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专题1:基本初等函数


南京市**学校 2014 届高三二轮专题复习

专题 1:基本初等函数(两课时) 班级
一、前测训练
?x+1, x≥1, ? 1.已知函数 f(x)=? 2 ,①若 f(x)≥2,则 x 的取值范围为 ?-x +4, x<1 ?

姓名

.②f(x)在区间[-1,3]的值





答案:①[- 2,+∞);②[2,4]. 2.①若 f(x2+1)=x2,则 f(x)= .②已知 f[f(x)]=9+4x,且 f(x)是一次函数,则 f(x)= ;f(x)= . . 1 ③已知函数满足 2f(x)+f( )=x,则 f(2)= x

7 2 1 答案:①x-1(x≥1);②2x+3 或-2x-9;③ , x- . 6 3 3x 3.①若二次不等式 f(x)<0 的解集为(1,2),且函数 y=f(x)的图象过点(-1,2),则 f(x)= ②已知 f(x)=-x2+2x-2,x∈[t,t+1],若 f(x)的最小值为 h(t),则 h(t)= . 1 2 答案:① x2-x+ ;② 3 3 .

?-t +2t-2,t<2 . ? 1 - t - 1 , t ≥ ? 2
2 2
2

1

1 4.①已知 2x +x≤( )x-2,则函数 y=( 3)x +2x的值域为 4
2

. .

1 ②设 loga <2,则实数 a 的取值范围为 3 答案:①[ 3 3 ,81];②(0, )∪(1,+∞). 3 3

5. ①lg25+lg2lg50=

.②已知函数 y=log1(x2-2x+2),则它的值域为
2

. .

③已知函数 y=log1(2-ax)在区间[0,1]上为单调递减,则实数 a 的取值范围为
2

答案:①1;②(-∞,0];③(-∞,0). 6.①函数 f(x)=lgx-sinx 零点的个数为 . x ②函数 f(x)=2 +x-4 零点所在区间为(k,k+1 ),k∈N,则 k= 答案:①3;②1.



二、方法联想
1.分段函数 方法 1:分段函数,分类处理;方法 2:分段函数整体处理. 2.解析式求法 方法 1 换元法、配凑法;方法 2 待定系数法;方法 3 方程组法. 3.二次函数 二次函数解析式求法 一般设为三种形式:(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);(2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);(3)零点

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式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 二次函数最值求法 求二次函数最值,考虑对称轴与区间的相对位置关系,即左、中偏左、中偏右、右,再根据具体问题 对四种情况进行合并(或取舍). 4.指数函数 (1)指数方程与不等式问题关键是两边化同底. (2)与指数函数有关的值域问题,方法一:复合函数法,转化为利用指数函数的单调性;方法二:换元 法. 5.对数函数 n (1)对数式化简可利用公式 logambn= logab 将底数和真数均化成最简形式. m (2) 对数方程与不等式问题关键是两边化同底. 6.零点问题 方法 1 数形结合法; 方法 2 连续函数 y=f(x)在区间(a,b)上有 f(a)f(b)<0,则 f(x)在(a,b)上至少存在一个零点.反之不一定成立. 二次函数 y=f(x)在区间(a,b)上有 f(a)f(b)<0,则 f(x)在(a,b)上存在唯一一个零点.

三、例题分析
第一层次 例 1.已知函数 f(x)=loga(8-2x)(a>0,且 a≠1). (1)当 a=2 时,求满足不等式 f(x)≤2 的实数 x 的取值范围; (2)当 a>1 时,求函数 y=f(x)+f(-x)的最大值. 解: (1)实数 x 的取值范围为[2,3). (2)函数 y=f(x)+f(-x)的最大值为 loga49. 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法: 1.解指(对)数不等式问题: 方法:①利用指(对)数函数的单调性,将不等式转化为代数不等式来解. ②换元法:转化为代数不等式. 2.与指(对)数有关的函数值域: 方法:①考察对应函数(复合函数)的单调性,利用单调性处理. ②用换元法,转化为几个基本函数的值域问题. (2)方法选择与优化建议: 对于问题 1,学生一般会选择方法①,因为本题既含对数,也含有指数,用换元不能一次转化为代数 不等式,所以选择方法①. 对于问题 2,学生一般会选择方法②,因为用换元法转化为几个基本函数的值域,处理比较方便,所 以选择方法①. 指数函数、对数函数的单调性受底数 a 的影响,解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时, 首先要看底数的范围. 本题的易错点有两个,一是第一问中的“8-2x>0”的定义域部分;二是第二问中函数 y=f(x)+f(- x)的定义域.

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x 例 2.已知函数 f(x)= x2-4ax+2a+30(a∈R)的定义域为 R,求关于 x 的方程 =|a-1|+1 的根的取值 a+3 范围. 9 解: 取值范围为[ ,18]. 4 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法: 1.已知函数的定义域,求参数的范围: 方法:与求函数的定义域的处理方法一致, 将问题转化为已知不等式的解集, 再利用对应方程的根 已知,求参数的范围. 2.分段函数的值域: 方法:①利用函数的图象,求值域. ②分别求每个区间的值域,再求并集. (2)方法选择与优化建议: 对于问题 2,学生一般会选择方法②,在解答题中,需要解题过程,所以选择方法②. 本题的易错点是最后求得的 x 的取值范围应该两段函数的值域的并集. 例 3.已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围. 解: (1)当 a>0,b>0 时,函数 f(x)在 R 上是增函数. 同理,当 a<0,b<0 时,函数 f(x)在 R 上是减函数. a? (2)当 a<0,b>0 时,x 的取值范围为(log1.5? ?-2b?,+∞); a? 当 a>0,b<0 时,x 的取值范围为(-∞,log1.5? ?-2b?). 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法: 1.讨论函数的单调性问题: 方法:①利用函数的图象; ②复合函数的单调性; ③利用函数单调性的定义. ④利用导函数来求函数的单调区间. 2.与指(对)数有关的解不等式问题: 方法:①利用函数的单调性,转化为代数不等式. ②用换元法,依次解几个代数不等式. (2)方法选择与优化建议: 对于问题 1,学生一般会选择方法③或④,因为本题不仅要求判断还需要证明结论,方法①②不能用 作证明,所以选择方法③或④. 对于问题 2,学生一般会选择方法①,因为本题函数的单调性比较明确,便于转化,所以选择方法①. 本题的易错点是第二问中忽视字母 a 的符号对不等号的方向的影响. 本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的, “ab>0”和“ab<0”的含义是字母 a、b 同号或 异号,因此需要具体到 a、b 各自的符号.

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第二层次 例 1.已知函数 f(x)=loga(8-2x)(a>0,且 a≠1). (1)当 a=2 时,求满足不等式 f(x)≤2 的实数 x 的取值范围; (2)当 a>1 时,求函数 y=f(x)+f(-x)的最大值. 解: (1)实数 x 的取值范围为[2,3). (2)函数 y=f(x)+f(-x)的最大值为 loga49. 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法: 1.解指(对)数不等式问题: 方法:①利用指(对)数函数的单调性,将不等式转化为代数不等式来解. ②换元法:转化为代数不等式. 2.与指(对)数有关的函数值域: 方法:①考察对应函数(复合函数)的单调性,利用单调性处理. ②用换元法,转化为几个基本函数的值域问题. (2)方法选择与优化建议: 对于问题 1,学生一般会选择方法①,因为本题既含对数,也含有指数,用换元不能一次转化为代数 不等式,所以选择方法①. 对于问题 2,学生一般会选择方法②,因为用换元法转化为几个基本函数的值域,处理比较方便,所 以选择方法①. 指数函数、对数函数的单调性受底数 a 的影响,解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时, 首先要看底数的范围. 本题的易错点有两个,一是第一问中的“8-2x>0”的定义域部分;二是第二问中函数 y=f(x)+f(- x)的定义域.

例 2.已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围. 解: (1)当 a>0,b>0 时,函数 f(x)在 R 上是增函数. 当 a<0,b<0 时,函数 f(x)在 R 上是减函数. a? (2)当 a<0,b>0 时,x 的取值范围为(log1.5? ?-2b?,+∞); a? 当 a>0,b<0 时,x 的取值范围为(-∞,log1.5? ?-2b?). 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法: 1.讨论函数的单调性问题: 方法:①利用函数的图象; ②复合函数的单调性; ③利用函数单调性的定义. ④利用导函数来求函数的单调区间.

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2.与指(对)数有关的解不等式问题: 方法:①利用函数的单调性,转化为代数不等式. ②用换元法,依次解几个代数不等式. (2)方法选择与优化建议: 对于问题 1,学生一般会选择方法③或④,因为本题不仅要求判断还需要证明结论,方法①②不能用 作证明,所以选择方法③或④. 对于问题 2,学生一般会选择方法①,因为本题函数的单调性比较明确,便于转化,所以选择方法①. 本题的易错点是第二问中忽视字母 a 的符号对不等号的方向的影响. 本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的, “ab>0”和“ab<0”的含义是字母 a、b 同号或 异号,因此需要具体到 a、b 各自的符号.

例 3.设命题 p:函数 f(x)= 立.

1 的定义域为 R;命题 q:不等式 3x-9x<a-1 对一切正实数 x 均成 ax -ax+1
2

(1)如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (2)如果命题 p 且 q 为真命题,求实数 a 的取值范围. 解: (1)实数 a 的取值范围为[0,4). (2)实数 a 的取值范围为[1,4). 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法: 1.已知函数的定义域,求参数的范围: 方法:与求函数的定义域的处理方法一致, 将问题转化为已知不等式的解集, 再利用对应方程的根 已知,求参数的范围. 2.不等式恒成立问题: 方法:①分离变量转化为求函数的最值. ②直接求函数的最值,再解不等式; ③利用函数的图象,观察临界情况,再进行相应的计算. 3.复合命题的真假判断: 方法:转化为判断构成复合命题的简单命题的真假,再根据逻辑联结词,来判断. (2)方法选择与优化建议: 对于问题 1,因为它是二次不等式对于任意实数恒成立,只需研究判定式及二次项系数的符号即可; 对于问题 2,学生一般会选择方法①,因为本题分离变量较容易,而且对应函数的值域比较容易求, 所以选择方法①. 在考查命题 p 是真命题时,容易漏掉 a=0 的情况,另外容易出现因为忽视“ax2-ax+1”出现的 位置,在限制条件中将“△>0”错写为“△≥0”.

第三层次 例 1.已知函数 f(x)=loga(8-2x)(a>0,且 a≠1). (1)当 a=2 时,求满足不等式 f(x)≤2 的实数 x 的取值范围; (2)当 a>1 时,求函数 y=f(x)+f(-x)的最大值. 解: (1)实数 x 的取值范围为[2,3).

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(2)函数 y=f(x)+f(-x)的最大值为 loga49. 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法: 1.解指(对)数不等式问题: 方法:①利用指(对)数函数的单调性,将不等式转化为代数不等式来解. ②换元法:转化为代数不等式. 2.与指(对)数有关的函数值域: 方法:①考察对应函数(复合函数)的单调性,利用单调性处理. ②用换元法,转化为几个基本函数的值域问题. (2)方法选择与优化建议: 对于问题 1,学生一般会选择方法①,因为本题既含对数,也含有指数,用换元不能一次转化为代数 不等式,所以选择方法①. 对于问题 2,学生一般会选择方法②,因为用换元法转化为几个基本函数的值域,处理比较方便,所 以选择方法①. 指数函数、对数函数的单调性受底数 a 的影响,解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时, 首先要看底数的范围. 本题的易错点有两个,一是第一问中的“8-2x>0”的定义域部分;二是第二问中函数 y=f(x)+f(- x)的定义域. 例 2.已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围. 解: (1)当 a>0,b>0 时,函数 f(x)在 R 上是增函数. 当 a<0,b<0 时,函数 f(x)在 R 上是减函数. a? (2)当 a<0,b>0 时,x 的取值范围为(log1.5? ?-2b?,+∞); a? 当 a>0,b<0 时,x 的取值范围为(-∞,log1.5? ?-2b?). 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法: 1.讨论函数的单调性问题: 方法:①利用函数的图象; ②复合函数的单调性; ③利用函数单调性的定义. ④利用导函数来求函数的单调区间. 2.与指(对)数有关的解不等式问题: 方法:①利用函数的单调性,转化为代数不等式. ②用换元法,依次解几个代数不等式. (2)方法选择与优化建议: 对于问题 1,学生一般会选择方法③或④,因为本题不仅要求判断还需要证明结论,方法①②不能用 作证明,所以选择方法③或④. 对于问题 2,学生一般会选择方法①,因为本题函数的单调性比较明确,便于转化,所以选择方法①. 本题的易错点是第二问中忽视字母 a 的符号对不等号的方向的影响.

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本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的, “ab>0”和“ab<0”的含义是字母 a、b 同号或 异号,因此需要具体到 a、b 各自的符号. 1 例 3.已知函数 f(x)=a- . |x| (1 )求证:函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f(x)<2x 在(1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若函数 y=f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求实数 a 的取值范围. 解: (1)f(x)在(0,+∞)上为增函数. (2)a 的取值范围为(-∞,3]. (3)a 的取值范围为{0}∪(2,+∞). 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法: 1.讨论函数的单调性问题: 方法:①利用函数的图象; ②复合函数的单调性; ③利用函数单调性的定义. ④利用导函数来求函数的单调区间. 2.不等式恒成立问题: 方法:①分离变量转化为求函数的最值. ②直接求函数的最值,再解不等式; ③利用函数的图象,观察临界情况,再进行相应的计算. 3.已知函数的值域,求参数的取值: 方法:借助函数的图象了解函数单调性,再根据函数的单调性找最值来处理. (2)方法选择与优化建议: 对于问题 1,学生一般会选择方法③或④,因为本题是证明函数的单调性,方法①②不能用作证明, 所以选择方法③或④. 对于问题 2,学生一般会选择方法①,因为本题分离变量较容易,而且对应函数的值域比较容易求, 所以选择方法①.

四、反馈练习


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