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等差数列求和课件


高中数学

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等差数列求和

复习
1.等差数列的定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前 一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列

?an ? 是等差数列 ? an ? an?1 ? d(n ? 2)
2.通项公式:
an

? a1 ? (n ? 1)d .

3.重要性质:

⑵m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq .

⑴an ? am ? (n ? m)d .

情景1
高斯“神速求和”的故事:

高斯出生于一个工 匠家庭,幼时家境贫困, 但聪敏异常。上小学四 年级时,一次老师布置 了一道数学习题:“把 从1到100的自然数加起 来,和是多少?”年仅 10岁的小高斯略一思索 就得到答案5050,这使 老师非常吃惊。那么高 斯是采用了什么方法来 巧妙地计算出来的呢?

高斯(1777---1855), 德 国数学家、物理学家和天文学 家。他和牛顿、阿基米德,被 誉为有史以来的三大数学家。 有“数学王子”之称。

你知道高斯是怎 求 么计算的吗? S=1+2+3+〃〃〃〃〃〃+100=? 高斯算法:

首项与末项的和:

1+100=101,

第2项与倒数第2项的和: 2+99 =101,

第3项与倒数第3项的和: 3+98 =101, ······ 第50项与倒数第50项的和:50+51=101,
于是所求的和是:
S ? 101? 100 ? 5050 2

高斯算法用到了等差数列的什么性质?

m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq .

创设情景

平行四 三角形 边形

若V形架的的最下面一层放一支铅笔,往上每 一层都比它下面一层 多放一支,最上面 一层有很多支铅笔, 老师说有n支。问: 这个V形架上共放 着多少支铅笔? 问题就是: 1+ 2+ 3 +… + (n-1) + n 若用首尾配对相加法,需要分类讨论.

倒序相加法
计算: 1 ?
分析:这 其实是求 一个具体 的等差数 列前n项 和.

2

?

3 ? ? ? (n ?1) ? n ①
2 +1 ②

n + (n-1) + (n-2) +…+

2 ? ?1 ? 2 ? 3 ? ?? (n ?1) ? n? ? n ? (n ? 1)
n ? (n ? 1) ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2

那么,对一般的等差数列,如何求它的 前n项和 项和呢?

如何才能将 等式的右边 已知等差数列{ an }的首项为a1,项数 化简?

问题分析

是n,第n项为an,求前n项和Sn .

? Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an Sn ? an ? a n?1 ?an?2 ? ?? a1

① ②

?2Sn ? ? a1 ? an ? ? ? a2 ? a n?1 ? ? ? a3 ? an?2 ? ? ?? ? an ? a1 ?

又? a1 ? an ? a2 ? a n?1 ? a3 ? an?2 ? ? ? an ? a1
n(a1 ? an ) ?2Sn ? n(a1 ? an ) 即S n ? 2

求和公式
等差数列的 前n项和等 等差数列的前n项和的公式: 于首末两项 的和与项数 n(a1 ? an ) 乘积的一半。

可知三 求一

Sn ?

2

不含d

思考:(1)公式的文字语言; (2)公式的特点;

由于an ? a1 ? ? n ?1? d , 故

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

想 一 想

在等差数列 {an} 中,如果已知五个 元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2
an ? a 1 ? ( n ? 1)d
结论:知 三 求 二

举例
例1:根据题中的条件,求相应的等差数列{an}的Sn
(1)a1 ? 5, an ? 95, n ? 10;
解: S1 0 10 ?(5 ? 95) ? ? 500. 2

(2)a 1 ? 100, d ? ?2, n ? 50;
解: S50

(3)a1 ? 14.5, d ? 0.7, an ? 32.

50 ( 50 ? 1) ? 50 ?100 ? ? (?2) ? 2550 2

32 ? 14.5 26 ? (14 .5 ? 32 ) 解: n ? ? 1 ? 26 , ? S 26 ? ? 604 .5. 0.7 2

n(a1 ? an ) Sn ? ?? (1) 2

n(n ? 1) S n ? na1 ? d ??(2) 2

举例
思考:如何求下列数列的和? 提示: (1) 5+6+7+…+79+80 3230

n=76

法二:

(2) 1+3+5+…+(2n-1) n2 (3)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n

-n

1 ? 3 ? 5 ? …+ ? 2n ?1? ? ?2? 解: 2 n ? 2n 2 ? ?n 2 1? 3 ? 5 ? …+ ? 2n ?1? ? ? 2+4+6+…+2n? ?3? 解:原式= n? 1 ? ? 2n ? 1?? n ? 2 ? 2n ? ? ? 2 ? ? ? n ? n ? n ? 1? ? ?n 2 2

n? ?1 ? ? 2n ? 1? ? ?

举例
例2. 已知一个等差数列的前10项的和是310, 前 20 项的和是 1220 ,能否求其前 n 项和的公 式.
由题设: 解:

S10 ? 310
得:

S20 ? 1220

?a1 ? 4 ?? ?d ? 6

? 10a1 ? 45d ? 310 ? ?20a1 ? 190d ? 1220

n(n ? 1) ? S n ? 4n ? ? 6 ? 3n 2 ? n 2

练 : 根据下列条件, 求相应的等差数列?a n ? 的有 关未知数 :

(1)a1 ? 20, an ? 54, Sn ? 999, 求d及n; 1 (2)d ? , n ? 37, S n ? 629, 求a1及an ; 3
17 (1) d ? , n ? 27 13

(2)a1 ? 11, an ? 23

举例

例3 在等差数列{an}中, 已知

a3 ? a5 ? 40 ,求S7.
7(a1 + a 7 ) 7 ? 40 S7 = = = 140 2 2
n(a1 ? an ) n(ak ? an ? k ?1 ) Sn ? ? 2 2

小结
n(a1 ? an ) 2、求和公式 (? ) S n ? 2 n( n ? 1) (?? )S n ? na1 ? d 2
1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;

3、应用公式求和.“知三求二”,方程的思想. ①已知首项、末项用公式Ⅰ;已知首项、公差用公式Ⅱ.

②应用求和公式时一定弄清项数n.
③当已知条件不足以求出a1和d时,要认真观察, 灵活应用等差数列的性质,看能否用整体思想求 a1+an的值.


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