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《抛物线及其标准方程》教学设计


《抛物线及其标准方程》教学设计
一、设计理念: 1、 遵循新教材对圆锥曲线课程的设置, 从生活实例和圆锥曲线知识本身的内在联系出发。 2、重视数学概念的发生、发展过程,在概念的形成过程中培养学生用类比的思想提出问 题,猜想结论 3、重视学生的学习过程,在教学中充分体现“教师主导、学生主体”的教学理念,注重 培养学生创新思维,独立思考、相互交流、合作探究的能力 二、设计思

路: 1、以类比的思想出发,巩固旧知,引出新知 课本采取的是以二次函数表示抛物线引入,这里,采用了比较传统的类比椭圆和双曲线 的定义出发,结合第二定义进行合理的猜想,引入几何画板,借助多媒体直观展示圆锥曲线 的形成过程,进而给出定义。 类比求前两种曲线方程的步骤求抛物线标准方程 2、加强“数量关系”与“平面图形”的结合 根据抛物线的方程刻画图形,这里不是简单的要求学生记忆一次表示对称轴,符号决定 开口,而是从 X 和 Y 的取值范围刻画图形。 3、重视课本思考题的设置,合理的增加探究题 这里除了课本的思考题外,增加了探讨“二次函数表示抛物线,那么抛物线是否表示二 次函数?”的问题,加强学生对函数对应的本质的再次理解 三、学情分析: 1、学生已有的知识储备情况
抛物线是圆锥曲线中的一种,也是日常生活中常见的一种曲线.一是学生很早就认识了抛物线,二是 学生有了探索圆锥曲线的基本方法和认知,这对于圆锥曲线的后续学习有借鉴、迁移的作用。不管从生活 实例还是从二次函数的图像是抛物线等等出发,可以说学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识. 这 节课的授课对象是我校高二的学生,他们的数学基础知识比较扎实,具有一定的空间想象能力、抽象概括 能力和推理运算的技能,有较好的学习习惯和方法.

2、预计的学生在本节课学习中的难度及对策 1、坐标系的建立 对策: 这里教师不作引导, 由学生自己选择建系方式, 再将学生的结果用投影仪展示出来, 并进行归纳,预设出原点在焦点、在抛物线顶点和在准线与 X 轴交点这三种可能的方案, 2.求抛物线的方程 对策:全班分三组完成,求出不同建系方式下的抛物线方程.通过比较,明确第 2 种建系 方式所得的抛物线方程最简洁,并把这个方程叫做抛物线的标准方程. 3.明确抛物线标准方程的四种形式 对策:从以上推导出的一种形式的抛物线进行数形结合分析,先从形得角度出发求焦点坐标 和准线方程,再从数的角度出发通过研究未知量 X 和 Y 的取值范围刻画抛物线图形,进而得出结 论:一次决定对称轴,符号决定开口。最后分组口答剩余三种图形对应的方程或方程对应的图形。 4.两个思考题的探究 思考一:

你能说明y ? ax2 (a ? 0)的图像为什么是抛物线 吗?指出它的焦点坐标 和准线方程。
对策:引导学生从抛物线定义及其标准方程的形式上进行解答 思考二: 二次函数表示的图形是抛物线,那么以上四种抛物线的图形是否都表示二次函数呢? 对策:引导学生从函数的实质,即对应关系的角度进行分析,从而加深对函数的理解 四、教学目标及分解
据对教材和学情的分析,遵循《普通高中数学课程标准》对本节的教学要求,我将这节课的教学目标、 重点和难点设置为: 教学目标: 1.经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程; 2.掌握抛物线的几何图形,定义和标准方程; 3.进一步巩固圆锥曲线的研究方法,体会类比法,直接法,待定系数法和数形结合思想在数学中的应 用 4.感受抛物线的广泛应用和文化价值,体会学习数学的乐趣和数学美. 教学重点: 1.掌握抛物线的定义与相关概念; 2.掌握抛物线的标准方程; 教学难点: 1、从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义; 2、结合抛物线的标准方程刻画抛物线图形; 3、根据图形写出标准方程。

五、教学基本流程: 生活中抛物线的直观感受 -----数学中由圆锥曲线的第二定义引发的猜想 -------- 类比椭圆 双曲线得出抛物线定义 ----类比求曲线方程一般步骤求抛物线标准方程 ------从数和形的角度 深入分析抛物线四种基本形式 -------课堂练习------新旧知识的对比引发两个对抛物线的思考 题 -------课后作业 六、教学过程设计
教学过程 一、课堂导入 1.生活中的抛物线: (1)重庆菜园坝大桥,长江大桥 (2)篮球赛中投篮的照片,节日里的烟花 设计说明 通过生活中的抛物线使学 生直观感受抛物线在生活中的 存在, 普遍以及赋予生活的美感

通过对第二定义中 e 的分 2.数学中的抛物线: 一元二次函数 的图像是一条抛物线. 析, 顺理成章的分析 e=1 表示的 图形,从而借助多媒体展示

3.圆锥曲线第二定义中对 e 讨论的不完全: 平面内与一定点的距离和一条定直线距离的比是常数 e 的点轨迹。对 e=1 表示的图形的猜想

二、抛物线的定义 1.抛物线的画法 几何画板演示 e 在三种不同取值下表示的图形, 尤其 e=1 的时候让学生 体会运动的点和不变量的关系从而引出抛物线的定义 2.抛物线的定义 问题 1:你能给抛物线下个定义吗? 抛物线的定义:平面内与一个定点 离相等的点的集合叫作抛物线. 问题 2:为什么定点 为过定点 不能在定直线 上?若点 在直线 上,则轨迹 和一条定直线 ( 不过 )的距 通过作图, 尤其在 e=1 的时 候让学生体会运动的点和不变 量之间的关系, 从而引出抛物线 的定义

垂直于直线 的直线 .

3.抛物线的相关概念: 定点 :抛物线的焦点.

定直线 :抛物线的准线. 设 , 焦点到准线的距离.

抛物线的顶点:抛物线的对称轴与抛物线的交点

三、抛物线的方程 1.方程推导 (1)建系

教材只给出了一种建系方 式, 但学生在建系时可能不只一 种.这里,不仅通过对圆锥曲线 一般建系遵循的对称和简洁来 分析,并且大胆让学生自己建 系,并提前设置三种建系方式, 进行分组求解, 最后让学生展示

请同学们将抛物线画在草稿纸上,自己建立平面直角坐标系. (2)推导 问题 3:以下三种建系方式,你认为哪种建系方式最好?分三组分别求 取相应的抛物线方程

结果, 通过对比得出最简单形式 即抛物线的标准方程。

对于左边抛物线标准方程 提示:设 再来求抛物线的方程. 三种建系方式下的抛物线方程分别为: , ,先将抛物线的焦点坐标和准线方程求出来, 及其图形, 分别从数和形的两个 角度对应分析, 加强对 P 的几何 , 意义的理解

.不难得出,第二种建系方式下的抛物线方程最简洁,因 此第二种建系方式最好.

这里做两种引导: 第一种是从形到数的引导: 学生通过求曲线方程步骤对另

外三种图形对应的抛物线标准 方程进行求解, 这里为了节约时 间采取分组求解; 第二种引导是由数到形的 引导:让学生根据标准方程中 X :焦点到准线的距离. 和 Y 的取值范围从而确定抛物 线的对称轴和开口, 进而总结求 焦点坐标和准线方程最快速的 方法。 3.抛物线的四种标准方程 问题 4:你能否分别写出开口向左、向上、向下,顶点在原点,焦点在 坐标轴上的抛物线的标准方程? 具体要求:以顶点在原点,焦点在 轴正半轴上的抛物线的标准方程为 基础,分别写出开口向左、向上、向下,顶点在原点,焦点在坐标轴上 的抛物线的标准方程,不要求写过程.学生先独立思考,再小组合作交 流
图 l y
O

.
形 标准方程 焦点坐标 准线方程

F
l
O

x

y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0)

(

p ,0 ) 2

x??

p 2

y
F

x

y
F
O

l

x

y
l
O F

x

方程的特点: p (1)左边是二 x? 2 次,右边是一 次 p p (2) 一次定轴 x2=2py ( 0, ) y ? ? (p>0) 2 2 (3)符号定向 (4)P的几 p p 何意义 x2=-2py ( 0, ? ) y? (p>0) 2 2

p ( ? ,0 ) 2

2013-1-9

抛物线的标准方程是指顶点放在坐标原点, 焦点放在坐标轴上的抛

这里我要求的是准确刻画

物线的方程,一共有四种形式. 4.例题分析 例 1:抛物线的标准方程是 y 2 ? 4 x ,求它的焦点坐标 和准线方程

出抛物线的图形, 然后再口答出 焦点坐标和准线方程, 通过变式 的探究,加深对标准方程的认 识, 进而总结出结论: 求抛物线 的焦点坐标和准线方程要先求 出抛物线的标准形式

变式
求下列抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程: 6 x ? 5 y 2 ? 0

5.思考探究

你能说明y ? ax2 (a ? 0)的图像为什么是抛物线 吗?指出它的焦点坐标 和准线方程。
对策:引导学生从抛物线定义及其标准方程的形式上进行 解答 思考二: 二次函数表示的图形是抛物线,那么以上四种抛物线的图 形是否都表示二次函数呢? 对策:引导学生从函数的实质,即对应关系的角度进行分 析,从而加深对函数的理解

四、课堂小结 问题 5:这节课你学到了什么?请谈谈你的收获. 1.知识内容:(1)抛物线的定义: (2)抛物线的标准方程: ①焦点在 轴正半轴: ②焦点在 轴负半轴: ③焦点在 ④焦点在 轴正半轴: 轴负半轴: ; ; ; .

培养学生梳理知识点, 总结 知识内容,建构知识体系的能 力.

2.学习方法与过程:类比椭圆的研究方法与过程.

3.学习中用到的数学思想和方法: (1)直接法; (2)待定系数法; (3) 类比的思维方法;(4)数形结合思想. 五、课后延伸 1.课后作业 书,P76,A 组,2 题,3 题,4 题. 2.课后思考 请你思考如何用抛物线的定义来证明一元二次函数 是一条抛物线? 3.课后延展 (1)抛物线型桥梁 通过图片展示南京秦淮河三山桥,湖北宜昌西陵长江大桥,宁波明州 大桥这三座抛物线型桥梁. 提出问题:抛物线型拱桥有哪些特点?有哪些优点?在桥梁的设计上利 用了抛物线的哪些特征? (2)卫星. 提出问题:我们知道卫星天线是根据抛物线原理来制造的.在制造卫星 时利用了抛物线的哪些性质? 对此感兴趣或者学有余力的学生, 可以在课后收集相关资料进行学 习,并作进一步的探讨. 的图像 是对这节课所学方法的巩 固和对初中所学相关内容的同 化,也是为下节课作好铺垫. 感受抛物线的广泛应用和 文化价值,激发学生学习数学的 兴趣和研究问题的热情.


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2.4.1抛物线及其标准方程教学设计

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