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北京市丰台区2013届高三元月上学期期末考试数学文试题

时间:2013-01-25


北京市丰台区 2013 届高三元月上学期期末考试数学文试题
一、选择题:共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项. 1.设全集 U={1,3,5,7},集合 M={1, a }, CU M ? {5,7},则实数 a 的值为 (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7

2.如图,某三棱锥的三

视图都是直角边为 2 的等腰直角三角形,则该三棱 锥的体积是 (A)

4 3

(B)

8 3

(C) 4

(D) 8

3.“ x ? 0 ”是“ x ?

1 ? 2 ”的 x
(B) 必要但不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

(A) 充分但不必要条件 (C) 充分且必要条件

4.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,则恰有一个红球的概率是 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

5 6

5.函数 y ? 2sin(? x ? ? ) 在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式是 (A) (B) (C) (D)

y ? 2sin(2 x ? ) 4 y ? 2sin(2 x ? ) 4 3? y ? 2sin( x ? ) 8 x 7? y ? 2sin( ? ) 2 16
开 始 S=0, n=0

?

?

6.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为. (A)3 (B)6 (C) 7 (D) 10

7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A( 1, 0 ),B(0,1),点 C 在第一象限内,

?AOC ?
(A)

?
6

??? ? ??? ? ??? ? ,且|OC|=2,若 OC ? ?OA ? ?OB ,则 ? , ? 的值是
(B) 1, 3

S ?S?n

n=n+1 否

n>3? 是 输出 S 结 束

3 ,1
3 ,1 3

(C)

(D) 1,

3 3

8.已知函数 f(x)= ax ? bx ? c ,且 a ? b ? c, a ? b ? c ? 0 ,则
2

(A) ?x ? ? 0,1? , 都有 f(x)>0 (C) ?x0 ? ? 0,1? , 使得 f(x0)=0

(B) ?x ? ? 0,1? , 都有 f(x)<0 (D) ?x0 ? ? 0,1? , 使得 f(x0)>0

二、填空题:共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.某高中共有学生 900 人,其中高一年级 240 人,高二年级 260 人,为做某项调查,拟采用分层抽 样法抽取容量为 45 的样本,则在高三年级抽取的人数是 ______.

? x ? 2, ? 10.不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域的面积是___________. ? y ? x ?1 ?
11.设 f ( x) ? ?
2

?3e x ?1 , x<2, ? 则f ( f (2))的值为 2 ?log 3 ( x ? 1),x ? 2. ?

.

2 12.圆 ? x ? a ? ? y ? 1 与直线 y=x 相切于第三象限,则 a 的值是



13.已知 ?ABC 中,AB= 3 ,BC=1,tanC= 3 ,则 AC 等于______. 14.右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每 数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第 i 行第 j 列的数为 aij ( i ? j , i, j ? N ) ,则 a53 等于
*

, amn ? ____(m ? 3) .

1 4 1 1 , 2 4 3 3 3 , , 4 8 16


一行

三、解答题共 6 小题, 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 共 15. (本题共 13 分 )函数 f ( x) ? lg( x2 ? 2x ? 3) 的定义域为集合 A,函数 g ( x) ? x ? a(0 ? x ? 4) 的 值域为集合 B. (Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围. 16. (本题共 13 分 )如图,在平面直角坐标系 xOy 中,锐角 ? 和钝角
y

?
B A

的终边分别与单位圆交于 A , B 两点.

3 12 n (Ⅰ) 若点 A 的横坐标是 , B 的纵坐标是 , s( ? ?)? 的值; 点 求i 5 13 ??? ??? ? ? 3 (Ⅱ) 若∣AB∣= , 求 OA ? OB 的值. 2

O

x

17. (本题共 13 分 ) 如图, 三棱柱 ABC — A1 B1C1 中, 1 ? 平面 ABC, ? BC , 点 AB AA 别为 A1C1 与 A1B 的中点. (Ⅰ)求证:MN // 平面 BCC1B1; (Ⅱ)求证:平面 A1BC ? 平面 A1ABB1. 18. (本题共 14 分 )
A N A1

M B1

C1

M , N分

C B

已知函数 f ( x) ? (ax2 ? bx ? c)e x (a ? 0) 的导函数 y ? f '( x) 的两个零点为-3 和 0. (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x ) 的极小值为-1,求 f ( x ) 的极大值. 19. (本题共 13 分 ) 曲线 C1 , C2 都是以原点 O 为对称中心、离心率相等的椭圆. 点 M 的坐标是(0,1) ,线段 MN 是 C1 的短轴,是 C2 的长轴.直线 l : y ? m(0 ? m ? 1) 与 C1 交于 A,D 两点(A 在 D 的左侧) ,与 C2 交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) . (Ⅰ)当 m=

5 3 , AC ? 时,求椭圆 C1 , C2 的方程; 4 2

(Ⅱ)若 OC ? AN ,求 m 的值. 20. (本题共 14 分 ) 已 知 曲 线 C : y 2 ? 2 x( y ? 0) , A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x2 , y2 ), ???, An ( xn , yn ), ??? 是 曲 线 C 上 的 点 , 且 满 足
0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xn ? ??? ,一列点 Bi (ai ,0)(i ? 1, 2, ???) 在 x 轴上,且 ?Bi ?1 Ai Bi ( B0 是坐标原点)是以 Ai 为

直角顶点的等腰直角三角形. (Ⅰ)求 A1 、 B1 的坐标; (Ⅱ)求数列 { yn } 的通项公式; (Ⅲ)令 bi ?

4 , ci ? ai

? 2?

? yi

,是否存在正整数 N,当 n≥N 时,都有

? bi ? ? ci ,若存在,求出 N
i ?1 i ?1

n

n

的最小值;若不存在,说明理由.

丰台区 2012~2013 学年度第一学期期末练习 高三数学(文科)参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题: 9.20; 13.2; 三.解答题 15 . 本 题 共 13 分 ) 设 关 于 x 的 函 数 f ( x) ? lg( x2 ? 2x ? 3) 的 定 义 域 为 集 合 A , 函 数 ( 1 B 2 A 3 C 4 C 5 B 6 D 7 A 8 B

1 ; 11. 3; 12.- 2 (写 ? 2 给 3 分) ; 2 5 m 14. , n ?1 (第一个空 2 分,第二个空 3 分) 16 2
10.

g ( x) ? x ? a,(0 ? x ? 4) ,的值域为集合 B.
(Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)A= {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ,
2

= {x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0} = {x | x ? ?1, 或x ? 3} , ….…………………..……4 分 B ? { y | ?a ? y ? 4 ? a} . (Ⅱ)∵ ..……………………………………………….…...7 分

A ? B ? B ,∴ B ? A ...….…………………………………………… 9 分

∴ 4 ? a ? ?1 或 ? a ? 3 , ∴实数 a 的取值范围是{a| a ? 5 或 a ? ?3 }.….………………..…………………..13 分 16. (本题共 13 分)如图,在平面直角坐标系中,角 ? 和角 ? 的终边分别与单位圆交于 A , B 两点. (Ⅰ)若点 A 的横坐标是

3 12 ,点 B 的纵坐标是 ,求 5 13
B

y A

sin( ? ? )的值; ?

O

x

(Ⅱ) 若∣AB∣=

??? ??? ? ? 3 , 求 OA ? OB 的值. 2
12 ,……………………………………………………2 分 13

解: (Ⅰ)根据三角函数的定义得,

co? ? s

3 , 5

sin ? ?

∵ ? 的终边在第一象限,∴ sin ? ? ∵ ? 的终边在第二象限,∴

4 . 5

……………………………………3 分

5 . ………………………………4 分 13 4 5 3 12 16 ∴ sin(? ? ? ) = sin ? cos ? ? cos ? sin ? = ?(? ) + ? = .………7 分 5 13 5 13 65 ??? ??? ? ? ??? ? 3 (Ⅱ)方法(1)∵∣AB∣=| AB |=| OB ? OA | ? ,……………………………9 分 2 ??? ??? 2 ??? 2 ??? 2 ??? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? 又∵ | OB ? OA | ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? 2 ? 2OA ? OB , …………11 分 cos ?? ?
∴ 2 ? 2OA ? OB ?

??? ??? ? ?

∴ OA ? OB ? ? . ……………………………………………………………13 分 方法(2)∵ cos ?AOB ?

??? ??? ? ?

9 . 4

1 8

| OA |2 ? | OB |2 ? | AB |2 1 ? ? ,………………10 分 2 | OA || OB | 8
1 .…………………………………13 分 8

∴ OA ? OB = | OA || OB | cos ?AOB ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

17. (本题共 13 分)如图三棱柱 ABC — A1 B1C1 中, AA ? 平面 ABC,AB ? BC , 点 M , N 分别为 A1C1 1 与 A1B 的中点. (Ⅰ)求证:MN // 平面 BCC1B1; (Ⅱ)求证:平面 A1BC ? 平面 A1ABB1. 解:(Ⅰ)连结 BC1 ∵点 M , N 分别为 A1C1 与 A1B 的中点, ∴ MN ∥BC1.........................................................4 分 ∵ MN ? 平面 BCC1B1 , BC1 ? 平面 BCC1B1 , ∴MN∥平面 BCC1B1..................................... ....6 分

(Ⅱ)∵ AA ? 平面ABC , 1

BC ? 平面 ABC ,
∴ AA1 ? BC ....................................................................................................... 9 分 又∵AB ? BC,

AA1 ? AB ? A ,
∴ BC ? 平面A ABB1 ........................................................................................ 12 分 1 ∵ BC ? 平面A BC , 1 ∴平面 A1BC ? 平面 A1ABB1................................................................................ 13 分 18. (本题共 14 分)已知函数 f ( x) ? (ax2 ? bx ? c)e x (a ? 0) 的导函数 y ? f '( x) 的两个零点为-3 和 0. (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x ) 的极小值为-1,求 f ( x ) 的极大值. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? (2ax ? b)e ? (ax ? bx ? c)e ? [ax ? (2a ? b) x ? b ? c]e .…2 分
x 2 x 2 x

令 g ( x) ? ax ? (2a ? b) x ? b ? c ,
2

∵e ? 0,
x

2 ∴ y ? f '( x) 的零点就是 g ( x) ? ax ? (2a ? b) x ? b ? c 的零点,且 f ?( x ) 与 g ( x) 符号相同.

又∵ a ? 0 , ∴当 x ? ?3, 或x ? 0 时, g ( x) >0,即 f ?( x) ? 0 , 当 ?3 ? x ? 0 时, g ( x) <0,即 f ?( x) ? 0 , ………………………………………6 分 ∴ f ( x ) 的单调增区间是(-∞,-3)(0,+∞) , ,单调减区间是(-3,0) .……7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, x =0 是 f ( x ) 的极小值点,所以有

?c ? ?1, ? ?b ? c ? 0, ?9a ? 3(2a ? b) ? b ? c ? 0, ?
解得 a ? 1, b ? 1, c ? ?1 . ………………………………………………………11 分

所以函数的解析式为 f ( x) ? ( x2 ? x ?1)e x . 又由(Ⅰ)知, f ( x ) 的单调增区间是(-∞,-3),(0,+∞) ,单调减区间是(-3,0). 所以,函数 f ( x ) 的极大值为 f (?3) ? (9 ? 3 ? 1)e
?3

?

5 . ……………….…14 分 e3

19. (本题共 13 分) 曲线 C1 , C2 都是以原点 O 为对称中心、 离心率相等的椭圆 . 点 M 的坐标是 (0,1) , 线段 MN 是 C1 的短轴,是 C2 的长轴 . 直线 l : y ? m(0 ? m ? 1) 与 C1 交于 A,D 两点(A 在 D 的左侧) , 与 C2 交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) .

(Ⅰ)当 m=

5 3 , AC ? 时,求椭圆 C1 , C2 的方程; 4 2

(Ⅱ)若 OC ? AN ,求 m 的值. 解:设 C1 的方程为

x2 x2 ? y 2 ? 1 ,C2 的方程为 2 ? y 2 ? 1( a ? 1, 0 ? b ? 1 ) …..2 分 . b a2

∵C1 ,C2 的离心率相同,

a2 ?1 ? 1 ? b 2 ,∴ ab ? 1 ,………………………………..……………………3 分 ∴ 2 a
∴C2 的方程为 a x ? y ? 1 .
2 2 2

当 m=

3 a 3 1 3 ) ,C ( , ) .………………………………….……5 分 时,A (? , 2 2 2 2a 2

5 , 4 1 a 5 1 ? ? ,解得 a=2 或 a= (舍), ……………………………...………..6 分 ∴ 2a 2 4 2
又∵ AC ? ∴C1 ,C2 的方程分别为

x2 ? y 2 ? 1, 4 x2 ? y 2 ? 1 . …………………………..7 分 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A(- a 1 ? m2 ,m),C( ∵OC⊥AN,

1 1 ? m 2 ,m) .……………….……………9 分 a

??? ???? ? . OC ? AN ? 0 ( ? ) ……………………………............................................…10 分
∵ OC =(

??? ?

???? 1 1 ? m 2 ,m) AN =( a 1 ? m2 ,-1-m), , a

代入( ? )并整理得 2m2+m-1=0, ………………………………………………12 分

1 或 m=-1(舍负) , 2 1 ∴m= . ……………………………………………………………………13 分 2
∴m= 20. (本题共 14 分)已知曲线 C : y 2 ? 2 x( y ? 0) , A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x2 , y2 ), ???, An ( xn , yn ), ??? 是曲线 C 上的点, 且满足 0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xn ? ??? ,一列点 Bi (ai ,0)(i ? 1, 2, ???) 在 x 轴上,且 ?Bi ?1 Ai Bi ( B0 是坐标原点)是 以 Ai 为直角顶点的等腰直角三角形. (Ⅰ)求 A1 、 B1 的坐标; (Ⅱ)求数列 { yn } 的通项公式; (Ⅲ)令 bi ?

4 , ci ? ai

? ?
2

? yi

,是否存在正整数 N,当 n≥N 时,都有

? bi ? ? ci ,若存在,求
i ?1 i ?1

n

n

出 N 的最小值;若不存在,说明理由. 解: (Ⅰ)∵?B0A1B1 是以 A1 为直角顶点的等腰直角三角形, ∴直线 B0A1 的方程为 y=x.

?y ? x ? 2 由 ? y ? 2 x 得, x1 ? y1 ? 2 ,得 A1(2,2) B10 , 4 ) , ( ?y ? 0 ?

. ….…….…….…......3 分

(Ⅱ)根据 ?Bn ?1 An Bn 和 ?Bn An ?1 Bn ?1 分别是以 An 和 An?1 为直角顶点的等腰直角三角形可

得,

? a n ? xn ? y n ,即 xn ? yn ? xn?1 ? yn?1 . (*)…….………………………..5 分 ? ? an ? xn ?1 ? yn ?1
∵ An 和 An?1 均在曲线 C : y 2 ? 2 x( y ? 0) 上,
2 2 ∴ yn ? 2xn , yn?1 ? 2xn?1 ,

∴ xn ?

2 yn y2 2 2 , xn ?1 ? n ?1 ,代入(*)式得 yn?1 ? yn ? 2( yn?1 ? yn ) , 2 2

∴ yn?1 ? yn ? 2 ( n ? N ).…………………
*

…………………………..…..….…..7 分

∴数列 { yn } 是以 y1 ? 2 为首项,2 为公差的等差数列, 故其通项公式为 yn ? 2n ( n ? N ) . …………....…………………………...……..8 分
*

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知, xn ?

2 yn ? 2n 2 , ….……………………………………………9 分 2

∴ an ? xn ? yn ? 2n(n ? 1) ,……………………..……………………………….…10 分 ∴ bi ?
n

4 2 ? , ci ? 2i (i ? 1) i (i ? 1)

? 2?
2

? yi

?

1 , 2i



? b ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1)
i ?1 i

2

2

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ) = 2(1 ? ) ,…………….……..11 分 2 2 3 n n ?1 n ?1 1 1 (1 ? n ) n 1 1 1 1 2 ? ci ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ? 2 1 ? 1 ? 2n . …………………….……12 分 i ?1 1? 2
= 2(1 ? 欲使

? bi ? ? ci ,只需 2(1 ?
i ?1 i ?1

n

n

1 1 ) <1 ? n , n ?1 2

n ?1 1 ? ? n , ………………………………………………….…………13 分 n ?1 2 n ?1 1 ? ? 0(n ? N * ), ? n ? 0 , n ?1 2
只需 ∴不存在正整数 N,使 n≥N 时,

? b ? ? c 成立.…………………….14 分
i ?1 i i ?1 i

n

n


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