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2012优化方案高考数学(文)总复习(人教A版)第8章第4课时

时间:2014-07-19


第4课时

空间中的平行关系

第 4 课 时 空 间 中 的 平 行 关 系

温故夯基·面对高考

考点探究·挑战高考

考向瞭望·把脉高考

温故夯基·面对高考

1.直线与平面平行的判定与性质 (1)判定定理: 平面外一条直线与_

__________________ 此平面内的一条直线 平 行,则该直线与此平面平行. (2)性质定理: 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的 平行 . 任一平面与此平面的交线与该直线_____

2.平面与平面平行的判定与性质

(1)判定定理:
两条相交直线 与另一个平 一个平面内的______________

面平行,则这两个平面平行.
(2)性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 平行 . 那么它们的交线_____

思考感悟

能否由线线平行得到面面平行?
提示:可以.只要一个平面内的两条相

交直线分别平行于另一个平面内的两条
相交直线,这两个平面就平行.

考点探究·挑战高考

考点突破

直线与平面平行的判定
判定直线与平面平行,主要有三种方法: (1)利用定义(常用反证法). (2)利用判定定理:关键是找平面内与已知直 线平行的直线.可先直观判断平面内是否已 有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角 形的中位线、平行四边形的对边或过已知直 线作一平面找其交线.

(3)利用面面平行的性质定理:当两平面平

行时,其中一个平面内的任一直线平行于另
一平面. 特别提醒:线面平行关系没有传递性,即平 行线中的一条平行于一平面,另一条不一定 平行于该平面.

例1

如图,正方体ABCD-A′B′C′D′中,E、

F分别是DD′、DB的中点,求证:EF平行于平
面ABC′D′.

【思路分析】

要证直线与平面平行,可转化

为证明直线EF与平面ABC′D′内的一条直线平 行,要找出这条直线,可联系条件E、F分别是 DD′、DB的中点,利用中位线定理证明.

【证明】 如图所示,连结D′B. 在△DD′B中,E、F分别是DD′、DB的中点, ∴EF∥D′B.

又∵D′B?平面ABC′D′,
EF?平面ABC′D′, ∴EF平行于平面ABC′D′.

【方法指导】

证明直线与平面平行时,可先

直观判断平面内是否存在一条直线与已知直线 平行,如本题利用中位线的性质可知EF∥D′B, 若没有,可以考虑通过面面平行得到线面平

行.同时注意化归与转化思想的应用,如平行
问题间的转化:

平面与平面平行的判定 判定平面与平面平行的常用方法有: (1)利用定义(常用反证法). (2)利用判定定理:转化为判定一个平面内的

两条相交直线分别平行于另一个平面.客观
题中,也可直接利用一个平面内的两条相交 线分别平行于另一个平面内的两条相交线来 证明两平面平行.

α∥ β? ? ?? α∥ γ. (3)利用面面平行的传递性: γ∥ β ? ? α⊥ l? ? ?? α∥ β. (4)利用线面垂直的性质: β⊥ l ? ?

例2

如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1各

棱长均为4,E、F、G、H分别是AB、AC、 A1C1、A1B1的中点. 求证:平面A1EF∥平面BCGH.

【思路分析】

本题证面面平行,可证明

平面A1EF内的两条相交直线分别与平面 BCGH平行,然后根据面面平行的判定定 理即可证明.
【证明】 △ ABC 中, E、 F 分别为 AB、 AC 的中点, ∴ EF∥ BC. 又∵ EF?平面 BCGH, BC?平面 BCGH, ∴ EF∥平面 BCGH.

又∵ G、 F 分别为 A1C1、 AC 的中点, ∴ A1G 綊 FC. ∴四边形 A1FCG 为平行四边形. ∴ A1F∥ GC. 又 A1F?平面 BCGH, CG? 平面 BCGH, ∴ A1F∥平面 BCGH. 又∵ A1F∩ EF= F, ∴平面 A1EF∥平面 BCGH.

【名师点评】

利用面面平行的判定定理

证明两个平面平行是常用的方法,即若
a?α,b?α,a∥β,b∥β,a∩b=O,则 α∥β.

互动探究

在本例中,若D是BC上一点,且

A1B∥平面AC1D,D1是B1C1的中点. 求证:平面A1BD1∥平面AC1D.

证明:如图所示,连结A1C交AC1于点E,连结ED, ∵四边形A1ACC1是平行四边形, ∴E是A1C的中点, ∵A1B∥平面AC1D,平面A1BC∩平面AC1D=ED, ∴A1B∥ED, ∵E是A1C的中点, ∴D是BC的中点, 又∵D1是B1C1的中点, ∴BD1∥C1D,A1D1∥AD, 又A1D1∩BD1=D1, ∴平面A1BD1∥平面AC1D.

直线与平面平行的性质 利用线面平行的性质,可以实现由线面平行 到线线平行的转化.在平时的解题过程中, 若遇到线面平行这一条件,就需在图中找(或 作)过已知直线与已知平面相交的平面.这样 就可以由性质定理实现平行转化.

例3

如图,已知四边形ABCD是平行四边形,

点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在

DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM
于GH.求证:AP∥GH.

【思路分析】 要证AP∥GH,只需证AP∥ 面BDM. 【证明】 如图,连结AC,设AC交BD于O, 连结MO. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴O是AC的中点. 又∵M是PC的中点,∴MO∥AP. MO?平面BDM,AP?平面BDM, ∴AP∥平面BDM. 又经过AP与点G的平面交平面BDM于GH, ∴AP∥GH.

【名师点评】

利用线面平行的性质

定理证明线线平行,关键是找出过已

知直线的平面与已知平面的交线.

方法感悟 方法技巧

转化思想的体现
平行问题的转化方向如图所示:

具体方法如下:

(1)证明线线平行:①平面几何有关定理;②
公理4;③线面平行的性质定理;④面面平行 的性质定理;⑤线面垂直的性质定理. (2)证明线面平行:①线面平行的定义;②线 面平行的判定定理;③面面平行的性质定理.

(3)证明面面平行:①面面平行的定义;②面
面平行的判定定理.

失误防范 1.在推证线面平行时,一定要强调直线不 在平面内,否则,会出现错误.

2.可以考虑向量的工具性作用,能用向量
解决的尽可能应用向量解决,可使问题简

化.

考向瞭望·把脉高考

考情分析 从近几年的广东高考试题来看,直线与平面平行 的判定,以及平面与平面平行的判定是高考的热 点,题型既有选择题、填空题,也有解答题,难 度为中等偏高;本节主要考查线面平行的判定, 考查线∥线 ? 线∥面 ? 面∥面的转化思想,并且考 查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力. 预测2012年广东高考仍将以线面平行的判定为主 要考查点,重点考查学生的空间想象能力和逻辑 推理能力.



规范解答 (本题满分12分)(2010年高考陕西卷)如图,

在四棱锥P-ABCD中,
底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP= AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中 点. (1)证明:EF∥平面PAD;

(2)求三棱锥E-ABC的体积V.

【解】

(1)证明:在△PBC中,E,F分别是

PB,PC的中点, ∴EF∥BC. 2分

∵四边形ABCD为矩形,∴BC∥AD,
∴EF∥AD.

4分
又∵AD?平面PAD,EF?平面PAD, ∴EF∥平面PAD. 分 6

(2)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交

AB于点G,
7分

1 则 EG⊥平面 ABCD,且 EG= PA. 2 在△PAB 中, AP= AB,∠ PAB=90° , BP= 2, 2 ∴ AP= AB= 2, EG= . 2 1 1 ∴ S△ ABC= AB· BC= × 2× 2= 2, 2 2

8分

10 分

1 1 2 1 ∴ VE- ABC= S△ ABC· EG= × 2× = . 12 分 3 3 2 3

【名师点评】

本题主要考查了空间几何体中

的线面平行关系和三棱锥的体积公式.同时考
查空间想象能力,推理论证能力和运算求解能

力.难度中等.本题对于考生来说是比较容易
入手的,但第(1)问中有的考生一入手就写 “EF∥AD”,这是不规范的.

名师预测 1.已知直线a,b,平面α,且满足a?α,则使 b∥α的条件为( ) A.b∥a B.b∥a且b?α C.a与b异面 D.a与b不相交 答案:B 2.若直线m?面α,则条件甲:直线l∥α,是条 件乙:l∥m的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条 件 答案:D

3. (教材习题改编 )a,b, c 为三条不重合的直线, α, β, γ 为三个不重合的平面,现给出六个命题: ? ? ?a∥ c ?a∥ γ ①? ? a∥ b ②? ? a ∥b ? ? ?b∥ c ?b∥ γ
? ?α∥ c ③? ? α∥ β ?β∥ c ? ? ?α∥ c ⑤? ? α∥ a ? ?a∥ c ? ?α∥ γ ④? ? α∥ β ?β∥ γ ? ? ?a∥ γ ⑥? ? α∥a ? ?α∥ γ

其中正确的命题是(

)

A.①②③
C.①④ 答案:C

B.①④⑤
D.①④⑤⑥

4.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的 中点,则BD1与平面ACE的位置关系为

__________.
答案:平行

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