【高中数学苏教版必修4 】第三章《三角恒等变换》章节测试

【高中数学苏教版必修 4 】第三章《三角恒等变换》章节测试
§3.1 两角和与差的三角函数 重难点：掌握余弦的差角公式的推导并能灵活应用；能利用两角和与差的余弦公式推导 两角和与差的正弦公式，学会推导两角和差的正切公式．

考纲要求：①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． ②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式．
经典例题：

已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B，
1 cos A ? 1 cos C ?? 2 cos B

求 cos

A?C 2

的值.

当堂练习： 1．给出如下四个命题 ①对于任意的实数α 和β ，等式 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? 恒成立； ②存在实数α ，β ，使等式 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? 能成立；

? ③公式 tan( ? ? ) ?

tan? ? an? 成立的条件是 ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) 且 ? ? k? ? (k ? Z ) ； 2 2 1 ? tan? ? tan ?

④不存在无穷多个α 和β ，使 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ； 其中假命题是 A．①② B．②③ C．③④ （ ）

D．②③④ （ ）

2．函数 y ? 2 sin x(sin x ? cos x) 的最大值是 A． 1? 2 3．当 x ? [ ? B． 2 ? 1 C． 2

D． 2 （ ）

? ?

, ] 时，函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的 2 2

A．最大值为 1，最小值为－1 C．最大值为 2，最小值为－2 4．已知 tan(? ? ? ) ? 7, tan ? ? tan ? ?

B．最大值为 1，最小值为 ?

1 2

D．最大值为 2，最小值为－1

2 , 则 cos(? ? ? ) 的值 3
C． ?

（

）

A．

1 2

B．

2 2

2 2

D． ?

2 2
）

5．已知

?

3 12 3 ? ? ? ? ? ? , cos( ? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? , 则 sin 2? ? （ 2 4 13 5
用心 爱心 专心

A．

56 65
? ?

B．－
?

56 65

C．

65 56

D．－ （

65 56
）

6． sin 15 ? sin 30 ? sin 75 的值等于

A．

3 4

B．

3 8

C．

1 8

D．

1 4

7 ． 函 数 f ( x) ? tan( x ? （ ） A． f ( x)与g ( x)

?
4

), g ( x) ?

1 ? t anx ? , h( x) ? co t ( ? x) 其 中 为 相 同 函 数 的 是 1 ? t anx 4

B． g ( x)与h( x)
1 2 , tan ? ? 1 5

C． h( x)与f ( x)
, tan ? ? 1 8

D． f ( x)与g ( x)及h( x) ）

8．α 、β 、 ? 都是锐角， tan ? ? A．

, 则? ? ? ? ? 等于（

? 3

B．

9．设 tan ?和 tan( A．p+q+1=0

?
4

? 4

C． ?

5 6

D． ? ）

5 4

? ? )是方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两个根，则 p、q 之间的关系是（
B．p－q+1=0 C．p+q－1=0 D．p－q－1=0 ）

10．已知 cos ? ? a, sin ? ? 4 sin(? ? ? ),则 tan( ? ? ) 的值是 （ ?
2 A． 1 ? a

a?4

B．－

1? a 2 a?4

C． ? a ? 4

1? a2

2 D． ? 1 ? a a?4

? 11．在△ABC 中， C ? 90 ，则 tan A ? tan B 与 1 的关系为

（

）

A． tan A ? tan B ? 1 C． tan A ? tan B ? 1 12． sin 20 cos70 ? sin 10 sin 50 的值是
? ? ? ?

B． tan A ? tan B ? 1 D．不能确定 （ C． 1
2

）

A． 1
4

B． 3
2

D． 3
4

2 2 13．已知 sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? m ，则 cos ? ? cos

? 的值为

. .

14．在△ABC 中， tan A ? tan B ? tanC ? 3 3 ， tan B ? tan A ? tanC 则∠B=
2

15．若 sin(? ? 24? ) ? cos(24? ? ? ), 则 tan( ? 60? ) = ? 16．若 sin x ? sin y ? 17．化简求值： sin(

.

2 , 则 cos x ? cos y 的取值范围是 2
? 3 x) ? cos(

.

?
4

?
3

? 3x) ? cos(
爱心

?
6

? 3x) ? sin(
专心

?
4

? 3x) ．

用心

? 18．已知 0 ? ? ? ? ? 90? , 且 cos? , cos? 是方程 x ? 2 sin 50 x ? sin 50 ?
2 ? 2 ?

1 ?0的 2

两根，求 tan(? ? 2? ) 的值.

19．求证： tan(x ? y ) ? tan(x ? y ) ?

sin 2 x ． cos x ? sin 2 y
2

20．已知α ，β ∈（0，π ）且 tan(? ? ? ) ?

1 1 , tan ? ? ? ，求 2? ? ? 的值. 2 7

21．证明： tan

3 x 2 sin x x ? tan ? . 2 2 cos x ? cos 2 x

第 3 章 三角恒等变换 §3.2 二倍角的三角函数 重难点：理解二倍角公式的推导，并能运用二倍角公式灵活地进行化简、求值、证明．

必修 4

考纲要求：①能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦， 余弦，正切公式，导出二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的 内在联系示．
经典例题：已知 f ( x ) ? （I）化简 f（x）；
用心 爱心 专心

1 ? cos x ? sin x 1 ? sin x ? cos x

?

1 ? cos x ? sin x 1 ? sin x ? cos x

．

(II) 是否存在 x，使得 tan ? f ( x)与 2 明理由.

x

1 ? tan

2

x 2 相等？若存在，求 x 的值，若不存在，请说

sin x

当堂练习： 1． cos 75 ? cos 15 ? cos75 ? cos15 的值是
2 ? 2 ? ? ?

（

）

A．

5 4
sin ? 1 ? cos ? ? 1 2

B．

6 2

C．

3 2
）

D． 1 ?

3 4

2．如果 A．

, 那么 sin ? ? cos ? 的值是 （

7 5

B．

8 5

C．1

D．

29 15
）

3．已知 ? 为第Ⅲ象限角，则 A． sin

1 1 1 1 ? ? cos ? 等于 2 2 2 2
C． ? sin

（

? ? B． cos 4 4 cos 3x ? cos x 4．函数 y ? 的值域是 cos x
A． [?4,0) 5． 2 cos B． [?4,4)

? 4

D． ? cos （ ）

?
4

C． (?4,0]

D．[－4，0] （ D．2 （ ） ）

9 ? 5 3 ? cos ? cos ? ? cos ? 的值是 13 13 13 13
B．0
? ? ?

A．－1
?

C．1

6． sin 20 ? sin 40 ? sin 60 ? sin 80 的值为 A．

1 16
? ?

B． ?
?

1 16
?

C．

3 16

D． ? （

3 16
）

7． sin 6 cos24 ? sin 78 cos48 的值为 A．

1 16

B． ?

1 16

C．

1 32

D． （

1 8
）

8． tan ? ? sin ? 成立的条件是 2 1 ? cos ? A． ? 是第 I 第限角
2

B

．

? ? (2k? , ? ? 2k? )(k ? Z )

C． sin ? ? cos ? ? 0 D．以上都不对

用心

爱心

专心

4 , 则 tan 2 x ? （ ） 2 5 7 7 24 24 A． B．－ C． D．－ 24 24 7 7 5 4 4 10．已知θ 为第Ⅲ象限角， sin ? ? cos ? ? , 那么 sin 2? 等于 （ ） 9 2 2 2 2 2 A． ? B． C． D． ? 2 3 3 3 3
9．已知 x ? (?

?

,0), cos x ?

11．已知θ 为第Ⅱ象限角， 25sin 2 ? ? sin ? ? 24 ? 0, 则 cos A． ?

?

2

的值为

（

）

3 5

B． ?

3 5

C．

2 2

D． ?

4 5
（ ）

12．设 (2 cos x ? sin x)(sin x ? cos x ? 3) ? 0, 则 A．

2 cos2 x ? sin 2 x 的值为 1 ? tan x
C．

8 5

B．

5 8

2 5

D．

5 2
.

13． cos20? ? cos40? ? cos60? ? cos100? 的值等于 . ? 14．已知 sin ? ? sin ? ? 1 , cos ? ? cos ? ? 1 ，则 tan( ? ? ) 的值为 4 3 15．已知 sin ? ? cos ? ? 16．化简
cos100? cos5? ? 1 ? sin 100?

1 ,? ? (0, ? ), 则 cot ? 的值是 5
的结果是 .

.

17．已知 cos( ? ?

?

1 ? 2 ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,0 ? ? ? ? ,0 ? ? ? , 求 cos( ? ? ? ) 的值. 2 9 2 3 2

18．设 x ? [0,

?

], 求函数 y ? cos( 2 x ? ) ? 2 sin( x ? ) 的最值. 3 3 6

?

?

19．求证： sin 3x ? sin x ? cos3x ? cos x ? cos 2 x .
3 3 3

用心

爱心

专心

20．不查表求值： cos40 ? cos80 ? cos80 ? cos160 ? cos160 ? cos40 .
? ? ? ? ? ?

5 sin ? 1 2 (0 ? ? ? ? ), 将f (? ) 表示成关于 cos ? 的多项式． 21．已知函数 f (? ) ? ? ? 2 2sin ? 2

第 3 章 三角恒等变换 §3.3 几个三角恒等式 重难点：了解和差化积公式和积化和差公式的推导并能简单运用．

必修 4

考纲要求：①能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导 出积化和差，和差化积，半角公式，但对这三组公式不要求记忆．
经典例题：证明：内切圆半径为定值 r 的直角三角形中，以等腰直角三角形的周长最小．

当堂练习：
用心 爱心 专心

1.求值:cos

2? 4? 6? +cos +cos 7 7 7

2.证明：tan

3x x 2 sin x －tan = 2 cos x ? cos 2 x 2

3.已知

2 sin ? ? cos ? ? ?5 ，求 3cos 2? + 4sin 2? 的值。 sin ? ? 3 cos ?

4.证明：

sin ? ? 1 1 ? 1 ? tan ? 1 ? sin ? ? cos ? 2 2 2

5.已知： tan ? ?

b ，求证： a cos 2? ? b sin 2? ? a a

用心

爱心

专心

6.已知： x ? 2 tan

?
2

? x tan 2

?
2

? 0, y ? 1 ? tan 2

?
2

? y tan 2

?
2

?0

求证： cos 2? ? x2 ? y 2 ? 2sin 2 ?

必修 4 1、已知 tan(? ? ? ) ?

第 3 章 三角恒等变换 §3.4 三角恒等变换单元测试

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? , 则 tan(? ? ) 的值等于 （ ） 5 4 4 4 13 3 13 3 （A） （B） （C） （D） 18 22 22 18 1 1 ? 2、已知 sin ? ? sin ? ? , cos ? ? cos ? ? , 则 cos( ? ? ) 值等于（ ） 2 3 7 17 59 109 （A） ? （B） ? （C） ? （D） ? 18 72 72 12
3、 1 ? cos2 ? 1 ? cos2 等于（ ）

（A） 2(cos1 ? sin 1) （B） 2 (cos1 ? sin 1) （C）2cos1 （D） 2 (cos1 ? sin 1) 4、已知

1 ? sin ? ? cos ? 1 ? , 则 cosθ 的值等于（ 1 ? sin ? ? cos ? 2

）

（A）

3 5

（B） ?

3 5

（C） ?

5 5
）

（D）

4 5

60 ? ? ( ? A ? ), 则 tan A 的值等于( 169 4 2 3 4 5 （A） （B） （C） 4 3 12 ? 5 ? cos2 x , 且 0 ? x ? ,则 6、 cos( ? x) ? 等于（ ? 4 13 4 sin( ? x) 4
5、若 sin A ? cos A ?
用心 爱心 专心

（D） ）

12 5

（A）

13 24

（B）

12 13

（C）

24 13
）

（D）

13 12

7、已知 tan? ? 2, tan ? ? 3,? , ? 为锐角，则 ? ? ? 值是（

3? 2? （C） 4 3 1 1 2 8、已知 tan ? ? ，则 cos ? ? sin 2? ? （ ） 3 2 6 4 4 （A） ? （B） ? （C） 5 5 5
（A） （B） 9、设 ? ， ? ， ? ? ? 0, 于（ ）

? 4

（D）

5? 6

（D）

6 5

? ?

??

? ，且 sin ? ?sin ? ?sin ? ， cos ? ? cos ? ? cos ? ，则 ? ? ? 等 2?

（A） ?

?
3

（B）

? 6

（C）

? ? 或? 3 3

（D）

? 3

10 、 设

2 0 a ? c o 0s 5 0 ? c o s 10 2 7， 0 bc o ? sin4 0 ? cos560 ?s ， 7 s 560 c o 3 ? 2

1 1 ? tan 2 390 0 2 0 c? ， d ? ? cos80 ? 2 cos 50 ? 1? ，则 a ， b ， c ， d 的大小关系为（ ） 2 0 2 1 ? tan 39
（A） a ? b ? d ? c
2

（B） b ? a ? d ? c

11、函数 f ( x) ? cos ( x ?

?

12

) ? sin 2 ( x ?

?

（C） a ? c ? b ? d

（D） c ? a ? b ? d

12

) ? 1 是（

）

（A）周期为 2? 的奇函数 （C） 周期为 ? 的奇函数
2

（B）周期为 2? 的偶函数 （D）周期为 ? 的偶函数

12、已知函数 f(x)=2asin x－2 5,1],则 a、b 的值为 （ A．a=2, b=－5 D．a=1,b=－2 13、函数 y ? sin( x ? ）

3 sinxcosx+a+b(a<0)的定义域是[0,

? ],值域为[－ 2
b=1

B．a＝－2,b=2

C ． a= － 2,

?
6

) cos x 的最小值 ________ 。 1 ，则 cos 4? = ________ 。 3

14、已知 sin ? ? cos ? ?

15、函数 y ? sin( x ? 150 ) ? 2 cos( x ? 600 ) 的最大值 ________ 。 16、已知 y ? sin x ? cos x ，给出以下四个命题： ① 若 x ??0, ? ? ，则 y ? ?1, 2 ? ；

?

?

用心

爱心

专心

② 直线 x ?

?
4

是函数 y ? sin x ? cos x 图象的一条对称轴；

③ 在区间 ? , 上函数 y ? sin x ? cos x 是增函数； ?4 4 ? ? ④ 函数 y ? sin x ? cos x 的图象可由 y ? 其中正确命题的序号为 ____________ 。

? ? 5? ?

2 cos x 的图象向右平移

? 个单位而得到， 4

17 若

1 ? cos x 1 ? cos x 2 , ? ?? 1 ? cos x 1 ? cos x tan x

求角 x 的取值范围.

18 已知 cos(x＋

sin 2 x ? 2 sin 2 x ? 3 5 7 )= ， ? ＜x＜ ? ，求 的值。 4 5 4 4 1 ? tan x

19 将一块圆心角为 60°，半径为 20cm 的扇形铁电裁成一个矩形，求裁得矩形的最大面积.

20.已知 0 ? x ? （Ⅰ）若 tg

?
2

? y ? ?且 sin(x ? y) ?

5 13

x 1 ? , 分别求 cos x及 cos y 的值； 2 2

（Ⅱ）试比较 sin y与sin(x ? y) 的大小，并说明理由.

21 、 已 知 sin

x x 2 、 cos 是 y 的 方 程 y ? p y? q? 的 两 个 实 根 ， 设 函 数 0 4 4 x f ( x) ? p 2 ? 2( 3 ? 1)q ? 2 cos 2 ，试问（1）求 f ( x) 的最值；（2） f ( x) 的图象可由正 4

弦曲线 y ? sin x 经过怎样的变换而得到；（3）求 f ( x ) 的单增区间。

用心

爱心

专心

第 3 章 三角恒等变换 §3.1 两角和与差的三角函数 经典例题： 由题设 B=60°，A+C=120°，设 ? ?
1 1 ? ? cos A cos C cos? cos2 ? ? 3 4

A?C 知 A=60°+α ， C=60°－α ， 2
2 故 cos A ? C ? 2 ． 2 2 2

? ?2 2 , 即 cos? ?

当堂练习： 1.C; 2.A; 3.D; 4.D; 5.B; 6.C; 7.C; 8.B; 9.B; 10.D; 11.B; 12.A; 13. m; 14.

? ; 15. 3

? 2 ? 3 ; 16.
4

[?

14 14 ; , ] 2 2

17．原式= sin( ? ? 3x) cos( ? ? 3x) ? sin( ? ? 3x) cos( ? ? 3x) = 2 ? 6 ．
3 3 4
4

18． x ?

1 2 sin 50? ? (? 2 sin 50? ) 2 ? 4(sin 2 50? ? ) 2 ? sin(50? ? 45? ) ， 2

? x1 ? sin95? ? cos5? ,

x2 ? sin5? ? cos85? ,

tan(? ? 2? ) ? tan75? ? 2 ? 3 ．
19．证： 左 ?

sin(x ? y) sin(x ? y) sin[(x ? y) ? ( x ? y)] ? ? 2 cos(x ? y) cos(x ? y) cos x ? cos2 y ? sin 2 x ? sin 2 y sin 2 x sin 2 x ? ? ? 右． 2 2 2 2 2 cos x ? (cos x ? sin x) sin y cos x ? sin 2 y

1 3 20． tan ? ? , tan(2? ? ? ) ? 1, 2? ? ? ? ? ? . 3 4 3 x 3 x sin x cos ? cos x sin sin x 2 sin x 2 2 2 2? 21．左= ? ? 右． 3 x 3 x cos x ? cos 2 x cos x ? cos cos x ? cos 2 2 2 2

§3.2 二倍角的三角函数 经典例题： （I） f ( x) ? ?2 csc x, 且x ? 2k? ? （II）存在，此时 x ? 2k? ? 当堂练习： 1.A; 2.A; 3.A; 4.C; 5.B; 6.C; 7.A; 8.D; 9.D; 10.B; 11.B; 12.C; 13.

?
2

(k ? Z ) ；

3 ? (k ? Z ) ． 2 1 3 ; 14. ; 15. 2 7

用心

爱心

专心

?

3 ; 16. ? 2 ; 4

17．由已知 ? ? ? ? ? ? ? , 又 cos(? ? ? ) ? ? 1 故 sin(? ? ? ) ? 4 5 ， 4 2 2 9 2 9

? 1 ??? ? ? 7 5 同理 cos( ? ? ) ? ， 5 , 故 cos ? cos[( ? ) ? ( ? ? )] ? ? 2 3 2 2 2 27 ??? 239 故 cos(? ? ? ) ? 2 cos 2 ． ?1 ? ? 2 729
? 1 3 3 18． y ? ?2[sin( x ? ) ? ]2 ? , ? ymax ? , 6 2 2 2
19． 左 ?

ymin ? ?

1 ． 2

1 1 1 cos 4 x ? cos 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x ? 2 cos 2 2 x ? cos 3 2 x ? 右． 2 2 2

20．原式= ? 3 ? 1 (2 cos 60 ? cos 20 ? ? cos 20 ? ) ? ? 3 ． 4 2 4
2 21． f (? ) ? ? 1 ? 2 cos? ? 4 cos ? ? 1 ? 2 cos2 ? ? cos? ? 1 ． 2 2

§3.3 几个三角恒等式 经典例题： 分 析 ： 如 图 ， 由 已 知 得

? OAB= ? , ? OBA= ? , ? ? ? = 45 ? ，周
长 l =2(x+y+z),本题目的是要证明，当 l 取最小值时 ? = ? ，故要找出变量 x,y 与已知 r ，以及角 ? 、 ? 的三角函数之 间的关系，并且利用 ? ? ? = 45 ? ，写出 角或角的三角函数表示 l 的函数式，再通过恒等变形，变换成能够求得最小的函数式。 解：如图，设 ? OAB= ? , ? OBA= ? ,AF=AD=x,BE=BD=y,

? ? C= 90 ? ,圆 O 为 ? ABC 内切圆圆心，? 2 ? = 90 ? ? 2? ，即

? ? ? = 45 ? ， ? ? ? =2 ? - 45 ? .
? x＝ｒcot ? ,y=rcot ? ,设 ? ABC 周长为 l ，
则 l =2（x+y+z）=2r(cot ? ? cot ? ? 1)=2r(

sin(? ? ? ) cos ? cos ? ? 1] + +1)=2r[ sin ? sin ? sin ? sin ?

用心

爱心

专心

? ? ? ? sin 45? 2 ? ? =2r ? ? 1? =2r[ ?1 ] 2 ? ? 1 ?cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )? ? cos(2? ? 45?) ? ? 2 ? ? ? 2
若 l 取最小值，则 cos(2 ? ? 45? ) ? 当堂练习：

2 最大，即 2 ? = 45 ? ， ? ABC 为等腰直角三角形。 2

sin
1. 解：原式=

?
7

(cos

2? 4? 6? ? cos ? cos ) 7 7 7 sin

?

sin
=

?
7

cos

2? ? 4? ? 6? ? sin cos ? sin cos 7 7 7 7 7 sin

7

?

1 3? ? 1 5? 3? 1 7? 5? (sin ? sin ) ? (sin ? sin ) ? (sin ? sin ) 7 7 2 7 7 2 7 7 =- 1 =2 ? 2 sin 7
2. 分析：等式左边是两个正切值，右边是余弦、正弦的分式，左边是半角

7

3x x 与 ，右边 2 2

2 是单角 x和倍角 x .若从右向左证，需进行单角变半角，而分母可进行和化积，关键是分子
的变化，仍从角入手，将 x 写成 同时还要考虑变半角为单角。

3x x - ，再用两角差公式，而从左向右证，需进行切变弦， 2 2

3x x 3x x 3x x 3x x sin sin cos ? cos sin sin( ? ) 2 2= 2 2 2 2= 2 2 证法一：左边= 3x x 1 3x x cos cos (cos2 x ? cos x) cos cos 2 2 2 2 2 2 sin x = =右边 ? 原等式成立。 cos x ? cos 2 x 3x x 3x x 3x x 3x x 2 sin( ? ) sin cos ? cos sin sin sin 2 2 = 2 2 2 2= 2 2 证法二：右边= 3x x 3x x 3x x cos cos 2 cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 3x x = tan -tan =右边。? 原等式成立。 2 2 sin
点评：证法一是从左边到右边，通过化弦，运用两角差的公式及积化和差的公式直达目标； 而证法二从右边出发，将 x 写成 3. 解：∵

2 sin ? ? cos ? ? ?5 sin ? ? 3 cos ?

3x x - ，再用两角差的公式，向左边推进. 2 2
∴cos ? ? 0 (否则 2 = ? 5 )

用心

爱心

专心

∴

2 tan ? ? 1 ? ?5 tan ? ? 3

解之得：tan ? = 2

∴原式 ?

3(1 ? tan2 ?) 4 ? 2 tan? 3(1 ? 2 2 ) 4 ? 2 ? 2 7 ? ? ? ? 5 1 ? tan2 ? 1 ? tan2 ? 1 ? 22 1 ? 22
2sin

?
2

cos

?
2

? sin 2

?
2

? cos
2

2

?
2

4. 证明：∵左边=

1 ? 2sin

?
2

cos

?
2

? 2 cos

?
2

?1

?

2 tan

?
2

? tan 2

?
2

?1

2 tan
∴

?
2

=?

(tan

?
2

? 1) 2 ? 1)

?2

2(tan

?
2

=?

1 ? 1 tan ? ? 右边 2 2 2

sin ? ? 1 1 ? 1 ? tan ? 1 ? sin ? ? cos ? 2 2 2

b 2b 1 ? ( )2 1 ? tan 2 ? 2 tan ? a ?b a ?b ?a 5. 证明: ∵左边= a 2 2 b b 1 ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? ( )2 1 ? ( )2 a a
=

a(a 2 ? b 2 ) ? b(2ab) a(a 2 ? b 2 ) ? a =右边 = a 2 ? b2 a 2 ? b2

∴ a cos 2? ? b sin 2? ? a 6. 证明：∵ x ? 2 tan

?
2

? x tan 2

?
2

?0∴x?

2 tan

?
2 ? sin ?

1 ? tan 2 1 ? tan 2 1 ? tan

?

2

∵ y ? 1 ? tan

2 ?

2

? y tan

2 ?

?
2 = cos? 2

2

? 0∴ y ?

2 ?

cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2sin 2 ? = x2 ? y 2 ? 2sin 2 ?
∴ cos 2? ? x ? y ? 2sin
2 2 2

?

§3.4 三角恒等变换单元测试 1.B; 2.C; 3.B; 4.B; 5.D; 6.C; 7.B; 8.D; 9.A; 10.C; 11.C; 12.C; 13. ? 15. 1; 16. ②④;

3 47 ; 14. ? ; 4 81

用心

爱心

专心

17．左 ? | 1 ? cos x | ? | 1 ? cos x | ? 2 cos x =右， | sin x | | sin x | | sin x |
? 2 cos x 2 cos x ?? , sin x ? 0,2k? ? ? ? x ? 2k? ? 2? | sin x | sin x (k ? Z ).

18 . ?

28 75

19 如图设 ?P0 N ? ? ，则 PN= 20sin ? , MN ? 20 cos? ?

20 3

sin ? ，

SMNPQ= 20sin ? (20 cos? ? 20 sin ? ) ，
3
Q P

当 ? ? 30? 时，

O M N

SMNPQ 取最大值

200 3 ． 3
x 1 ? 2 2 且0 ? x ? ? 2 4

20．解：（Ⅰ）∵ 0 ? x ? ? ? y ? ?
2

tan

∴ cos ?

x 2

2 5

x 1 sin ? 2 5
13 2 2

cos x ? 2 cos2

x 3 ?1 ? 2 5
13

sin x ?

4 5

又 sin(x ? y) ? 5 , ? ? x ? y ? 3?

∴ cos(x ? y) ? ? 12

∴ cos y ? cos[(x ? y) ? x] ? cos(x ? y) cos x ? sin(x ? y) sin x ? ? 12 ? 3 ? 5 ? 4 ? ? 16
13 5 13 5

65

（Ⅱ）∵ 0 ? x ? ?

2

? y ??

，∴ ? ? x ? y ? 3?
2 2

?
2

? y?x? y?

3? 2

又 y ? sin x在[ ? , 3? ] 上为减函数，∴ sin y ? sin(x ? y)
2 2

21、 f ( x ) ? 2sin( ?

x ? 2? 2? ? ? )（1）ymax ? 2, ymin ? ?2（2） （3）? 4k? ? 略 , 4k? ? ,k ?Z 2 6 3 3 ? ? ?

用心

爱心

专心