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山东高考文科数学07~11年分类解析解析几何

时间:2012-04-08


山东高考文科数学 07~11 年分类解析

解析几何部分

解析几何
一、试题 07· 9.设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点, A 是抛物线上的一点,FA 与 x 轴正向的夹角为 60 ,则 OA 为(
o

uuu r

uuu

r


A.

21 p 4

B.

21 p 2 13 p 36

C.

13 p 6

D.

07·16.与直线 x + y ? 2 = 0 和曲线 x 2 + y 2 ? 12 x ? 12 y + 54 = 0 都相切的半径最小的圆的 标准方程是 . 07·22. (本小题满分 14 分) 焦点在 x 轴上, 椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3, 已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 最小值为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l : y = kx + m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点( A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的图过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 08·11.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y = 0 和 x 轴相切,则该圆 的标准方程是(
2


2

7? ? A. ( x ? 3) + ? y ? ? = 1 3? ?
C. ( x ? 1) + ( y ? 3) = 1
2 2

B. ( x ? 2) 2 + ( y ? 1) 2 = 1

3? ? D. ? x ? ? + ( y ? 1) 2 = 1 2? ?

2

08·13.已知圆 C : x 2 + y 2 ? 6 x ? 4 y + 8 = 0 .以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一 个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 08·22. (本小题满分 14 分) 已知曲线 C1: + .

x

y b

a

= 1(a > b > 0) 所围成的封闭图形的面积为 4 5 , C1 的内切圆半径 曲线



2 5 .记 C2 为以曲线 C1 与坐标轴的交点为顶点的椭圆. 3

(Ⅰ)求椭圆 C2 的标准方程;

1

山东高考文科数学 07~11 年分类解析

解析几何部分

(Ⅱ)设 AB 是过椭圆 C2 中心的任意弦, l 是线段 AB 的垂直平分线. M 是 l 上异于椭圆 中心的点. (1)若 MO = λ OA ( O 为坐标原点) ,当点 A 在椭圆 C2 上运动时,求点 M 的轨迹方程; (2)若 M 是 l 与椭圆 C2 的交点,求 △ AMB 的面积的最小值. 09·10. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 = ax ( a ≠ 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△ OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y = ± 4 x
2

).

w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

B. y = ± 8 x
2

C. y = 4 x
2

D. y = 8 x
2

09·22. (本小题满分 14 分) 设 m ∈ R ,在平面直角坐标系中,已知向量 a = ( mx, y + 1) ,向量 b = ( x, y ? 1) , a ⊥ b ,动 点 M ( x, y ) 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (2)已知 m =

r

r

r

r

1 ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交 4

点 A,B,且 OA ⊥ OB (O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知 m =

1 ,设直线 l 与圆 C: x 2 + y 2 = R 2 (1<R<2)相切于 A1,且 l 与轨迹 E 只有一个公共 4

点 B1,当 R 为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 10·9 已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) ,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与 A 、 B 两点, 若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为 (A) x = 1 (B) x = ?1 (C) x = 2 (D) x = ?2 10·16 已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l: y = x ? 1 被该圆所截得 的弦长为 2 2 ,则圆 C 的标准方程为 10·22(本小题满分 14 分) .

如图,已知椭圆

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 过点. a2 b2

(1,

2 2 ) ,离心率为 ,左、右焦点分别为 F1 、 2 2

F2 .点 P 为直线 l : x + y = 2 上且不在 x 轴上的任意

2

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解析几何部分

一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A 、 B 和 C 、 D , O 为坐标原点. (I)求椭圆的标准方程; (II)设直线 PF1 、 PF2 的斜线分别为 k1 、 k 2 .

(i)证明:

1 3 ? =2; k1 k2

(ii) 问直线 l 上是否存在点 P , 使得直线 OA 、 OB 、OC 、OD 的斜率 kOA 、kOB 、

kOC 、 kOD 满足 kOA + kOB + kOC + kOD = 0 ?若存在,求出所有满足条件的点 P 的坐标;若
不存在,说明理由. 11· 9.设 M( x0 ,y0 )为抛物线 C:x 2 = 8 y 上一点, 为抛物线 C 的焦点, F 为圆心、 FM F 以 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是 (A)(0,2) (B)[0,2] (C)(2,+∞) (D)[2,+∞)

x2 y2 x 2 y2 11·15.已知双曲线 2 ? 2 = 1( a>0,b>0) 和椭圆 + =1 有相同的焦点,且双曲线 a b 16 9
的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 11·22.(本小题满分 14 分) .

在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 + y 2 = 1 .如图所示,斜率为 k (k>0) 且不 3

过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点,线段 AB 的中点为 E ,射线 OE 交椭圆 C 于点 G , 交直线 x = ?3 于点 D ( ?3, m ) . (Ⅰ)求 m 2 + k 2 的最小值; (Ⅱ)若 OG = OD ? OE , (i)求证:直线 l 过定点;
2

(ii)试问点 B , G 能否关于 x 轴对称?若能,求出此时 ?ABG 的外接圆方程;若不能, 请说明理由. y D G E A O x B
3

?3

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解析几何部分

二、详细解析 07· 9.设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y = 2 px( p > 0) 的焦点, A 是抛物线上的一点,FA
2

uuu r

与 x 轴正向的夹角为 60 ,则 OA 为(

o

uuu r


A.

21 p 4

B.

21 p 2 13 p 36

C.

13 p 6

D.

【答案】B【解析】 利用圆锥曲线的第二定义)过 A 作 AD ⊥ x 轴于 D,令 FD = m ,则 答案】 【解析】 利用圆锥曲线的第二定义) (

FA = 2m , p + m = 2m , m = p 。
p 21 ∴ OA = ( + p )2 + ( 3 p) 2 = p. 2 2
07·16.与直线 x + y ? 2 = 0 和曲线 x 2 + y 2 ? 12 x ? 12 y + 54 = 0 都相切的半径最小的圆的 标准方程是 .

2 2 :曲线化为 ( x ? 6) 2 + ( y ? 6) 2 = 18 ,其圆心到直 【答案】:. ( x ? 2) + ( y ? 2) = 2 【解析】 答案】

线 x + y ? 2 = 0 的距离为 d =

6+6?2 2

= 5 2. 所求的

最小圆的圆心在直线 y = x 上,其到直线的距离为 2 , 圆心坐标为 (2, 2). 标准方程为 ( x ? 2) 2 + ( y ? 2) 2 = 2 。

07·22. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3, 最小值为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l : y = kx + m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点( A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的图过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

解: (I)由题意设椭圆的标准方程为 由已知得: a + c = 3 , a ? c = 1 , ∴a = 2 , c = 1,

x2 y2 + = 1(a > b > 0) , a2 b2

∴ b2 = a 2 ? c 2 = 3

h t : /w x c 8 3 0 0 o m p . 3 2 .c wx k t 1 2 c m c @ 6. o

王新敞 王新敞 王新敞 王新敞 特级教师 特级教师 特级教师 特级教师 源头学子小屋 源头学子小屋 源头学子小屋 源头学子小屋
新 新 7 0 ·屯 疆 ·2 奎 疆屯 奎 ·2 0 · 7 新20207屯 疆奎屯 新 ·奎 疆 · ·7 ·

4

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解析几何部分

∴ 椭圆的标准方程为

x2 y 2 + =1 4 3

h t : /w x c 8 3 0 0 o m p . 3 2 .c wx k t 1 2 c m c @ 6. o

王新敞 王新敞 王新敞 王新敞 特级教师 特级教师 特级教师 特级教师 源头学子小屋 源头学子小屋 源头学子小屋 源头学子小屋
新 新 7 0 ·屯 疆 ·2 奎 疆屯 奎 ·2 0 · 7 新20207屯 疆奎屯 新 ·奎 疆 · ·7 ·

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B ( x2,y2 ) ,

? y = kx + m, ? 联立 ? x 2 y 2 = 1. ? + 3 ?4
得 (3 + 4k 2 ) x 2 + 8mkx + 4( m 2 ? 3) = 0 ,

? ?? = 64m 2 k 2 ? 16(3 + 4k 2 )(m2 ? 3) > 0,即3 + 4k 2 ? m 2 > 0,则 ? 8mk ? , ? x1 + x2 = ? 3 + 4k 2 ? ? 4(m 2 ? 3) x1 ? x2 = . ? 3 + 4k 2 ? 3(m 2 ? 4k 2 ) , 又 y1 y2 = ( kx1 + m)( kx2 + m) = k x1 x2 + mk ( x1 + x2 ) + m = 3 + 4k 2
2 2

因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右焦点 D (2, , 0)

∴ k AD k BD = ?1 ,即

y1 y2 = ?1 , x1 ? 2 x2 ? 2

∴ y1 y2 + x1 x2 ? 2( x1 + x2 ) + 4 = 0 , 3(m 2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ∴ + + + 4 = 0, 3 + 4k 2 3 + 4k 2 3 + 4k 2
∴ 7 m 2 + 16mk + 4k 2 = 0
解得:
h t : /w x c 8 3 0 0 o m p . 3 2 .c wx k t 1 2 c m c @ 6. o

王新敞 王新敞 王新敞 王新敞 特级教师 特级教师 特级教师 特级教师 源头学子小屋 源头学子小屋 源头学子小屋 源头学子小屋
新 新 7 0 ·屯 疆疆奎 奎屯 · ·· 7 2 新20207屯 疆奎屯 新 ·奎 疆 ·2 0 7 · ·

m1 = ?2k , m2 = ?

2k 2 2 ,且均满足 3 + 4k ? m > 0 , 7

当 m1 = ?2k 时, l 的方程为 y = k ( x ? 2) ,直线过定点 (2, ,与已知矛盾; 0) 当 m2 = ?

2k 2? ? ?2 ? 时, l 的方程为 y = k ? x ? ? ,直线过定点 ? ,? 0 7 7? ? ?7 ?

h t p /w x c 8 3 0 0 o m : . 3 2 .c wx k t 1 2 c o c @ 6. m

王新敞 王新敞 王新敞 王新敞 特级教师 特级教师 特级教师 特级教师 源头学子小屋 源头学子小屋 源头学子小屋 源头学子小屋
新新707屯 疆 ··奎 疆屯 奎 ·2 0 2 · 新 2 ·2 0 7 屯 疆奎屯 新 ·奎 疆 · 07 ·

所以,直线 l 过定点,定点坐标为 ? ,? 0

?2 ?7

? ?

h t p /w x c 8 3 0 0 o m : . 3 2 .c wx k t 1 2 c o c @ 6. m

王新敞 王新敞 王新敞 王新敞 特级教师 特级教师 特级教师 特级教师 源头学子小屋 源头学子小屋 源头学子小屋 源头学子小屋
新新707屯 疆 ··奎 疆屯 奎 ·2 0 2 · 新 2 ·2 0 7 屯 疆奎屯 新 ·奎 疆 · 07 ·

5

山东高考文科数学 07~11 年分类解析

解析几何部分

08·11.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y = 0 和 x 轴相切,则该圆 的标准方程是(
2


2

7? ? A. ( x ? 3) + ? y ? ? = 1 3? ?
C. ( x ? 1) + ( y ? 3) = 1
2 2

B. ( x ? 2) + ( y ? 1) = 1
2 2

3? ? 2 D. ? x ? ? + ( y ? 1) = 1 2? ?
| 4a ? 3 | 1 = 1,∴ a = 2(舍 ? ). 选 B. 5 2

2

解析】 :本小题主要考查圆与直线相切问题。 【答案】:B 【解析】 答案】 设圆心为 ( a,1), 由已知得 d =

08·13.已知圆 C : x 2 + y 2 ? 6 x ? 4 y + 8 = 0 .以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一 个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .

【答案】 答案】

x2 y 2 ? = 1 【 解 析 】: 本 小 题 主 要 考 查 圆 、 双 曲 线 的 性 质 。 圆 4 12

C : x2 + y2 ? 6 x ? 4 y + 8 = 0 y = 0 ? x 2 ? 6 x + 8 = 0, 得圆 C 与坐标轴的交点分别为 (2, (4, 0), 0),
08·22. (本小题满分 14 分) 已知曲线 C1: +

x

y b

a

= 1(a > b > 0) 所围成的封闭图形的面积为 4 5 , C1 的内切圆半径 曲线



2 5 .记 C2 为以曲线 C1 与坐标轴的交点为顶点的椭圆. 3

(Ⅰ)求椭圆 C2 的标准方程; (Ⅱ)设 AB 是过椭圆 C2 中心的任意弦, l 是线段 AB 的垂直平分线. M 是 l 上异于椭圆 中心的点. (1)若 MO = λ OA ( O 为坐标原点) ,当点 A 在椭圆 C2 上运动时,求点 M 的轨迹方程; (2)若 M 是 l 与椭圆 C2 的交点,求 △ AMB 的面积的最小值.

?2ab = 4 5, ? 解析】 : 【解析】(Ⅰ)由题意得 ? ab 2 5 = . ? 2 2 3 ? a +b 又a > b > 0,
解得 a = 5 , b = 4 .
2 2

6

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解析几何部分

因此所求椭圆的标准方程为

x2 y 2 + = 1. 5 4

(Ⅱ) (1)假设 AB 所在的直线斜率存在且不为零,设 AB 所在直线方程为 y = kx ( k ≠ 0) ,

A( x A,y A ) .

? x2 y 2 = 1, 2 20 20k 2 ? + 2 解方程组 ? 5 得 xA = , yA = , 4 4 + 5k 2 4 + 5k 2 ? y = kx, ?
所以 OA = x A + y A =
2 2 2

20 20k 2 20(1 + k 2 ) + = . 4 + 5k 2 4 + 5k 2 4 + 5k 2

设 M ( x,y ) ,由题意知 MO = λ OA (λ ≠ 0) , 所以 MO = λ OA ,即 x + y = λ
2 2 2 2 2

2

20(1 + k 2 ) , 4 + 5k 2

因为 l 是 AB 的垂直平分线, 所以直线 l 的方程为 y = ? 即k = ?

1 x, k

x , y

? x2 ? 20 ?1 + 2 ? y ? 20( x 2 + y 2 ) 2 2 2 ? 因此 x + y = λ = λ2 , x2 4 y 2 + 5x2 4+5 2 y
又 x2 + y 2 ≠ 0 , 所以 5 x 2 + 4 y 2 = 20λ 2 ,



x2 y 2 + = λ2 . 4 5

又当 k = 0 或不存在时,上式仍然成立.

x2 y 2 + = λ 2 (λ ≠ 0) . 综上所述, M 的轨迹方程为 4 5
(2)当 k 存在且 k ≠ 0 时,由(1)得 x A =
2

20 20k 2 2 , yA = , 4 + 5k 2 4 + 5k 2

7

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解析几何部分

? x2 y 2 ? 5 + 4 = 1, 20k 2 20 ? 2 2 由? 解得 xM = , yM = , 2 5 + 4k 5 + 4k 2 ? y = ? 1 x, ? k ?
所以 OA = x A + y A =
2 2 2

20(1 + k 2 ) 80(1 + k 2 ) 20(1 + k 2 ) 2 2 2 , AB = 4 OA = , OM = . 4 + 5k 2 4 + 5k 2 5 + 4k 2 1 2 AB OM 4
2

解法一:由于 S△ AMB =
2

1 80(1 + k 2 ) 20(1 + k 2 ) = × × 4 4 + 5k 2 5 + 4k 2

=

400(1 + k 2 ) 2 (4 + 5k 2 )(5 + 4k 2 )
400(1 + k 2 ) 2



? 4 + 5k 2 + 5 + 4k 2 ? ? ? 2 ? ?

2

=

1600(1 + k 2 ) 2 ? 40 ? =? ? , 81(1 + k 2 ) 2 ? 9 ?
2
2 2

当且仅当 4 + 5k = 5 + 4k 时等号成立, k = ±1 时等号成立, 即 此时 △ AMB 面积的最小值 是 S△ AMB =

40 . 9

1 40 ×2 5×2 = 2 5 > . 2 9 1 40 当 k 不存在时, S△ AMB = × 5 × 4 = 2 5 > . 2 9 40 综上所述, △ AMB 的面积的最小值为 . 9
当 k = 0 , S△ AMB =

1
解法二:因为

OA
1


2

+

1 OM
2

=

1 1 4 + 5k 2 + 5 + 4k 2 9 + = = , 2 2 2 20(1 + k ) 20(1 + k ) 20(1 + k ) 20 4 + 5k 2 5 + 4k 2

OA

2

+

1 OM
2



2 40 , OA OM ≥ , OA OM 9
2

当且仅当 4 + 5k = 5 + 4k 时等号成立,即 k = ±1 时等号成立,
2

此时 △ AMB 面积的最小值是 S△ AMB =

40 . 9
8

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解析几何部分

1 40 ×2 5×2 = 2 5 > . 2 9 1 40 . 当 k 不存在时, S△ AMB = × 5 × 4 = 2 5 > 2 9 40 综上所述, △ AMB 的面积的最小值为 . 9
当 k = 0 , S△ AMB = 09·10. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y = ax ( a ≠ 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△
2

OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y 2 = ± 4 x B. y 2 = ± 8 x C. y 2 = 4 x

).

w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

D. y 2 = 8 x

【解析】: 抛物线 y 2 = ax ( a ≠ 0) 的焦点 F 坐标为 ( , 0) ,则直线 l 的方程为 y = 2( x ? ) , 它与 y 轴的交点为 A (0, ? ) ,所以△OAF 的面积为 方程为 y 2 = ± 8 x ,故选 B. 答案:B. 【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面 积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数 a 的符号不定而 引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做 到合二为一. 09·22. (本小题满分 14 分) 设 m ∈ R ,在平面直角坐标系中,已知向量 a = ( mx, y + 1) ,向量 b = ( x, y ? 1) , a ⊥ b ,动 点 M ( x, y ) 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (2)已知 m =

a 4

a 4

a 2

1 a a | | ? | |= 4 ,解得 a = ±8 .所以抛物线 2 4 2

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

r

r

r

r

1 ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交 4

点 A,B,且 OA ⊥ OB (O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知 m =

1 ,设直线 l 与圆 C: x 2 + y 2 = R 2 (1<R<2)相切于 A1,且 l 与轨迹 E 只有一个公共 4

点 B1,当 R 为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解:(1)因为 a ⊥ b , a = ( mx, y + 1) , b = ( x, y ? 1) , 所以 a ? b = mx 2 + y 2 ? 1 = 0 ,

r

r r

r

r r

即 mx 2 + y 2 = 1 .

当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y = ±1 ;
9

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解析几何部分

当 m = 1 时, 方程表示的是圆 当 m > 0 且 m ≠ 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m < 0 时,方程表示的是双曲线. (2).当 m =

1 x2 时, 轨迹 E 的方程为 + y 2 = 1 ,设圆心在原点的圆的一条切线为 y = kx + t , 4 4

? y = kx + t ? 2 2 2 2 2 解方程组 ? x 2 得 x + 4( kx + t ) = 4 ,即 (1 + 4k ) x + 8ktx + 4t ? 4 = 0 , 2 ? + y =1 ?4
要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B, 则使△= 64k 2t 2 ? 16(1 + 4k 2 )(t 2 ? 1) = 16(4k 2 ? t 2 + 1) > 0 ,

即 4k ? t + 1 > 0 ,即 t < 4k + 1 ,
2 2 2 2

8kt ? ? x1 + x2 = ? 1 + 4k 2 ? 且? 2 ? x x = 4t ? 4 ? 1 2 1 + 4k 2 ?
k 2 (4t 2 ? 4) 8k 2t 2 t 2 ? 4k 2 , ? + t2 = 1 + 4k 2 1 + 4k 2 1 + 4k 2

y1 y2 = (kx1 + t )(kx2 + t ) = k 2 x1 x2 + kt ( x1 + x2 ) + t 2 =
要使 OA ⊥ OB ,
2 2

uuu r

uuu r

需使 x1 x2 + y1 y2 = 0 ,即
2 2

4t 2 ? 4 t 2 ? 4k 2 5t 2 ? 4k 2 ? 4 + = = 0, 1 + 4 k 2 1 + 4k 2 1 + 4k 2
2 2

所以 5t ? 4k ? 4 = 0 ,

即 5t = 4k + 4 且 t < 4k + 1 ,

即 4k + 4 < 20k + 5 恒成立.
2 2

所以又因为直线 y = kx + t 为圆心在原点的圆的一条切线,

4 (1 + k 2 ) t 4 4 2 5 所以圆的半径为 r = ,r = = = , 所求的圆为 x 2 + y 2 = . 2 2 2 1+ k 1+ k 5 5 1+ k

t

2

当切线的斜率不存在时,切线为 x = ±

2 x2 2 2 5 ,与 + y 2 = 1 交 于 点 ( 5 ,± 5) 或 5 4 5 5

(?

2 2 5 ,± 5 ) 也满足 OA ⊥ OB . 5 5
2 2

综上, 存在圆心在原点的圆 x + y = A,B,且 OA ⊥ OB . (3)当 m =

4 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 5

uuu r

uuu r

1 x2 时,轨迹 E 的方程为 + y 2 = 1 ,设直线 l 的方程为 y = kx + t ,因为直线 l 与圆 4 4
10

山东高考文科数学 07~11 年分类解析

解析几何部分

C: x + y = R (1<R<2)相切于 A1, 由(2)知 R =
2 2 2

t 1+ k
2

,

即 t = R (1 + k )
2 2 2

①,

因为 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1,

? y = kx + t ? 由(2)知 ? x 2 得 x 2 + 4( kx + t ) 2 = 4 , 2 ? + y =1 ?4
即 (1 + 4k ) x + 8ktx + 4t ? 4 = 0 有唯一解
2 2 2

则△= 64k t ? 16(1 + 4k )(t ? 1) = 16(4k ? t + 1) = 0 ,
2 2 2 2 2 2

即 4k ? t + 1 = 0 ,
2 2



? 2 3R 2 ? t = 4 ? R2 ? 由①②得 ? , 2 ?k 2 = R ? 1 ? ? 4 ? R2

此时 A,B 重合为 B1(x1,y1)点,

8kt ? ? x1 + x2 = ? 1 + 4k 2 4t 2 ? 4 16 R 2 ? 16 ? 2 中 x1 = x 2 ,所以, x1 = = , 由? 1 + 4k 2 3R 2 4t 2 ? 4 ? xx = ? 1 2 1 + 4k 2 ?
B1(x1,y1)点在椭圆上,所以 y1 = 1 ?
2

1 2 4 ? R2 4 2 2 2 x1 = ,所以 | OB1 | = x1 + y1 = 5 ? 2 , 2 4 3R R
2 2 2

在 直 角 三 角 形 OA1B1 中 , | A1 B1 | =| OB1 | ? | OA1 | = 5 ?

4 4 ? R2 = 5 ? ( 2 + R2 ) 因 为 2 R R

4 + R 2 ≥ 4 当且仅当 R = 2 ∈ (1, 2) 时取等号,所以 | A1 B1 |2 ≤ 5 ? 4 = 1 ,即 2 R
当R =

2 ∈ (1, 2) 时|A1B1|取得最大值,最大值为 1.

【命题立意】 :本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以 通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题. 10·9 已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) ,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与 A 、 B 两点, 若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为 (A) x = 1 (B) x = ?1 (C) x = 2 (D) x = ?2 【答案】B 【解析】设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ), 则有 y1 = 2 px1 , y2 = 2 px2 ,两式相减得:
2 2

11

山东高考文科数学 07~11 年分类解析

解析几何部分

( y1 ? y2 )( y1 + y2 ) = 2 p ( x1 ? x2 ) ,又因为直线的斜率为 1,所以

y1 ? y2 = 1 ,所以有 x1 ? x2

y1 + y2 = 2 p ,又线段 AB 的中点的纵坐标为 2,即 y1 + y2 = 4 ,所以 p = 2 ,所以抛物线
的准线方程为 x = ?

p = ?1 。 2

【命题意图】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识, 10·16 已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l: y = x ? 1 被该圆所截得 的弦长为 2 2 ,则圆 C 的标准方程为 【答案】 ( x ? 3) 2 + y 2 = 4 【解析】由题意,设圆心坐标为 (a,0) ,则由直线 l: y = x ? 1 被该圆所截得 .

的弦长为 2 2 得, (

| a-1| 2 ) +2=(a-1) 2 ,解得 a=3 或-1,又因为圆心在 x 轴的正半轴上,所 2

以 a=3 ,故圆心坐标为(3,0) ,又已知圆 C 过点(1,0) ,所以所求圆的半径为 2,故圆 C 的标准方程为 ( x ? 3) 2 + y 2 = 4 。 【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系,考查了同学们解 决直线与圆问题的能力。

10·22(本小题满分 14 分)

如图,已知椭圆

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 过点. a2 b2

(1,

2 2 ) ,离心率为 ,左、右焦点分别为 F1 、 2 2

F2 .点 P 为直线 l : x + y = 2 上且不在 x 轴上的任意
一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A 、 B 和 C 、 D , O 为坐标原点. (I)求椭圆的标准方程; (II)设直线 PF1 、 PF2 的斜线分别为 k1 、 k 2 .

(i)证明:

1 3 ? =2; k1 k2

使得直线 OA 、 OB 、OC 、OD 的斜率 kOA 、kOB 、 (ii) 问直线 l 上是否存在点 P ,
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山东高考文科数学 07~11 年分类解析

解析几何部分

kOC 、 kOD 满足 kOA + kOB + kOC + kOD = 0 ?若存在,求出所有满足条件的点 P 的坐标;若
不存在,说明理由.

【解析】 (Ⅰ)解:因为椭圆过点(1,

2 2 ) ,e= , 2 2

所以

1 1 c 2 + 2 = 1, = . 2 a 2b a 2

又 a2=b2+c2, 所以 a =

2,b = 1,c = 1 ,故所求椭圆方程为

x2 + y 2 = 1. 2

(Ⅱ) (i)设点 P( x0 , y0 ) ,则 k1 =

y0 y0 , k2 = ,因为点 P 不在 x 轴上,所以 x0 + 1 x0 ? 1

y0 ≠ 0 ,又 x0 + y0 =2,所以
因此结论成立。

1 3 x0 + 1 3( x0 ? 1) 4 ? 2 x0 2 y0 ? = ? = = = 2, k1 k2 y0 y0 y0 y0

11· 9.设 M( x0 ,y0 )为抛物线 C:x 2 = 8 y 上一点, 为抛物线 C 的焦点, F 为圆心、 FM F 以 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是
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山东高考文科数学 07~11 年分类解析

解析几何部分

(A)(0,2) 【答案】C

(B)[0,2]

(C)(2,+∞)

(D)[2,+∞)

【解析】设圆的半径为 r,则 r = FM = y 0 + 2 ,因为 F(0,2)是圆心, 抛物线 C 的准线方程 为 y = ?2 ,F 到准线的距离为 4, 所以 y 0 + 2 > 4 , y0 > 2 , 选 C.考查抛物线的概念和性

11·15.已知双曲线

x2 y2 x 2 y2 ? 2 = 1(a>0,b>0) 和椭圆 + =1 有相同的焦点,且双曲线 a2 b 16 9
.

的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为

【答案】

x2 y2 ? =1 4 3
7 ,又因为双曲线的离心率

【解析】由题意知双曲线的焦点为 (? 7 ,0) 、 ( 7 ,0) ,即 c =



c 2 7 x2 y2 2 = ,所以 a = 2 ,故 b = 3 ,双曲线的方程为 ? = 1 ,考查双曲线、椭圆 a 4 4 3

的方程和性质,基本量的计算,容易题。 质,中档题。 11·22.(本小题满分 14 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 + y 2 = 1 .如图所示,斜率为 k (k>0) 且不 3

过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点,线段 AB 的中点为 E ,射线 OE 交椭圆 C 于点 G , 交直线 x = ?3 于点 D ( ?3, m ) . (Ⅰ)求 m 2 + k 2 的最小值; (Ⅱ)若 OG = OD ? OE , (i)求证:直线 l 过定点;
2

(ii)试问点 B , G 能否关于 x 轴对称?若能,求出此时 ?ABG 的外接圆方程;若不能, 请说明理由. y D G E A O x B

?3

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山东高考文科数学 07~11 年分类解析

解析几何部分

【解析】考查椭圆的概念性质,直线和椭圆的关系,考查探究、计算推理能力,难题。 解: (Ⅰ)由题意:设直线 l : y = kx + n( n ≠ 0) ,

? y = kx + n ? 2 2 2 由 ? x2 消 y 得: (1 + 3k ) x + 6knx + 3n ? 3 = 0 ,设 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) ,AB 的中 2 ? + y =1 ?3
点 E

( x0 , y0 )

,















:

x1 + x2

=

?3kn ?3kn n , y0 = kx0 + n = ×k + n = , 所 以 中 点 E 的 坐 标 为 2 2 1 + 3k 1 + 3k 1 + 3k 2 ?3kn n 1 m E( , ) ,因为 O、E、D 三点在同一直线上,所以 kOE = K OD ,即 ? =? , 2 2 1 + 3k 1 + 3k 3k 3 x0 =
解得

?6kn 1 + 3k 2

,



m=

1 1 ,所以 m 2 + k 2 = 2 + k 2 ≥ 2 ,当且仅当 k = 1 时取等号,即 m 2 + k 2 的最小值为 2. k k

m ? ?y = ? 3 x m ? 得交 (Ⅱ) (i)证明:由题意知:n>0,因为直线 OD 的方程为 y = ? x ,所以由 ? 2 3 ? x + y2 = 1 ?3 ?
点 G 的纵坐标为 yG =

m2 n 2 ,又因为 yE = , yD = m ,且 OG = OD ? OE ,所 2 2 m +3 1 + 3k

m2 n 1 以 2 = m? ,又由(Ⅰ) 知: m = ,所以解得 k = n ,所以直 线 l 的方程为 2 m +3 1 + 3k k l : y = kx + k ,即有 l : y = k ( x + 1) ,令 x = ?1 得,y=0,与实数 k 无关,所以直线 l 过定点
(-1,0). (ii)假设点 B , G 关于 x 轴对称,则有 ABG 的外接圆的圆心在 x 轴上,又在线段 AB 的 中垂线上, 由(i)知点 G( (

?3 m2 + 3

,

m m2 + 3

) ,所以点 B( (

?3 m2 + 3

,

?m m2 + 3

) ,又因为直线 l 过定

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山东高考文科数学 07~11 年分类解析

解析几何部分

?m
点(-1,0),所以直线 l 的斜率为

m2 + 3 = k ,又因为 m = 1 ,所以解得 m 2 = 1 或 6,又 ?3 k +1 2 m +3
2

因为 3 ? m > 0 ,所以 m = 6 舍去,即 n = 1 ,此时 k=1,m=1,E (
2 2

?3 1 , ) ,AB 的中垂线为 4 4

2x+2y+1=0, 圆心坐标为 (?

1 ?3 1 5 1 2 5 2 , 0) , ( , ) ,圆半径为 G( , 圆的方程为 ( x ? ) + y = . 2 2 2 2 2 4

综上所述, 点 B , G 关于 x 轴对称,此时 ABG 的外接圆的方程为 ( x ? ) + y =
2 2

1 2

5 . 4

16


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