,并比较它们的异同.

正视

正视

思考 5:如图所示,将一个长方体截去一部分,这个几何体的三视图是什么?

2

3.斜二测画法 把一个直角梯形水平放置得其直观图如下,比较两图,其中哪些线段之间的位置关系、数量 关系发生了变化?哪些没有发生变化?

画一个水平放置的平面图形的直观图,关键是确定直观图中各顶点的位置,我们可以借助 平面坐标系解决这个问题. 那么在画水平放置的直角梯形的直观图时应如何操作? y D C D′ y′ C′

A

B

x

A′

B′

x′

上述画水平放置的平面图形的直观图的方法叫做斜二测画法, 斜二测画法的基本步骤和规则: (1)建坐标系,定水平面; (2)与坐标轴平行的线段保持平行; (3)水平线段等长,竖直线段减半. 思考 6:你能用上述方法画水平放置的正六边形的直观图吗?

y F M E

A

o

D

x

B

N

C

3

思考 7:怎样画长、宽、高分别为 4cm、3cm、2cm 的长方体 ABCD-A′B′C′D′的直观图?

D′ A′ D

z y Q B′

C′
A′

D′ B′ D

C′

C x B
A

C

o
A P

B

思考:8:怎样画底面是正三角形,且顶点在底面上的投影是底面中心的三棱锥?

z

S

S

C A o

y C

M B

x

A

B

思考 9: 如图, 一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形, 它的底角为 45°, 两腰和上底边长均为 1,求这个平面图形的面积. D C

A

B

4

典型例题:

例 1(宁波效实中学 2014 届高三上学期期始考试数学(理)试题)已知某个几何体的三视
图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是

( A.



4000 3 cm 3

B.

8000 3 cm 3

C . 2000cm

3

D. 4000cm

3

思考: (1)什么是棱锥?什么是正棱锥?

(2)点 B 到平面ADE的距离是多少?

(3)命题:每个侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥。 该命题是正确还是错误?

(4)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π

)

(5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( A. 2 ? 5 B . 4 ? 5 C . 2 ? 2 5 D.5

1

)
2 正(主)视图 1 1 侧(左)视图

俯视图

5

例 2
( )

已知Δ ABC 的斜二测直观图是边长为 2 的等边△ A1 B1C1 ,那么原△ABC 的面积为

A.2 3

B. 3

C.2 6

D. 6

例3

点 A, B,C,D 在同一个球的球面上,AB=BC=2,AC=2 2 ,若四面体 ABCD 体积 4 的最大值为3 ,则该球的表面积为( ) C.9? D.12?

16? A. 3

B.8?

巩固练习: 1.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A.48 B.32+8 17 C.48+8 17 D.80

)

2.【2014 湖南 7】一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材 切削、打磨、加工成球,则能得到的最大球的半径等于( A.1 B.2 C.3 D.4 )

3.(2013 山西太原模拟)长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的各个顶点都在表面积为 16 ? 的球 O 的球

O ? ABCD 的体积为( 面上,其中 AB : AD : AA 1 ? 2 : 1 : 3 ,则四棱锥



A.

2 6 3

B.

6 3

C.2 3

D.3

6


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