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第2讲 椭圆、双曲线、抛物线


椭圆、双曲线、抛物线
x2 y2 1.(2015· 福建改编)若双曲线 E: - =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线 E 上,且 PF1=3, 9 16 则 PF2 等于________.1.9 解析 -PF1=6,∴PF2=9. 2.(2014· 课标全国Ⅰ改编)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线

PF 与 C → → 的一个交点,若FP=4FQ,则 QF 等于________.3 PQ 3 → → → → 解析 ∵FP=4FQ,∴|FP|=4|FQ|,∴ = .如图,过 Q 作 QQ′⊥l,垂足为 Q′, PF 4 设 l 与 x 轴的交点为 A,则 AF=4,∴ PQ QQ′ 3 = = , PF AF 4 由双曲线定义|PF2-PF1|=2a,∵PF1=3,∴P 在左支上,∵a=3,∴PF2

∴QQ′=3,根据抛物线定义可知 QQ′=QF=3. 3. (2015· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中, P 为双曲线 x2-y2=1 右支上的一个动点. 若 点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为________.. 2 解析 2 双曲线 x2-y2=1 = 2 .由点 P 2

的渐近线为 x± y=0,直线 x-y+1=0 与渐近线 x-y=0 平行,故两平行线的距离 d= 2 2 ,故 c 的最大值为 . 2 2

|1-0| 1 +1
2

2

到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立,得 c≤

y2 4.(2014· 安徽)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ 2=1(0<b<1)的左,右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A,B b 3 两点.若 AF1=3F1B,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程为_______x2+ y2=1 2 y2 解析 设点 B 的坐标为(x0,y0).∵x2+ 2=1,∴F1(- 1-b2,0),F2( 1-b2,0). b → → ∵AF2⊥x 轴,∴A( 1-b2,b2).∵AF1=3F1B,∴AF1=3F1B,∴(-2 1-b2,-b2) 5 b2 5 b2 =3(x0+ 1-b2,y0).∴x0=- 1-b2,y0=- .∴点 B 的坐标为 -3 1-b2,- 3 . 3 3

(

)

5 b2 y2 2 3 将 B -3 1-b2,- 3 代入 x2+ 2=1,得 b2= .∴椭圆 E 的方程为 x2+ y2=1. b 3 2

(

)

1.以填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质?特别是离心率?.2.以解答题形式考查直线与 圆锥曲线的位置关系?弦长、中点等?. 热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1.圆锥曲线的定义(1)椭圆:PF1+PF2=2a(2a>F1F2);(2)双曲线:|PF1-PF2|=2a(2a<F1F2); (3)抛物线:PF=PM,点 F 不在直线 l 上,PM⊥l 于 M.

2.求解圆锥曲线标准方程“先定型,后计算”所谓“定型” ,就是曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓“计 算” ,就是指利用待定系数法求出方程中的 a2,b2,p 的值. 例1 解析 x2 y2 (1)若椭圆 C: + =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上,且 PF2=4,则∠F1PF2=_120_______. 9 2 (1)由题意得 a=3,c= 7,所以 PF1=2.在△F2PF1 中,由余弦定理可得 cos∠F2PF1= 42+22-?2 7?2 2×4×2

1 =- .又因为 cos∠F2PF1∈(0° ,180° ),所以∠F2PF1=120° .. 2 x2 y2 (2)(2015· 丰台模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点坐标为(2,0), a b y2 x2 y2 b b 则双曲线的方程为_ x2- =1_______.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x,故可知 = 3, 3 a b a a y2 又∵焦点坐标为(2,0)∴c= a2+b2=2,解得 a=1,b= 3.∴双曲线方程为 x2- =1 3 思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质,注意焦点在不同坐标轴上时,椭圆、

双曲线、抛物线方程的不同表示形式.(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法,可结合草图确定. 跟踪演练 1 x2 y2 3 (1)(2014· 大纲全国改编)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 , a b 3 (1)由

x2 y2 过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为_____ + =1___.解析 3 2 e=

3 c 3 得 = .①又△AF1B 的周长为 4 3,由椭圆定义,得 4a=4 3,得 a= 3,代入①得 c=1,∴b2=a2 3 a 3

x2 y2 -c2=2,故 C 的方程为 + =1. 3 2 x2 y2 (2)(2015· 天津改编)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2, 3) ,且双曲线的一个焦点在抛 a b x2 y2 b 物线 y2=4 7x 的准线上,则双曲线的方程为________.(2)双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x,又渐 a b a 2b 近线过点(2, 3), 所以 = 3, 即 2b= 3a, ①抛物线 y2=4 7x 的准线方程为 x=- 7, 由已知, 得 a2+b2 a x2 y2 = 7,即 a2+b2=7,②联立①②解得 a2=4,b2=3,所求双曲线的方程为 - =1 4 3 热点二 圆锥曲线的几何性质 1.椭圆、双曲线中,a,b,c 之间的关系 c (1)在椭圆中: a2=b2+c2, 离心率为 e= = a b c 1-? ?2; (2)在双曲线中: c2=a2+b2, 离心率为 e= = a a b 1+? ?2. a

x2 y2 b 2.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x.注意离心率 e 与渐近线的斜率的关系. a b a 例2 x2 y2 (1)椭圆 Γ: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y= 3(x+c)与椭圆 Γ 的 a b

一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________.

解析

(1)直线 y= 3(x+c)过点 F1(-c,0),且倾斜角为 60° ,所以∠MF1F2=60° ,从而∠MF2F1=30° ,所以 2c 2c = = 3-1. 2a c+ 3c

MF1⊥MF2.在 Rt△MF1F2 中,MF1=c,MF2= 3c,所以该椭圆的离心率 e=

x2 y2 (2)(2015· 盐城模拟)已知双曲线 2- 2=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 a b 作圆 x2+y2=a2 的切线分别交双曲线的左、右两支于点 B、C,且 BC=CF2, 则双曲线的渐近线方程为________________. a b 解析:由题意作出示意图,易得直线 BC 的斜率为 ,cos∠CF1F2= ,又由双 b c 曲线的定义及 BC=CF2 可得 CF1-CF2=BF1=2a,BF2-BF1=2a?BF2=4a, b 4a2+4c2-16a2 2 b b b 故 cos∠CF1F2= = ?b -2ab-2a2=0?( )2-2( )-2=0? =1+ 3,故双曲线的渐近线方 c a a a 2×2a×2c 程为 y=± ( 3+1)x. 思维升华 (1)明确圆锥曲线中 a,b,c,e 各量之间的关系是求解问题的关键.(2)在求解有关离心率的问题

时,一般并不是直接求出 c 和 a 的值,而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点,建立关于参数 c,a, b 的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或范围. 跟踪演练 2 x2 y2 a2 (1)设 F1,F2 分别是椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的左,右焦点,若在直线 x= 上存在点 P,使线段 a b c

PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆的离心率的取值范围是________. 解析 a2 b2 y cy (1)设 P c ,y ,线段 F1P 的中点 Q 的坐标为 2c,2 ,当 kQF 存在时,则 k F P = 2 2, kQF = 2 1 2 a +c

( )

(

)

2 2 ?2c2-b2? 2 cy 2 ?a + c ?· =- 1 ,得 y = ,y ≥0,但注意到 b2-2c2≠0,即 2c2-b2>0,即 3c2 k 2, k F P · QF2 c2 1 b -2c 2

1 3 a2 3 -a2>0,即 e2> ,故 <e<1.当 kQF 不存在时,b2-2c2=0,y=0,此时 F2 为中点,即 -c=2c,得 e= , 3 3 c 3 2 综上,得 3 3 ≤e<1,即所求的椭圆离心率的取值范围是? ,1?. 3 ?3 ?

x2 y2 (2)(2015· 重庆改编)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右顶点为 A, a b 过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B,C 两点,过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线, 两垂线交于点 D, 若 D 到直线 BC 的距离小于 a+ a2+b2, 则该双曲线的渐近线 斜率的取值范围是___________.(2)由题作出图象如图所示. b2 a b b a?a-c? x y b2 由 2- 2=1 可知 A(a,0), F(c,0). 易得 B c, a , C c,- a .∵kAB= = , ∴kCD= .∵kAC a b b2 c-a a?c-a?
2 2

( ) (

2

2

)

b2 a a?a-c? a?a-c? b2 b2 = = ,∴kBD=- .∴lBD:y- =- (x-c), 2 b a b2 a-c a?a-c?

即 y=-

a?a-c? ac?a-c? b2 a?a-c? ac?a-c? b2 b2 a?a-c? x+ + ,lCD:y+ = (x-c),即 y= x- - . 2 2 2 b b a a b b2 b2 a b4 b4 b4 2 2 .∴点 D 到 BC 的距离为?a2?a-c??.∴ 2 ? ? a ?c-a?<a+ a +b =a+c, a ?a-c?
2

∴xD=c+

b2 b ∴b4<a2(c2-a2)=a2b2,∴a2>b2,∴0< 2<1.∴0< <1. a a 热点三 直线与圆锥曲线 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法 (1)代数法:即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x,y 的方程组,消去 y(或 x)得一元方程,此方程根 的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标; (2)几何法:即画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数. 例3 x2 y2 (2015· 江苏改编)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2+ 2=1(a>b> a b 2 a2 ,且右焦点 F 到直线 l:x=- 的距离为 3. 2 c

0)的离心率为

(1)求椭圆的标准方程;(2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分 线分别交直线 l 和 AB 于点 P,C,若 PC=2AB,求直线 AB 的方程. 解 c 2 a2 (1)由题意,得 = 且 c+ =3,解得 a= 2,c=1,则 b=1, a 2 c

x2 所以椭圆的标准方程为 +y2=1 (2)当 AB⊥x 轴时,AB= 2,又 CP=3,不合题意. 2 当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线 AB 的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0, 则 x1,2= -k ? 2k2± 2?1+k2? 2k2 2 2 , ,C 的坐标为? 2 1+2k ?1+2k2 1+2k2?,且 AB= ?x2-x1? +?y2-y1? 2 2?1+k2? .若 k=0,则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,与直线 l 平行,不合题意. 1+2k2 2k2 5k2+2 ? k 1? ? x- ,从而 2?,则 P 点的坐标为 -2, 2=- k ? 1+2k ? k?1+2k2?? 1+2k ?

= ?1+k2??x2-x1?2=

从而 k≠0,故直线 PC 的方程为 y+

2?3k2+1? 1+k2 2?3k2+1? 1+k2 4 2?1+k2? PC= .因为 PC=2AB,所以 = ,解得 k=± 1. |k|?1+2k2? |k|?1+2k2? 1+2k2 此时直线 AB 的方程为 y=x-1 或 y=-x+1 思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程,利用根与系数的关系,设而不求思想,弦长公式等 简化计算;涉及中点弦问题时,也可用“点差法”求解. 跟踪演练 3 y2 (1)(2015· 四川改编)过双曲线 x2- =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近 3

y2 线于 A,B 两点,则 AB 等于________.解析 (1)由题意知,双曲线 x2- =1 的渐近线方程为 y=± 3x,将 3

x=c=2 代入得 y=± 2 3,即 A,B 两点的坐标分别为(2,2 3),(2,-2 3),所以 AB=4 3 x2 y2 (2)(2015· 南开中学月考)已知椭圆 E:2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0), 过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点. 若 a b AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为________________.. x2 y2 x2 y2 1 1 2 2 解析(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆的方程有, 2+ 2=1, 2+ 2=1, a b a b ?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? 两式相减得, + =0.∵线段 AB 的中点坐标为(1,-1), a2 b2 ∴x1+x2=2,y1+y2=-2 代入上式得: y1-y2 b2 0+1 1 = 2.∵直线 AB 的斜率为 = , x1-x2 a 3-1 2

b2 1 ∴ 2= ?a2=2b2,∵右焦点为 F(3,0),∴a2-b2=c2=9,解得 a2=18,b2=9, a 2 又此时点(1,-1)在椭圆内,∴椭圆方程为 x2 y2 + =1. 18 9

y2 x2 练:1.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线上有两点 A,B,若直线 l 的方程为 x+ 2y-2=0,且 a b x2 y2 2 AB⊥l,则椭圆 2+ 2=1 的离心率为________.. a b 2 解析 由条件可知直线 l 的斜率为- 2 a a2 ,又 AB⊥l,可知直线 AB 的斜率为 2,故 = 2,故 2=2,由此可 2 b b

a2 c 2 知 a>b>0,则椭圆的焦点在 x 轴上,设椭圆的焦距为 2c,则 2 2=2,解得椭圆的离心率为 = . a 2 a -c x2 y2 1 3 2.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,且点(1, )在该椭圆上. a b 2 2 (1)求椭圆 C 的方程;(2)过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若△AOB 的面积为 求圆心在原点 O 且与直线 l 相切的圆的方程.解 6 2 , 7

c 1 3 (1)由题意可得 e= = ,又 a2=b2+c2,所以 b2= a2.因 a 2 4

9 4 3 1 x2 y2 为椭圆 C 经过点(1, ),所以 2+ =1,解得 a=2,所以 b2=3,故椭圆 C 的方程为 + =1. 2 a 3 2 4 3 a 4 (2)由(1)知 F1(-1,0),设直线 l 的方程为 x=ty-1,由?x2 y2 ? 4 + 3 =1

?x=ty-1,

消去 x,得(4+3t2)y2-6ty-9=0,显然

6t 9 Δ>0 恒成立,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2= ,y y =- ,所以|y1-y2|= ?y1+y2?2-4y1y2 4+3t2 1 2 4+3t2 = 12 t2+1 6 t2+1 6 2 36t2 36 1 F1O· |y1-y2|= = , 2 2+ 2= 2 ,所以 S△AOB= · 2 7 ?4+3t ? 4+3t 4+3t 4+3t2 17 (舍去), 18

2 化简得 18t4-t2-17=0,即(18t2+17)(t2-1)=0,解得 t2 1=1,t2=-

又圆 O 的半径 r=

|0-t×0+1| 1 2 1 = ,所以 r= ,故圆 O 的方程为 x2+y2= 2 2 1 + t2 1+t2

A组

专题通关

x2 y2 1.已知椭圆 + =1(0<m<9)的左,右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点,若 AF2+BF2 9 m 的最大值为 10,则 m 的值为________.3 解析 -AB≤10,∴AB≥2,(AB)min= x2 y2 已知椭圆 + =1(0<m<9)中,a2=9,b2=m.AF2+BF2=4a 9 m

2b2 2m = =2,解得 m=3 a 3

x2 y2 5 2.(2015· 广东改编)已知双曲线 C: 2- 2=1 的离心率 e= ,且其右焦点为 F2(5,0),则双曲线 C 的方程为 a b 4 x2 y2 ________.. - =1 解析 16 9 c 5 因为所求双曲线的右焦点为 F2(5,0)且离心率为 e= = ,所以 c=5,a=4,b2 a 4

x2 y2 =c2-a2=9,所以所求双曲线方程为 - =1 16 9 3.(2015· 课标全国Ⅱ改编)已知 A, B 为双曲线 E 的左, 右顶点, 点 M 在 E 上, △ABM 为等腰三角形,且顶角为 120° ,则 E 的离心率为________. 2解析 如图,设双曲

x2 y2 线 E 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则 AB=2a,由双曲线的对称性,可设点 M(x1, a b y1)在第一象限内,过 M 作 MN⊥x 轴于点 N(x1,0),∵△ABM 为等腰三角形,且∠ABM=120° ,∴BM=AB= 2a,∠MBN=60° ,∴y1=MN=BMsin∠MBN=2asin 60° = 3a,x1=OB+BN=a+2acos 60° =2a.将点 M(x1, x2 y2 c y1)的坐标代入 2- 2=1,可得 a2=b2,∴e= = a b a a2+b2 = 2. a2

x2 y2 4.已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近 a b 线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为________x2=16y 解析 x2 y2 ∵双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 a b

a2+b2 c 2,∴ = =2,∴b= 3a,∴双曲线的渐近线方程为 3x± y=0,∴抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点 a a

( )

p 0, 到双曲线的渐近线的距离为 2

|

p 3×0± 2 =2,∴p=8.∴所求的抛物线方程为 x2=16y. 2

|

5.(2014· 课标全国Ⅱ改编)设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A,B 两点, 9 O 为坐标原点,则△OAB 的面积为________.5. 解析 4 为 y= 3 3 (x- ),即 4x-4 3y-3=0. 3 4 3 由已知得焦点坐标为 F( ,0),因此直线 AB 的方程 4

方法一 联立抛物线方程化简得 4y2-12 3y-9=0,故|yA-yB|= ?yA+yB?2-4yAyB=6. 1 1 3 9 因此 S△OAB= OF|yA-yB|= × ×6= . 2 2 4 4 方法二 联立方程得 x2- 21 9 21 x+ =0,故 xA+xB= .根据抛物线的定义有 2 16 2

AB=xA+xB+p=

|-3| 21 3 3 1 9 + =12,同时原点到直线 AB 的距离为 h= = ,因此 S△OAB= AB· h= . 2 2 2 4 2 2 8 4 +?-4 3?

x2 y2 6.已知 P 为椭圆 + =1 上的一点,M,N 分别为圆(x+3)2+y2=1 和圆(x-3)2+y2=4 上的点,则 PM+ 25 16 PN 的最小值为__7 解析 由题意知椭圆的两个焦点 F1,F2 分别是两圆的圆心,且 PF1+PF2=10,从而 PM

+PN 的最小值为 PF1+PF2-1-2=7.______. 7.已知点 P(0,2),抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,线段 PF 与抛物线 C 的交点为 M,过 M 作抛物线准 线的垂线,垂足为 Q,若∠PQF=90° ,则 p=___ 2解析 p 由抛物线的定义可得 MQ=MF,F( ,0),又 PQ 2

p p p ⊥QF,故 M 为线段 PF 的中点,所以 M( ,1),把 M( ,1),代入抛物线 y2=2px(p>0)得,1=2p× ,解得 4 4 4 p= 2,故答案为 2._____. x2 y2 8.(2015· 山东)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 C2:x2=2py(p a b 3 >0)交于点 O,A,B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 的离心率为__. 解析 2 b b 方程为 y= x,直线 OB 的方程为 y=- x. a a 由题意,不妨设直线 OA 的

?y=bx, 由? a ?x2=2py,

2pb 2pb2 b 2pb 2pb2 得 x2=2p · x,∴x= ,y= 2 ,∴A a , a2 . a a a

(

)

2pb2 p - a2 2 p 设抛物线 C2 的焦点为 F,则 F 0,2 ,∴kAF= .∵△OAB 的垂心为 F,∴AF⊥OB, 2pb a

( )

2pb2 p - a2 2 b b2 5 ∴kAF· kOB=-1,∴ · -a =-1,∴ 2= .设 C1 的离心率为 e, 2pb a 4 a

( )

c2 a2+b2 5 9 3 则 e2= 2= 2 =1+ = .∴e= . ______. a a 4 4 2 1 9.(2015· 扬州模拟)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 2,离心率为 . 2 → → (1)求椭圆 C 的方程;(2)设直线 l 经过点 M(0,1),且与椭圆 C 交于 A,B 两点,若AM=2MB,求直线 l 的方 程.解 x2 y2 c 1 (1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>0,b>0),因为 c=1, = ,所以 a=2,b= 3, a b a 2

x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)由题意得直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx+1,联立方程?x2 y2 ? 4 + 3 =1, → → 得(3+4k2)x2+8kx-8=0,且 Δ>0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由AM=2MB,得 x1=-2x2,

?y=kx+1,

?x +x =3+4k , 又? -8 x= , ?x · 3+4k
- 8k
1 2 2 1 2 2

?-x =3+4k , 所以? -8 ?-2x =3+4k ,
- 8k
2 2 2 2 2

8k 2 4 消去 x2 得( )= , 3+4k2 3+4k2

1 1 1 解得 k2= ,k=± ,所以直线 l 的方程为 y=± x+1,即 x-2y+2=0 或 x+2y-2=0. 4 2 2 1 10.(2015· 浙江)如图,已知抛物线 C1:y= x2,圆 C2:x2+(y-1)2=1,过点 P(t,0)(t 4 >0)作不过原点 O 的直线 PA,PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切,A,B 为切点. (1)求点 A,B 的坐标;(2)求△PAB 的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共 点为切点.解 (1)由题意知直线 PA 的斜率存在,故可设直线 PA 的方程为 y=k(x-t).

?y=k?x-t?, 由? 1 2 ?y=4x

消去 y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直线 PA 与抛物线相切,得 k=t,

因此,点 A 的坐标为(2t,t2).设圆 C2 的圆心为 D(0,1),点 B 的坐标为(x0,y0),由题意知: 1 B,O 关于直线 PD 对称,且直线 PD:y=- x+1, t

?y0=-x0+1, 2t 故? 2 ?x0t-y0=0.

?x0= 2t 2, ? 1+t 解得? 2 t2 y0= ? ? 1+t2.

2t 2 t2 因此,点 B 的坐标为?1+t2,1+t2?.

?

?

(2)由(1)知,AP=t· 1+t2 和直线 PA 的方程 tx-y-t2=0,点 B 到直线 PA 的距离是 d= 1 t3 设△PAB 的面积为 S(t),所以 S(t)= AP· d= . 2 2 B组 能力提高

t2 , 1+t2

11.(2014· 辽宁改编)已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于 4 点 B, 记 C 的焦点为 F, 则直线 BF 的斜率为___. 解析 3 p 抛物线 y2=2px 的准线为直线 x=- , 而点 A(-2,3) 2

p 在准线上,所以- =-2,即 p=4,从而 C:y2=8x,焦点为 F(2,0).设切线方程为 y-3=k(x+2),代入 y2 2 k k 1 =8x 得 y2-y+2k+3=0(k≠0),①由于 Δ=1-4× (2k+3)=0,所以 k=-2 或 k= . 8 8 2 1 1 因为切点在第一象限,所以 k= .将 k= 代入①中,得 y=8,再代入 y2=8x 中得 x=8, 2 2 4 所以点 B 的坐标为(8,8),所以直线 BF 的斜率为 ._. 3 a2 x2 y2 12.已知圆 x2+y2= 上点 E 处的一条切线 l 过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F,且与双曲线的右支 16 a b

26 → 1 → → 交于点 P,若OE= (OF+OP),则双曲线的离心率是__________. 解析 2 4 图所示,设双曲线的右焦点为 H,连结 PH, a → 1 → → 由题意可知 OE= ,由OE= (OF+OP),可知 E 为 FP 的中点. 4 2



1 a 由双曲线的性质,可知 O 为 FH 的中点,所以 OE∥PH,且 OE= PH,故 PH=2OE= .由双曲线的定义, 2 2 可知 PF-PH=2a(P 在双曲线的右支上), 所以 PF=2a+PH= 5a .因为直线 l 与圆相切,所以 PF⊥OE.又 OE∥PH,所以 PF⊥PH. 2

a 5a c 26 26 在 Rt△PFH 中,FH2=PH2+PF2,即(2c)2=( )2+( )2,整理得 = ,即 e= . 2 2 a 4 4 x2 y2 13.已知抛物线 y2=4x 的准线过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点且与双曲线交于 A,B 两点,O 为坐标 a b 3 原点,且△AOB 的面积为 ,则双曲线的离心率为______2 解析 2 抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=-1,由题

b2 b2 3 意知,双曲线的左焦点坐标为(-1,0),即 c=1,且 A(-c, ),B(-c,- ),因为△AOB 的面积为 ,所以 a a 2 1-a2 3 1 b2 3 b2 3 1 c 1 ×2× ×1= ,即 = ,所以, = ,解得 a= ,∴e= = =2.______. 2 a 2 a 2 a 2 2 a 1 2 14.已知椭圆 C 的长轴左、右顶点分别为 A,B,离心率 e= 2 ,右焦点为 F, 2

→ → 且AF· BF=-1.(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)若 P 是椭圆 C 上的一动点,点 P 关于坐标原点的对称点为 Q, 点 P 在 x 轴上的射影点为 M,连结 QM 并延长交椭圆于点 N,求证:∠QPN=90° . x2 y2 (1)解 依题意,设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b c 2 → → 则 A(-a,0),B(a,0),F(c,0),由 e= = ,得 a= 2c.①由AF· BF=-1, a 2 得(c+a,0)· (c-a,0)=c2-a2=-1.②联立①②,解得 a= 2,c=1,所以 b2=1, x2 故椭圆 C 的方程为 +y2=1. 2 (2)证明 设 P(x1,y1),N(x2,y2),由题意知 xi≠0,yi≠0(i=1,2),且 x1≠x2, 又 Q(-x1,-y1),M(x1,0).由 Q,M,N 三点共线,知 kQM=kQN,所以 y1 y2+y1 = .③ 2x1 x2+x1

2 2 2 2?y2+y1? y2-y1 ?x2 y1 y2-y1 2+2y2?-?x1+2y1? 又 kPQkPN+1= · +1.④把③代入④, 得 kPQkPN+1= · +1= .⑤因为点 2 2 x1 x2-x1 x2+x1 x2-x1 x2-x1 2 2 2 P,N 在椭圆上,所以 x2 1+2y1=2,x2+2y2=2,⑥

把⑥代入⑤,得 kPQkPN+1=

2-2 . 2=0,即 kPQkPN=-1,所以∠QPN=90° x2 2-x1


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