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2014年高考大纲版文科数学试题及答案(纯word版详解)


2014 年普通高等学校统一考试(大纲) 文科
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 设集合 M ? {1, 2, 4,6,8}, N ? {1, 2,3,5,6,7} ,则 M N 中元素的个数为( ) A.2 B.3 C.5 D .7 2. 已

知角 ? 的终边经过点 (?4,3) ,则 cos? ? ( ) A.

4 5

B.

3 5

C. ? )

3 5

D. ?

4 5

3. 不等式组 ?

D. {x | x ? 1} 4.已知正四面体 ABCD 中, E 是 AB 的中点, 则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为 (

? x( x ? 2) ? 0 的解集为( ? | x |? 1 A. {x | ?2 ? x ? ?1} C. {x | 0 ? x ? 1}
A.

B. {x | ?1 ? x ? 0} )

1 1 3 B. C. 6 3 6 3 5. 函数 y ? ln( x ?1)( x ? ?1) 的反函数是( )
A. y ? (1 ? ex )3 ( x ? ?1) C. y ? (1 ? e x )3 ( x ? R)
0

D.

3 3

B. y ? (ex ?1)3 ( x ? ?1) D. y ? (e x ?1)3 ( x ? R)

b 为单位向量,其夹角为 60 ,则 (2a ? b) ? b ? ( 6. 已知 a、 ) A.-1 B.0 C.1 D.2 7. 有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组,则 不同的选法共有( ) A.60 种 B.70 种 C.75 种 D.150 种 8. 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 3, S4 ? 15, 则 S6 ? ( )
A.31
2

B.32
2

C.63

D.64

9. 已知椭圆 C:

x y 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 、 F2 ,离心率为 ,过 F2 的 2 a b 3 直线 l 交 C 于 A、B 两点,若 ?AF1B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为( )
A.

x2 y 2 ? ?1 3 2
81? 4

B.

x2 ? y2 ? 1 3

C.

x2 y 2 ? ?1 12 8

D.

x2 y 2 ? ?1 12 4
27? 4

10. 正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高位 4,底面边长为 2,则该球的表面积 为( ) A. B. 16? C. 9? D.

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11. 双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2,焦点到渐近线的距离为 3 ,则 C a 2 b2


的焦距等于(

A.2 B. 2 2 C.4 D. 4 2 12. 奇函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x ? 2) 为偶函数,且 f (1) ? 1 ,则 f (8) ? f (9) ? A.-2 B.-1 C.0 D .1 ( )

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. ( x ? 2)6 的展开式中 x 的系数为 14. 函数 y ? cos 2 x ? 2sin x 的最大值为
3

.(用数字作答) . .

? x? y ?0 ? 15. 设 x、y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 z ? x ? 4 y 的最大值为 ? x ? 2y ?1 ?
正切值等于 .

16. 直线 l1 和 l2 是圆 x2 ? y 2 ? 2 的两条切线,若 l1 与 l2 的交点为(1,3) ,则 l1 与 l2 的夹角的

三、解答题 (本大题共 6 小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分) 数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 2, an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 . (1)设 bn ? an?1 ? an ,证明 {bn } 是等差数列; (2)求 {an } 的通项公式.

18. (本小题满分 12 分)

?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 3a cos C ? 2c cos A, tan A ?
求 B.

1 , 3

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19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,点 A 1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上, ?ACB ? 90 ,
0

BC ? 1, AC ? CC1 ? 2 . (1)证明: AC1 ? A1B ;
(2)设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 3 ,求二面角 A 1 ? AB ? C 的大小.

20. (本小题满分 12 分) 设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6,0.5,0.5,0.4, 各人是否需使用设备相互独立. (1) 求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率; (2) 实验室计划购买 k 台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备 的人数大于 k”的概率小于 0.1,求 k 的最小值.

21. (本小题满分 12 分) 函数 f(x)=ax3+3x2+3x (a≠0). (1) 讨论 f(x)的单调性; (2) 若 f(x)在区间(1,2)是增函数,求 a 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点 5 为 Q,且|QF|= |PQ|. 4 (1) 求 C 的方程; (2) 过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M,N 两 点,且 A,M,B,N 四点在同一圆上,求 l 的方程.

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2014 高考大纲版理科数学参考答案
一、选择题 1.B [解析] 根据题意知 M∩N={1,2,4,6,8}∩{1,2,3,5,6,7}={1,2,6}, 所以 M∩N 中元素的个数是 3. -4 4 2.D [解析] 根据题意,cos α = 2 2=-5. (-4) +3
?x(x+2)>0, ? ?x>0或x<-2, ? 3.C [解析] 由? 得? 即 0<x<1. ?|x|<1, ?-1<x<1, ? ?

4. B [解析] 如图所示, 取 AD 的中点 F, 连接 EF, CF, 则 EF∥BD, 故 EF 与 CE 所成的角即为异面直线 CE 与 BD 所成的角.设正四面 体的棱长为 2,则 CE=CF= 3,EF=1.在△CEF 中,cos ∠CEF CE2+EF2-CF2 3+1-3 3 = = = ,所以异面直线 CE 与 BD 所成 2CE·EF 2× 3×1 6 角的余弦值为 5.D 3 . 6

3 [解析] 因为 y=ln( x+1),所以 x=(ey-1)3.因为 x>-1,所以 y∈R,所以函数 y

3 =ln( x+1)(x>-1)的反函数是 y=(ex-1)3(x∈R). 6. B [解析] 因为 a, b 为单位向量, 且其夹角为 60°, 所以(2a-b)· b=2a· b-b2=2|a||b|cos 60°-|b|2=0. 7.C [解析] 由题意,从 6 名男医生中选出 2 名,5 名女医生中选出 1 名组成一个医疗小 1 组,不同的选法共有 C2 6C5=75(种). 8 . C [ 解析 ] 设等比数列 {an} 的首项为 a ,公比为 q ,易知 q≠1 ,根据题意可得 a(1-q2) =3, 1-q a(1-q6) a 2 解得 q = 4 , =- 1 ,所以 S = =(-1)(1-43)=63. 6 1-q 1-q a(1-q4) =15, 1-q

? ? ? ? ?

9.A [解析] 根据题意,因为△AF1B 的周长为 4 3,所以|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2| c 3 +|BF1|+|BF2|=4a=4 3,所以 a= 3.又因为椭圆的离心率 e= = ,所以 c=1,b2 a 3 x2 y2 =a2-c2=3-1=2,所以椭圆 C 的方程为 + =1. 3 2 10.A [解析] 如图所示,因为正四棱锥的底面边长为 2,所以 1 AE= AC= 2.设球心为 O,球的半径为 R,则 OE=4-R,OA 2 =R.又因为△AOE 为直角三角形,所以 OA2=OE2+AE2,即 R2
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9?2 81π 9 =(4-R)2+2,解得 R= ,所以该球的表面积 S=4π R2=4π ? ?4? = 4 . 4 11.C x2 y2 b [解析] 易知双曲线 2- 2=1 的渐近线方程是 y=± x,不妨设焦点(c,0)到其中一 a b a bc a = 3,整理得 b= 3.又双曲线 C 的离心 2 ?b? +1 ?a?

b 条渐近线 x-y=0 的距离为 3,则 a

c 率 e= =2,c2=a2+b2,所以 c=2,即 2c=4,即双曲线 C 的焦距等于 4. a 12.D [解析] 因为 f(x+2)为偶函数,所以其对称轴为直线 x=0,所以函数 f(x)的图像的 对称轴为直线 x=2.又因为函数 f(x)是奇函数,其定义域为 R,所以 f(0)=0,所以 f(8)= f(-4)=-f(4)=-f(0)=0,故 f(8)+f(9)=0+f(-5)=-f(5)=-f(-1)=f(1)=1. 二、填空题 6-r 13.-160 [解析] (x-2)6 的展开式的通项为 Tr+1=Cr (-2)r,令 6-r=3,解得 r=3. 6x 3 3 因为 C3 6(-2) =-160,所以 x 的系数为-160. 14. 3 2 1 2 3 sin x- ? + ,所以当 sin x [解析] 因为 y=cos 2x+2sin x=1-2sinx2+2sin x=-2? 2? 2 ?

1 3 = 时函数 y=cos 2x+2sin x 取得最大值,最大值为 . 2 2 15.5 [解析] 如图所示,满足约束条件的可行域为△ABC 的内 1 1 部(包括边界),z=x+4y 的最大值即为直线 y=- x+ z 的截距 4 4 1 1 最大时 z 的值.结合题意知,当 y=- x+ z 经过点 A 时,z 取 4 4 得最大值,联立 x-y=0 和 x+2y=3,可得点 A 的坐标为(1, 1),所以 zmax=1+4=5. 16. 4 3 [解析] 如图所示,根据题意知,OA⊥PA,OA= 2,OP OA 2,所以 tan ∠OPA= PA

= 10,所以 PA= OP2-OA2=2 = 2 2

2tan ∠OPA 4 1 = ,故 tan ∠APB= = ,即 l1 与 l2 的 1-tan2∠OPA 3 2 2

4 夹角的正切值等于 . 3 三、解答题 17.解:(1)由 an+2=2an+1-an+2,得 an+2-an+1=an+1-an+2,
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即 bn+1=bn+2. 又 b1=a2-a1=1, 所以{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. (2)由(1)得 bn=1+2(n-1), 即 an+1-an=2n-1. 于是

? (ak ?1 ? ak ) ?? (2k ? 1) ,
k ?1 k ?1

n

n

所以 an+1-a1=n2,即 an+1=n2+a1. 又 a1=1,所以{an}的通项公式 an=n2-2n+2. 18.解:由题设和正弦定理得 3sin Acos C=2sin Ccos A,故 3tan Acos C=2sin C. 1 1 因为 tan A= ,所以 cos C=2sin C,所以 tan C= , 3 2 所以 tan B=tan[180°-(A+C)] tan A+tan C =-tan(A+C)= =-1, tan Atan C-1 所以 B=135°. 19.解:方法一:(1) 证明:因为 A1D⊥平面 ABC,A1D?平面 AA1C1C,故平面 AA1C1C ⊥平面 ABC.又 BC⊥AC,平面 AA1C1C∩平面 ABC=AC,所以 BC⊥平面 AA1C1C. 连接 A1C,因为侧面 AA1C1C 为菱形,故 AC1⊥A1C. 由三垂线定理得 AC1⊥A1B.

(2) BC⊥平面 AA1C1C,BC?平面 BCC1B1,故平面 AA1C1C⊥平面 BCC1B1. 作 A1E⊥CC1,E 为垂足,则 A1E⊥平面 BCC1B1. 又直线 AA1∥平面 BCC1B1,因而 A1E 为直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离,即 A1E= 3. 因为 A1C 为∠ACC1 的平分线,故 A1D=A1E= 3. 作 DF⊥AB,F 为垂足,连接 A1F.由三垂线定理得 A1F⊥AB, 故∠A1FD 为二面角 A1? AB ? C 的平面角.
2 由 AD= AA1 -A1D2=1,得 D 为 AC 中点,

所以 DF=

5 A 1D 1 ,tan∠A1FD= = 15,所以 cos∠A1FD= . 5 DF 4

1 所以二面角 A1? AB? C 的大小为 arccos . 4
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方法二:以 C 为坐标原点,射线 CA 为 x 轴的正半轴,以 CB 的长为单位长,建立如 图所示的空间直线坐标系 C xyz.由题设知 A1D 与 z 轴平行,z 轴在平面 AA1C1C 内.

→ (1) 证明:设 A1(a,0,c),由题设有 a≤2,A(2,0,0),B(0,1,0),则AB=(-2,1, → → → → → → 0),AC=(-2,0,0),AA1=(a-2,0,c),AC1=AC+AA1=(a-4,0,c),BA1=(a,- 1,c). → 由|AA1|=2,得 (a-2)2+c2=2,即 a2-4a+c2=0. → → 又AC1·BA1=a2-4a+c2=0,所以 AC1⊥A1B. (2) 设平面 BCC1B1 的法向量 m=(x,y,z), → → → 则 m⊥CB,m⊥BB1,即 m· CB=0,m· BB1=0. → → → 因为CB=(0,1,0),BB1=AA1=(a-2,0,c),所以 y=0,且(a-2)x+cz=0. → 令 x=c, 则 z=2-a, 所以 m=(c, 0, 2-a), 故点 A 到平面 BCC1B1 的距离为|CA|· |cos → |CA·m| 2c → 〈m,CA〉|= = 2 =c. |m| c +(2-a)2 又依题设,A 到平面 BCC1B1 的距离为 3,所以 c= 3, → 代入①,解得 a=3(舍去)或 a=1,于是AA1=(-1,0, 3). → → → → 设平面 ABA1 的法向量 n=(p,q,r),则 n⊥AA1,n⊥AB,即 n· AA1=0,n· AB=0, 所以-p+ 3r=0,且-2p+q=0.令 p= 3,则 q=2 1). 又 p=(0,0,1)为平面 ABC 的法向量,故 n· p 1 cos〈n,p〉= = , |n||p| 4
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3,r=1,所以 n=( 3,2

3,

1 所以二面角 A1 ? AB ? C 的大小为 arccos . 4 20.解:记 A1 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备,i=0,1,2. B 表示事件:甲需使用设备. C 表示事件:丁需使用设备. D 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用设备. E 表示事件:同一工作日 4 人需使用设备. F 表示事件:同一工作日需使用设备的人数大于 k. (1) 因为 P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=Ci20.52,i=0,1,2, 所以 P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2·B· C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2·B· C)= P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31. (2) 由(1)知,若 k=2,则 P(F)=0.31>0.1, P(E)=P(B· C· A2)=P(B)P(C)P(A2)=0.06. 若 k=3,则 P(F)=0.06<0.1, 所以 k 的最小值为 3. 21.解:(1)f′(x)=3ax2+6x+3,f′(x)=0 的判别式Δ =36(1-a). (i) 若 a≥1,则 f′(x)≥0,且 f′(x)=0 当且仅当 a=1,x=-1 时成立.故此时 f(x)在 R 上是增函数. (ii) 由于 a≠0,故当 a<1 时,f′(x)=0 有两个根; x1= -1+ 1-a -1- 1-a ,x2= . a a

若 0<a<1,则当 x∈(-∞,x2)或 x∈(x1,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)分别在(-∞,x2), (x1,+∞)是增函数; 当 x∈(x2,x1)时,f′(x)<0,故 f(x)在(x2,x1)是减函数. 若 a<0,则当 x∈(-∞,x1)或(x2,+∞)时,f′(x)<0,故 f(x)分别在(-∞,x1),(x2, +∞)是减函数; 当 x∈(x1,x2)时 f′(x)>0,故 f(x)在(x1,x2)是增函数. (2) 当 a>0,x>0 时,f′(x)=3ax2+6x+3>0,故当 a>0 时,f(x)在区间(1,2)是增函 数. 5 当 a<0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当 f′(1)≥0 且 f′(2)≥0,解得- ≤a< 4 0. 5 ? 综上,a 的取值范围是? ?-4,0?∪(0,+∞). 8 22.解:(1)设 Q(x0,4),代入 y2=2px,得 x0= , p 8 p p 8 所以|PQ|= ,|QF|= +x0= + . p 2 2 p

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p 8 58 由题设得 + = ,解得 p=-2(舍去)或 p=2, 2 p 4p 所以 C 的方程为 y2=4x. (2) 依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x=my+1(m≠0). 代入 y2=4x,得 y2-4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4. 故线段 AB 的中点为 D(2m2+1,2m), |AB|= m2+1|y1-y2|=4(m2+1). 1 又直线 l′的斜率为-m,所以 l′的方程为 x=- y+2m2+3. m 4 将上式代入 y2=4x,并整理得 y2+ y-4(2m2+3)=0. m 4 设 M(x3,y3),N(x4,y4),则 y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3). m 2 2? 2 2+2m +3,- 故线段 MN 的中点为 E? m?, ?m |MN|= 4(m2+1) 2m2+1 1 1+ 2|y3-y4|= . m m2

由于线段 MN 垂直平分线段 AB,故 A,M,B,N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|= 1 |MN|,从而 2 1 1 |AB|2+|DE|2= |MN|2,即 4 4
2 2 2 2 2m+ ? +? 2+2? = 4(m2+1)2+? m? ?m ? ?

4(m2+1)2(2m2+1) , m4 化简得 m2-1=0,解得 m=1 或 m=-1. 所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0.

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