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集合与简易逻辑(高考知识点复习总结)

时间:2016-07-26


一、集合与常用逻辑用语
一、知识梳理: 1、集合:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合 的元素。 集合的常用表示法: 列举法 、 描述法 。

集合元素的特征: 确定性 、 互异性 、 无序性 。 2、子集:如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素,那么集合 A 称为集合 B 的子集,记为

A ? B ,或

B ? A ,读作“集合 A 包含于集合 B ”或“集合 B 包含集合 A ” 。
即:若 a ? A 则 a ? B ,那么称集合 A 称为集合 B 的子集 注:空集是任何集合的子集。 3、真子集:如果 A ? B ,并且 A ? B ,那么集合 A 成为集合 B 的真子集,记为 A ? B 或 B ? A ,读作“ A 真 包含于 B 或 B 真包含 A ” ,如: ?a? ? ?a, b? 。 4、补集:设 A ? S ,由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集,记为 C s A ,读作“ A 在 S 中的补集” ,即 C s A = ?x | x ? S , 且x ? A? 。 5、全集:如果集合 S 包含我们所要研究的各个集合,这时 S 可以看作一个全集。通常全集记作 U 。 6、交集:一般地,由所有属于集合 A 且属于 B 的元素构成的集合,称为 A 与 B 的交集,记作 A ? B (读作“ A 交B ” ) ,即: A ? B = ?x | x ? A, 且x ? B?。

A ? B = B ? A , A ? B ? A,A ? B ? B 。
7、并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于 B 的元素构成的集合,称为 A 与 B 的并集,记作 A ? B (读作“ A 并B ” ) ,即: A ? B = ?x | x ? A, 或x ? B?。

A? B =B ? A, A ? A? B ,B ? A? B 。
8、元素与集合的关系:有 、 两种,集合与集合间的关系,用 。

9、命题:可以判断真假的语句叫做命题。 10、 “或”、 “且”、 “非”这些词叫做逻辑联结词; 不含有逻辑联结词的命题是简单命题; 由简单命题和逻辑联结词“或”、 “且”、“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式:p 或 q(记作 p∨q);p 且 q(记作 p∧q);非 p(记作┑q) 。 11、“或”、“且”、“非”的真值判断: ? ? ? “非 p”形式复合命题的真假与 P 的真假相反; “p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真,其他情况时为假; “p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假,其他情况时为真.
1

12、命题的四种形式与相互关系: ? ? ? ? ? ? 原命题:若 P 则 q; 逆命题:若 q 则 p; 否命题:若┑P 则┑q; 逆否命题:若┑q 则┑p 原命题与逆否命题互为逆否命题,同真假; 逆命题与否命题互为逆否命题,同真假;

原命题 若p, 则q
互 为 否 命 题

互为逆命题

逆命题 若q, 则p
互 为 否 命 题

互为逆否命题

否命题 若非p, 则非q

互为逆命题

逆否命题 若非q, 则非p

13、命题的条件与结论间的属性: 若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件,即“前者为后者的充分,后者为前者的必要”。 若 p ? q ,则 p 是 q 的充分必要条件,简称 p 是 q 的充要条件。 若 p ? q ,且 q 若p 若p

p ,那么称 p 是 q 的充分不必要条件。

q, 且 q ? p,那么称 p 是 q 的必要不充分条件。 q, 且 q p,那么称 p 是 q 的既不充分又不必要条件。

14、全称量词与存在量词 全称量词:所有的,一切,全部,都,任意一个,每一个等; 存在量词:存在一个,至少有一个,有个,某个,有的,有些等; 全称命题:含有全称量词的命题称为全称命题。一般形式为:命题 P: ?x ? M,p( x) 。 全称命题的否命题: ?p:?x ? M,?P( x) 。 15、存在量词:含有存在量词的命题称为存在性命题。一般形式为:命题 P: ?x ? M,p( x) 。 存在性命题的否命题: ?p:?x ? M,?P( x) 。 16、判断全称命题与存在性命题的真假: 判断一个全称命题为真,必须对给定的集合的每一个元素 x , p ( x) 都为真;但要判断一个全称命题为假,只要在 给定的集合内找出一个 x0 ,使 p( x0 ) 为假。 判断一个存在性命题为真,只要在给定的集合中,找到一个元素 x ,使 p ( x) 为真;否则命题为假。

二、高考真题:

, 1 , 2, 4? ,B ? ?- 1, 0, 2?,则 A ? B =__________。 4、已知集合 A ? ?? 1 (2011 江苏卷)
2

5、设 M ? {x|?2 ? x ? 2} , N ? {x| x ? 1} ,则 M ? N 等于__________。 (北京文) 6、设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,3,5},则 CU(A∩B)等于___________。 (福建文) 7、已知 A ? ?x | x ? 1 ? 3? (广东卷) ,B ? x | x 2 ? x ? 6 ,则A ? B ? _______ 。 8、设 A ? {x | x ? 5k ? 1, k ? N ), B ? {x | x ? 6, x ? Q}, 则A ? B 等于__________。(湖北文) 9、设集合 P={1,2,3,4},Q={ x x ? 2, x ? R },则 P∩Q 等于___________。(江苏卷)
x, x ? P 10 、函数 f ( x) ? ? ,其中 P 、 M 为实数集 R 的两个非空子集,又规定 f ( P) ? {y| y ? f ( x), x ? P} , ? ?? x, x ? M
f ( M ) ? {y| y ? f ( x), x ? M} ,给出下列四个判断:

?

?

①若 P ? M ? ? ,则 f ( P) ? f ( M ) ? ? ②若 P ? M ? ? ,则 f ( P) ? f ( M ) ? ? ③若 P ? M ? R ,则 f ( P) ? f ( M ) ? R ④若 P ? M ? R ,则 f ( P) ? f ( M ) ? R 其中正确判断个数为_____。(北京文理)
2 2 2 11、设集合 M ? ?x, y ? x ? y ? 1, x ? R, y ? R , N ? ?x, y ? x ? y ? 0, x ? R, y ? R ,则集合 M ? N 中元

?

?

?

?

素的个数为_______。(广西卷文理) 12、设集合 P ? {1, 2,3, 4,5,6}, Q ? {x ? R | 2 ? x ? 6}, 那么下列结论正确的有________。(天津文) ① P?Q ? P ② P ? Q 包含 Q ③ P?Q ? Q ④ P ? Q 真包含于 P

13、已知集合 M ? ?x || x ? 1 |? 2, x ? R? , P ? ? x |

? ?

5 ? (上海卷) ? 1, x ? Z ? ,则 M ? P 等于_____ ___。 x ?1 ?

14、设集合 A ? {x 0 ? x ? 3且x ?N}的真子集 的个数是____ __。 (天津卷文) ... 15、设集合 A ? x 4x ? 1 ? 9, x ? R , B ? ? x

?

?

x ? ? ? 0, x ? R ? , 则 A∩B=___________。 ? x?3 ?

?x ? y ?1 ? 0 16、方程组 ? 的解集为_____________。 ?2 x ? y ? 4 ? 0
2 17、已知 A ? y y ? x ? 1, x ? R , B ? y y ? x ? 1, x ? R ,则 A ? B=___________。

?

?

?

?

18、图 1–1 所示阴影部分的集合是__________________________。 19、设全集 U={高三(1)班学生},A={高三(1)班男生},B={高三(1)班戴 眼镜的学生},用文字写出下列各式的意义: (1)(C∪A)∩B;_________________________。 (2)C∪(A∪B);_________________________。
3

20、设 A ? x x 2 ? px ? q ? 0, x ? R , M ? ? 1,3,5,7,9?, N ? ? 1,4,7,10? 。若 A ? N ? A , A ? M ? ? 。求 p=________; q=_________。
2 21. (陕西理 12)设 n ? N ? ,一元二次方程 x ? 4 x ? n ? 0 有正数根的充要条件是 n =

?

?

22. (安徽理 8)设集合 A ? ?1,2,3,4,5,6? , B ? {4,5,6,7,8} 则满足 S ? A 且 S ? B ? ? 的集合 S 为 (A)57 (B)56 (C)49 (D)8 23. (上海理 2)若全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 1} ? {x | x ? 0} ,则

CU A ?



24. (江苏)已知集合 A ? {?1,1, 2, 4}, B ? {?1,0, 2}, 则 A ? B ? _______, 25. (江苏)14.设集合

A ? {( x, y ) |

m ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? m 2 , x, y ? R} 2 ,

B ? {( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R} , 若 A ? B ? ? , 则实数 m 的取值范围是______________
26.(2010 上海文)1.已知集合 A ? ?1,3, m? , B ? ?3,4? , A 27. ( 2010 湖 南 文 ) 15. 若 规 定 E= a1, a2 ...a10 k= 2 1 ? 2
k k
2

? B ? ?1, 2,3, 4?则 m ?
k1



?

? 的 子 集 ?a

ak2 ..., akn 为 E 的 第 k 个 子 集 , 其 中

?

?1

? ? ? 2kn ?1 ,则

(1) a1, , a3 是 E 的第____个子集; (2)E 的第 211 个子集是_______ 28、 (2010 湖南文)9.已知集合 A={1,2,3,},B={2,m,4},A∩B={2,3},则 m= 29、 (2010 重庆理)(12)设 U= ?0,1,2,3? ,A= x ?U x ? mx ? 0 ,若 ?U A ? ?1, 2? ,则实数 m=_________.
2

?

?

?

?

【解析】? ?U A ? ?1, 2? ,? A={0,3},故 m= -3 30、 (2010 江苏卷)1、设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a +4},A∩B={3},则实数 a=___________. 【解析】考查集合的运算推理。3 ? B, a+2=3, a=1. 31、 (2010 重庆文) (11)设 A ? ?x | x ?1 ? 0?, B ? ?x | x ? 0?,则 A ? B =____________ . 32 、 ( 2009 年上海卷理)已知集合 A ? ?x | x ? 1 ? , B ? ?x | x ? a? ,且 A ? B ? R ,则实数 a 的取值范围是 ______________________ . 解析 因为 A∪B=R,画数轴可知,实数 a 必须在点 1 上或在 1 的左边,所以,有 a≤1。
2

33、 (2009 重庆卷文)若 U ? {n n 是小于 9 的正整数 } , A ? {n ?U n 是奇数 } , B ? {n ?U n 是 3 的倍数 } ,则 ? U ( A ? B) ? .

4

x 34、 (2009 重庆卷理)若 A ? x ? R x ? 3 , B ? x ? R 2 ? 1 ,则 A ? B ?

?

?

?

?



35、 (2009 上海卷文) 已知集体 A={x|x≤1},B={x|≥a},且 A∪B=R, 则实数 a 的取值范围是__________________. 36、 (2009 北京文)设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k ? A ,如果 k ? 1 ? A 且 k ? 1 ? A ,那么 k 是 A 的一个 “孤立元” ,给定 S ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8,} ,由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有 个. 37、 (2009 天津卷文)设全集 U ? A ? B ? x ? N * | lg x ? 1 ,若

?

?

A ? CU B ? ?m | m ? 2n ? 1, n ? 0,1,2,3,4?,则集合 B=__________.
38、 (2009 湖北卷文)设集合 A=(x∣log2x<1), B=(X∣

X ?1 <1), 则 A ? B = X ?2

. 。

39、 (2010 上海文)1.已知集合 A ? ?1,3, m? , B ? ?3,4? , A 40 、 ( 2010 湖 南 文 ) 15. 若 规 定 E= a1, a2 ...a10 k= 2 1 ? 2
k k
2

? B ? ?1, 2,3, 4?则 m ?
k1

?

? 的 子 集 ?a

ak2 ..., akn 为 E 的 第 k 个 子 集 , 其 中

?

?1

? ? ? 2kn ?1 ,则

(1) a1, , a3 是 E 的第____个子集; (2)E 的第 211 个子集是_______。 41、 (2010 湖南文)9.已知集合 A={1,2,3,},B={2,m,4},A∩B={2,3},则 m= 42、 (2010 重庆理)(12)设 U= ?0,1,2,3? ,A= x ?U x ? mx ? 0 ,若 ?U A ? ?1, 2? ,则实数 m=_________.
2

?

?

?

?

43、 (2010 江苏卷)1、设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a +4},A∩B={3},则实数 a=___________. 【解析】考查集合的运算推理。3 ? B, a+2=3, a=1. 44、 (2010 重庆文) (11)设 A ? ?x | x ?1 ? 0?, B ? ?x | x ? 0?,则 A ? B =____________ .

2

1、 (2010 安徽文)(11)命题“存在 x ? R ,使得 x ? 2 x ? 5 ? 0 ”的否定是
2

答案 对任意 x ? R ,都有 x ? 2 x ? 5 ? 0 .
2

【解析】特称命题的否定时全称命题,“存在”对应“任意”. 【误区警示】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词,或者对于“>”的否定用“<”了.这里就有注 意量词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是” ,而不是“都不是”
? 2、 “ x ? ?? ”是“ x ?? ? ? ”的___ _______条件。 (重庆理 2)

5

3、 (天津理 2)设 x, y ? R, 则“ x ? 2 且 y ? 2 ”是“ x ? y ? 4 ”的____ ______条件。
2 2

1 1 a< 或b> 1 ”是 b a 的___ _________。 4、若 a , b 为实数,则“ 0<ab<
m

5、函数, f ( x) 在点 x ? x0 处有定义是 f ( x) 在点 x ? x0 处连续的____ _______条件。 6、 (陕西理 1)设 a , b 是向量,命题“若 a ? ?b ,则∣ a ∣= ∣ b ∣”的逆命题是____ _____。 7、 (山东理 5)对于函数 y ? f ( x), x ? R ,“ y ?| f ( x) | 的图象关于 y 轴对称”是“ y = f ( x) 是奇函数”的__ _____。 8、 (全国新课标理 10)已知 a,b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题

p1 :| a ? b |? 1 ? ? ? [0,

2? ) 3

p2 : | a? b? | ? 1 ??

2? ( ?, ] 3

p13 :| a ? b |? 1 ? ? ? [0, ) 3
其中真命题是____ __________。

?

p4 :| a ? b |? 1 ? ? ? ( , ? ] 3

?

9、(江西理 8)已知 a1 , a2 , a3 是三个相互平行的平面.平面 a1 , a2 之间的距离为 d1 ,平面 a2 , a3 之间的距离
1 2=P 2P 3 ”是“ d1 ? d 2 ”的__ ________。 为 d2 .直线 l 与 a1 , a2 , a3 分别相交于 p1 , p2 , p3 ,那么“ PP

10、 (湖南理 2)设集合

M ? ?1, 2? , N ? ?a 2 ? ,

则 “ a ? 1 ”是“ N ? M ”的__ _______。
2 2

? a, b? ? 0 是 11、若实数 a,b 满足 a ? 0, b ? 0, 且 ab ? 0 ,则称 a 与 b 互补,记 ?(a, b) ? a ? b ? a ? b, ,那么 ?
a 与 b 互补的__ _____。 12、 (福建理 2)若 a ? R,则 a=2 是(a-1) (a-2)=0 的__ _____。 13、 (安徽理 7)命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是____ ____。
2 14、 (陕西理 12)设 n ? N ? ,一元二次方程 x ? 4 x ? n ? 0 有正数根的充要条件是 n =

15、 (2010 上海文) “ x ? 2k? ? 16、 (2010 广东理) “m ? 17、 (2009 安徽卷文) “

?
4

? k ? Z ? ”是“ tan x ? 1 ”成立的______

_________。

1 2 ”是“一元二次方程 x ? x ? m ? 0 ”有实数解的________ _________。 4
”是“
x0



”的____ ___________.

18、 (2009 天津卷理)命题“存在 x0 ? R, 2

? 0”的否定是__ _________。

6


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