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重庆一中高2013级10-11学年(上)半期试题——数学[1] 2

时间:2014-07-06


秘密★启用前

2010 年重庆一中高 2013 级高一上期半期考试

数 学 试 题 卷 2010.12
数学试题共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干 净后,再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分)在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的;各题答案必须答在答题卡上相应的位置.
1、 已知集合 M ? { y | y ? x2 , x ? R}, N ? { y | y ? x, x ? R} ,那么集合 M A. R B. [0, ??) C. (2, ??)

N为 (

)

D. (??,1) )

2、若 a ? logm 0.3 , b ? logm 0.5 A. a ? b B.

, (0 ? m ? 1) 则 a 与 b 的大小关系是 ( C. a ? b )

a?b

D. a , b 的大小不能确定

3、下列每组函数是同一函数的是 ( A. f ( x) ? x ?1 , g ( x) ? ( x ?1) 2 B. f ( x) ? x ? 3 , g ( x) ? C . f ( x) ?

( x ? 3) 2

x2 ? 4 , g ( x) ? x ? 2 x?2
x ?1 x ?3
)

D . f ( x) ? ( x ?1)( x ? 3) , g( x) ?

4、给定映射 f : ( x, y) ? ( x ? 2 y,2 x ? y), 在影射 f 下(3,1)的原象为 ( A. (1, 3) 5、函数 f ( x ) ? A. (??,0) B. (3, 1) C. (1, 1) ) B. (??,0) D. ( , )

2x ? 3 的值域是 ( 2x ? 3

1 1 2 2

(1, ??)

(0, ??)

第1页 共7页

C. (??, ?1)

(?1, ??)

D. (??,1)

(1, ??)

6、若函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 (??,4] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 ( A . a ? ?5 B . a ? ?5 C . a ? ?5 D . a ? ?5 ) )

7、若函数 f ( x ) ? ( k ? 1)( ) ? 2 在 R 上是奇函数,则 ( g ) x ? log 1 ( x ? k ) 的图像是 (
x x

1 2

y
?2 ?1

y

y

2

y

o

x

?2 ?1

o1

x

o

1

2

3

x

o

1

2

3

x

A

B

C

D

8、给出下列命题①若函数 f ( x) 的图象过点(2,1),则 f ( x ? 1) 的图象必过(3,1)点;② y ? lg x 为偶 函 数 , ③ 若 y ? f ( x) 在 区 间 (1 , 2) 上 递 增 , 则 y ? ? f ( x) 在 区 间 (1 , 2) 递 减 ; ④ 函 数

f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 有两个零点;⑤函数 y ? x 2 ? x ? 1的零点可以用二分法求得近似值,其中正确
的是 ( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①②⑤ D. ①③

9、已知函数 f ( x) ? loga ( x2 ? ax ? 3)(a ? 0且a ? 1) 在区间 (??, ] 上单调递减,那么 a 取值范围是 ( )

a 2

A.(1, ??)

B.(1, 2 3)

C.(0, 2 3)

D.(1,3)

10、定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足:当 x ? 0 时, f ( x) ? 2010x ? log2010 x ,则方程 f ( x) ? 0 的实 数根的个数是 ( A. 1 ) B. 2 C. 3 D. 5

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)各题答案必须填写在答题卷相应

的位置上,(只填结果,不要过程). 1 11、设函数 f ( x ) ? 3 ? x ? ,则 f ( x ) 的定义域为 x?2
x



12 、将函数 f ( x) ? 2 的图象先向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位,得到函数的解析式 为: .
2

13、已知函数 f ( x) ? (2m2 ? m) x m
2

? m?1

为幂函数且是奇函数,则实数 m 的值是________

14、计算: (log 2 3) ? 4 log 2 3 ? 4 ? log 2 24 =______________.

第2页 共7页

15 、 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 如 图 , 则 满 足 f ( _______________.

x2 ? 1 ) f (1 ? x 2 ) ? 0 的 x 的 取 值 范 围 是 x

y

O

1

x

三、解答题 :(本大题 6 个小题,共 75 分)各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的 方框内(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程).
16、(13 分)已知集合 P ? {x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1} , Q ? {x | x2 ? 3x ? 10} . (1)若 a ? 3 ,求

(?R P) Q ;

(2)若 ? ? P ? Q ,求实数 a 的取值范围.

17、 (13 分)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2x , (1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)当 x ? [ ?4, ] 时, 求函数 f ( x ) 的值域.

3 8

18、(13 分)已知函数 f ( x) ? x ? (1)求实数 m 的值; (2)判断 f ( x ) 奇偶性;

m ,且此函数图像过点(1,5). x

(3)讨论函数 f ( x ) 在 [2, ??) 上的单调性,并用定义证明你的结论.

19、(12 分)某商品定价为每件 60 元,不加收附加税时每年大约销售 80 万件,若政府征收附加税,每 销售 100 元要征收 p 元(即税率为 p% ),因此每年销量将减少

20 p 万件. 3

(1)将政府每年对该商品征收的总税金 y (万元),表示成 p 的函数,并指出这个函数的定义域; (2)要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于 128 万元,问税率 p% 应怎样确定?

第3页 共7页

20、(12 分)已知函数 f ( x) ? lg x ? 1 , g ( x) ? lg(2 x ? t ) ( t 为参数) (1)当函数 g ( x) 在 x ? [0,1] 上恒有意义时,求实数 t 的取值范围; (2)如果当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 t 的取值范围.

21、(12 分)已知函数 f ( x) ? log 1 x ,
3

(1)当 x ? [ , 3] 时,求 f ( x ) 的反函数 g ( x) ; (2)求关于 x 的函数 y ? [ g ( x)]2 ? 2ag ( x) ? 3(a ? 3), 当 x ?[?1,1] 时的最小值 h(a) ; (3)我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数” : ①函数在整个定义域上是单调增函 数或单调减函数; ②在函数的定义域内存在区间 [ p, q]( p ? q), 使得函数在区间 [ p, q ] 上的值域 为[ p , q ]. (Ⅰ)判断(2)中 h( x) 是否为“和谐函数”?若是,求出 p, q 的值或关系式;若不是,请说明理由; (Ⅱ)若关于 x 的函数 y ? ,求实数 t 的取值范围. x2 ? 1 ? t ( x ? 1) 是“和谐函数”
2 2

1 3

2010 年重庆一中高 2013 级高一半期考试数学试题答案(本部)
1——5 BABCD 6——10 BAABC

第4页 共7页

11、 {x | x ? 3且x ? ?2} , 12、 y ? 2x?2 ? 3 ,

13、 ?1 , 14、5 , 15、 {x | x ? 0} ;

16、解:(1)因为 a ? 3 ,所以 P ? {x | 4 ? x ? 7} , ?R P ? {x | x ? 4, 或x ? 7}. 又 Q ? {x | x2 ? 3x ?10 ? 0} ? {x | ?2 ? x ? 5}, 所以 (?R P) (2)因为 P ? ?,? a ? 0, 解得 a ? 2;

Q ? {x | ?2 ? x ? 4}.

?a ? 1 ? ?2, P ? Q, ?? ?2a ? 1 ? 5.

综上,实数 a 的取值范围是 [0, 2] .

17、解:(1)要使函数有意义,则 1 ? 2 x ? 0,? x ?

1 1 ,所以该函数的定义域为 {x | x ? } 2 2
1 2

(2)令 t ? 1 ? 2 x , 由 x ? [ ?4, ] 得 t ? [ , 3] ,且 x ?

3 8

1? t2 , 2

?y ?

1 1? t2 1 ? t ? ? (t ? 1) 2 ? 1 . 因为 t ? [ ,3] ,所以 y ?[?1,1] . 2 2 2

即所求函数的值域为 [?1,1] . 18、解:(1)

f ( x) 过点(1,5) ?1 ? m ? 5 ? m ? 4 .
4 , x ? 0, x

(2)对于 f ( x) ? x ?

? f ( x) 的定义域为 (??,0) (0, ??) 关于原点对称.
? f (? x) ? ? x ? 4 ? ? f ( x) , ? f ( x) 为奇函数. ?x

(3)设 x1 , x2 ?[2, ??) , 且 x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? ? ( x1 ? x2 ) ? ?

4 4 ? x2 ? x1 x2

4( x2 ? x1 ) x1 x2

( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 4) , x1 x2

因为 x1 , x2 ?[2, ??) ,且 x1 ? x2 ,所以 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 4, x1 x2 ? 0 ,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,

? f ( x) 在 [2, ??) 上单调递增.
20 20 p ) 万件,年收入为 60(80 ? p ) 万元, 3 3

19、解:(1)由题意,该商品年销售量为 (80 ?

第5页 共7页

故所求函数为 由 80 ?

y ? 60(80 ?

20 p) p% , 3

20 p ? 0 ,且 p ? 0 得,定义域为(0,12). 3 20 p ) p % ? 128 (2)由 y ? 128, 得 60(80 ? 3
化简得 p2 ?12 p ? 32 ? 0,( p ? 4)( p ? 8) ? 0 ,解得 4 ? p ? 8 . 故当税率在 [4%,8%] 时,政府收取税金将不少于 128 万元. 20、解:(1)

2x ? t ? 0对x ??01 , ?t ? ?2x ?t ? 0 ? 恒成立,
x ? 1 ? 2x 对 x ? [0,1] 恒成立,
2

(2)由 f ( x) ? g ( x) ,得 x ? 1 ? 2 x ? t ? t ?

从而 t ? ( x ? 1 ? 2x)max ,令 x ? 1 ? u ,则 x ? u ? 1 ,

1 17 y ? ?2u 2 ? u ? 2 ? ?2(u ? ) 2 ? ,在 u ?[1, 2] 上为减, 4 8

?当u ? 1时,ymax ? 1 ,? t ? 1 .
21、解:(1) g ( x) ? ( ) , x ? [ ?1,1]
x

1 3

(2)由已知得: y ? ( )

1 ? 2a( ) x ? 3(a ? 3) x ? [?1,1] 3 1 x 1 令 t ? ( ) ,则 t ? [ , 3] , y ? t 2 ? 2a ? 3 3 3 1 1 1 2a 28 2a ?3? ? 1)当 a ? 时, h(a ) ? y ( ) ? ? 3 3 9 3 9 3
2x

1 3

? 1 ?9 3 3 2)当 ? a ? 3 时, g (a) ? y(a) ? 3 ? a2 ,? h(a) ? ? 3 ?3 ? a 2 ( 1 ? a ? 3) ? ? 3

? 28

?

2a

1 (a ? )

1 ? 28 2 x ? (x ? ) ? ?9 3 3 h( x ) ? ? (3)(Ⅰ)对(2)中 ,易知 g ( x) 在 (??,3] 上为减函数, 1 ?3 ? x 2 ( ? x ? 3) ? 3 ?
1)若 p ? q ?

1 时, h( x) 递减,若是“和谐函数” , 3

? 28 2 p ? ? q2 ? 2 1 ?9 3 ? p ? q ? 与 p ? q ? 矛盾; 则? 3 3 ? 28 ? 2q ? p 2 ? 3 ?9
第6页 共7页

2)若

2 2 ? 1 ?3 ? p ? q ? p ? q ? 3 时, ? ? ? p 2 ? q 2 ? q 2 ? p 2 恒等. 2 2 3 ? ?3 ? q ? p

此时满足题意,所以这样的 p, q 存在;

? 28 2 p 2 ? ? q2 1 1 ? ? ?28 ? 6 p ? 9q 3)若 p ? , ? q ? 3 ,则 ? 9 ?? 2 3 2 3 3 ?q ? 3 ? p ? ?3 ? q 2 ? p 2 ?

1 1 ? 28 ? 6 p ? 9(3 ? p 2 ) ? 9 p 2 ? 6 p ? 1 ? 0 ? p ? 与p ? 矛盾 . 3 3

?1 ? ? p?q?3 ? p, q满足: ?3 ? p2 ? q2 ? 3 ?
(Ⅱ)

(或

3 26 ? q2 ? ) 2 9

y ? x2 ? 1 ? t 在 [1, ??) 上单增,由“和谐函数”的定义知:该函数在定义域 [1, ??) 内,
存 在 区 间 [ p, q]( p ? q), , 使 得 该 函 数 在 [ p, q ] 上 的 值 域 为 [ p2 , q2 ] , 所 以 p ? 1 ,
2 2 ? ? p ?1 ? t ? p ? 2 2 ? ? q ?1 ? t ? q

,? p2 , q2 为方程 x ?1 ? t ? x 的二实根,

即方程 x2 ? (2t ? 1) x ? t 2 ? 1 ? 0 在 [1, ??) 上存在两个不等的实根,且 x ? t 恒成立,
? 3 ?? ? 0 ?t ? 4 ? 2t ? 1 ? 2 2 ? ?1 ? 1 3 令 u( x) ? x ? (2t ? 1) x ? t ? 1, ? ?? 2 ? ?t ? ? ? t ?1 2 4 ?u (1) ? 0 ? 2 ? ?(t ? 1) ? 0 ?t ? 1 ?t ? 1 ? ?

3 ? ? t ?1 4

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