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高二期中复习讲义(教师用)

时间:2014-11-20


① 在平面内,若动点 M 到 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) 两点的距离之和等于 2,则动点 M 的轨 迹是以 F1 , F2 为焦点的椭圆; ② 在平面内,已知 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,若动点 M 满足条件: MF 1 ? MF 2 ? 8 ,则动

x2 y 2 ? ?1; 16 9 ③ 在平面内,若动点 M 到点 P(1,0

) 和到直线 2 x ? y ? 2 ? 0 的距离相等,则动点 M 的
点 M 的轨迹方程是 轨迹是抛物线。 其中正确命题的个数是____0____ 1. 设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意 x, y ? S ,都有 x ? y,x ? y,xy ? S , 则称 S 为封闭集。下列命题: ①集合 S={z|z= a+bi( a,b 为整数, i 为虚数单位)}为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0 ? S ;

w_w_w.k*s 5

*

③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S ? T ? C 的任意集合 T 也是封闭集. 其中真命题是 ①②

w_w w. k#s5_u.c o* m

1、 已知关于 x 的实系数方程 x2 ? 2ax ? a2 ? 4a ? 4 ? 0(a ? R) 的两根分别为 x1 , x2 ,且

x1 ? x2 ? 3 ,则 a 的值是_____________.
解: ,

1 3 2 2

x2 y 2 如图,点 P( x, y) ( x ? 0, y ? 0) 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上的动点, F1 , F2 是双 a b
曲线的焦点, M 是 ?F 1PF 2 的平分线上一点,且 F 2 M ? MP ? 0 . 某同学用以下方法研究

OM :延长 F2 M 交 PF1 于点 N ,可知 ?PNF2 为等腰三角形,且 M 为 F2 N 的中点,得
OM ? 1 NF1 ? 2 ? a .类似地:点 P( x, y) ( x ? 0, y ? 0) 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

上的动点, F1 , F2 是椭圆的焦点, M 是 ?F 1PF 2 的平分线上一点,且 F 2 M ? MP ? 0 ,则

OM 的取值范围是

?0,

a 2 ? b2

?

.

y

y

N

P
M M

P

F1

O

F2

x

F1

O

F2

x

8. 方程

x| x| y| y| ? ? ?1 的曲线即为函数 y ? f ( x) 的图像,对于函数 y ? f ( x) ,有如下 16 9

结论:① f ( x) 在 R 上单调递减;②函数 F(x) ? 4 f (x) ? 3x 不存在零点;③ y ? f (| x |) 的 最 大 值 为 3 ; ④ 若 函 数 g(x) 和 f ( x) 的 图 像 关 于 原 点 对 称 , 则 y ? g(x) 由 方 程

y| y| x| x| ? ? 1 确定.其中所有正确的命题序号是____①②___ 16 9 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA 、 PB 、 PC 两两垂直,且 PA ? 3, PB ? 2, PC ? 1 .设 M 是底面 ABC 内一点,定义 f (M ) ? (m, n, p) ,其中 m 、n 、 p 分别是三棱锥 M ? PAB 、 1 a 1 三棱锥 M ? PBC 、三棱锥 M ? PCA 的体积.若 f ( M ) ? ( , x, y ) ,且 ? ? 8 恒成立, 2 x y 则正实数 a 的最小值为____1____.

2、 从双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 引圆 a 2 b2

切点为 T . 延长 FT 交双曲线右支于 P 点, x2 ? y 2 ? a2 的切线, 若 M 为线段 FP 的中点, O 为坐标原点,则 | MO | ? | MT | = _______________. 解:记双曲线右焦点为 F2 ,联结 PF2

? MO ? MT ?

1 PF2 ? MT 2 1 1 ? ( PF ? 2a ) ? MT ? PF ? a ? MT 2 2

? MF ? MT ? a ? TF ? a



?FTO ? 90?

? TF ? c 2 ? a 2 ? b

? MO ? MT ? b ? a
B 3、 正 四 棱 锥 S ? A B C 中D, ?ASB ? 45? , 二 面 角 A ? S ?
) cos? ? a ? b ,( a , b 为整数),则 a ? b ? ( (A) ?3 (B) ?5 (C) ?8 (D) ?24 解:因各侧面为全等的等腰三角形.在 ?SAB 内作高 AE,则 CE 也是 ?SBC 的高,故

C ? 且 为

?AEC ? ? .设 SA ? 1 则 AE ? CE ?

1 45? , AB ? BC ? 2sin , AC 2 ? AB2 ? BC 2 2 2

= 8sin

2

AE 2 ? CE 2 ? AC 2 45? ? 4(1 ? cos 45?) ? 4 ? 2 2 . cos ? ? ? ?3 ? 8 , 2 2 AE ? CE

得 m ? n ? ?3 ? 8 ? 5 . 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD= 2 , ?CDA ? 45? . (I)求证:平面 PAB⊥平面 PAD; (II)设 AB=AP. (i)若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30 ? ,求线段 AB 的长; (ii)在线段 AD 上是否存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等?说明 理由。 【解析】解法一: (I)∵ PA ? 平面 ABCD, AC ? 平面 ABCD, ∴ PA ? AB , 又∵ AB ? AD, PA

AD ? A, ∴ AB ? 平面 PAD。

又∵ AB ? 平面 PAB,∴平面 PAB ? 平面 PAD。 (II)以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz (如图) 在平面 ABCD 内,作 CE//AB 交 AD 于点 E,则 CE ? AD . 在 Rt ?CDE 中,DE= CD ? cos 45? ? 1 ,

CE ? CD ? sin 45? ? 1,
设 AB=AP=t,则 B(t,0,0) ,P(0,0,t) 由 AB+AD=4,得 AD=4-t, 所以 E (0,3 ? t ,0), C(1,3 ? t ,0), D(0, 4 ? t,0) ,

CD ? (?1,1,0), PD ? (0,4 ? t, ?t ).
(i) 设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 由 n ?C 得? D ,n ? PD ,

?? x ? y ? 0, ?(4 ? t ) y ? tx ? 0.

取 x ? t ,得平面 PCD 的一个法向量 n ? {t , t , 4 ? t} , 又 PB ? (t ,0, ?t ) ,故由直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30 ? ,得

cos 60? ?|

n ? PB | 2t 2 ? 4t | 1 |, 即 ? , 2 2 2 2 2 | n | ? | PB | t ? t ? (4 ? t ) ? 2 x

解得 t ?

4 4 或t ? 4 (舍去,因为 AD ? 4 ? t ? 0 ) ,所以 AB ? . 5 5

(ii)假设在线段 AD 上存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等, 设 G(0,m,0) (其中 0 ? m ? 4 ? t ) 则 GC ? (1,3 ? t ? m,0), GD ? (0,4 ? t ? m,0), GP ? (0, ?m, t ) , 由 | GC |?| GD | 得 (4 ? t ? m) ? m ? t , (2)
2 2 2

由(1) 、 (2)消去 t,化简得 m ? 3m ? 4 ? 0 (3)
2

由于方程(3)没有实数根,所以在线段 AD 上不存在 一个点 G, 使得点 G 到点 P,C,D 的距离都相等。 从而,在线段 AD 上不存在一个点 G, 使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等。 解法二: (I)同解法一。 (II) (i)以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A—xyz(如图) 在平面 ABCD 内,作 CE//AB 交 AD 于 E,则 CE ? AD 。 在平面 ABCD 内,作 CE//AB 交 AD 于点 E,则 CE ? AD. 在 Rt ?CDE 中,DE= CD ? cos 45? ? 1 ,

CE ? CD ? sin 45? ? 1,
设 AB=AP=t,则 B(t,0,0) ,P(0,0,t) 由 AB+AD=4,得 AD=4-t,

E(0,3 ? t ,0), C(1,3 ? t,0), D(0, 4 ? t,0) ,

CD ? (?1,1,0), PD ? (0,4 ? t, ?t ).
设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 由 n ? CD , n ? PD ,得 ?

?? x ? y ? 0, ?(4 ? t ) y ? tx ? 0.

取 x ? t ,得平面 PCD 的一个法向量 n ? {t , t , 4 ? t} ,

又 PB ? (t ,0, ?t ) ,故由直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30 ? ,得

n ? PB | 2t 2 ? 4t | 1 cos 60? ?| |, 即 ? , 2 2 2 2 2 | n | ? | PB | t ? t ? (4 ? t ) ? 2 x
解得 t ?

4 4 或t ? 4 (舍去,因为 AD ? 4 ? t ? 0 ) ,∴ AB ? . 5 5

(ii)假设在线段 AD 上存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等, 由 GC=CD,得 ?GCD ? ?GDC ? 45? , 从而 ?CGD ? 90? ,即 CG ? AD, ∴ GD ? CD ? sin 45? ? 1, 设 AB ? ? , 则AD=4-?, AG ? AD ? GD ? 3 ? ? , 在 Rt ?ABG 中, GB ?

AB 2 ? AG 2 ? ? 2 ? (3 ? ? ) 2
这与 GB=GD 矛盾。

3 9 ? 2(? ? )2 ? ? 1, 2 2

所以在线段 AD 上不存在一个点 G,使得点 G 到点 B,C,D 的距离都相等, 从而,在线段 AD 上不存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等。 已知动圆过定点 ?

p ?p ? 且与直线 x ? ? 相切, 其中 p ? 0 . ,0 ? , 2 ?2 ?
y

B A M

(I)求动圆圆心 C 的轨迹的方程; (II) 设 A、 B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点, 直线 OA 和 OB 的倾斜角分别为 ? 和 ? ,当 ? , ? 变化且 ? ? ? 为定值

N

o

x
?p ? F ? ,0 ? ?2 ?

? (0 ? ? ? ? ) 时,证明直线 AB 恒过定点,并求出该定点的坐
标. 解: (I)如图,设 M 为动圆圆心,? 作直线 x ? ?

x??

p 2

?p ? ,0 ? 为记为 F ,过点 M ?2 ?

p 的垂线,垂足为 N ,由题意知: MF ? MN 即动点 M 到定点 F 与定直线 2

x?? x??

p ?p ? 的距离相等,由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 F ? ,0 ? 为焦点, 2 ?2 ? p 2 为准线,所以轨迹方程为 y ? 2 px( P ? 0) ; 2

(II)如图,设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题意得 x1 ? x2 (否则 ? ? ? ? ? )且 x1 , x2 ? 0 所 以直线 AB 的斜率存在,设其方程为 y ? kx ? b ,显然 x1 ?

y12 y2 , x2 ? 2 ,将 y ? kx ? b 与 2p 2p
由 p ?0 b 韦 达 定 理 知

y 2 ? 2 px(P ? 0) 联 立 消 去 x , 得 k 2 y? 2
y1 ? y2 ? 2p 2 pb , y1 ? y2 ? ① k k

p?y 2

( 1 )当 ? ?

?
2

时,即 ? ? ? ?

?
2

时, tan? ? tan 所以 ?? 1

y1 y2 ? ? 1, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , x1 x2

2 y12 y2 2 pb ? 4 p 2 所以 b ? 2 pk . 因此直线 AB 的方程可 ? y1 y2 ? 0 所以 y1 y2 ? 4 p 2 由①知: 2 k 4p

表示为 y ? kx ? 2Pk ,即 k ( x ? 2 P) ? y ? 0 所以直线 AB 恒过定点 ? ?2 p,0? (2)当 ? ?

?
2

时,由 ? ? ? ? ? ,得 tan ? ? tan(? ? ? ) =

tan ? ? tan ? = 1 ? tan ? tan ?

2p 2p 2 p( y1 ? y2 ) ? 2 pk , 将①式代入上式整理化简可得: tan ? ? ,所以 b ? 2 tan ? b ? 2 pk y1 y2 ? 4 p
此时,直线 AB 的方程可表示为 y ? kx ?

2p 2p ? ? ? 2 pk 即 k ( x ? 2 p) ? ? y ? ??0 tan ? tan ? ? ?

所以直线 AB 恒过定点 ? ?2 p, 所以由(1) (2)知,当 ? ? 定点 ? ?2 p,

? ?

2p ? ? tan ? ?
时,直线 AB 恒过定点 ? ?2 p,0? ,当 ? ?

?
2

?
2

时直线 AB 恒过

? ?

2p tan ?
2

? ?. ?
t

设虚数 z 满足 z ? m z ? (1) 求 z 的值;

m100 ? 0 (m 为实常数, m ? 0且m ? 1 , t 为实数). 4

(2) 当 t ? N ,求所有虚数 z 的实部和; (3) 设虚数 z 对应的向量为 OA ( O 为坐标原点) , OA ? (c, d ) ,如 c ? d ? 0 ,求 t 的取值范围.

?

解: (1) z ?

mt ? m100 ? m2t i , 2
(或 zz ? z ?
2

=

mt ? m100 ? m2t i

?z ?

m2t m100 ? m2t m50 ? ? 4 4 2

m100 m50 ?z ? ) 4 2 mt ; 2

(2) z 是虚数,则 m100 ? m2t ? 0 ? mt ? m50 , z 的实部为

50 50 mm m2 m2 m49 m m49 ?m m m50 ? m m mt ? ?? 1, 1,得 得 50 tt 且 ? ? 50 50 t且 且 ?ttN ? ?N N? ? ? S S S? ? ? 2( 2( 2( ? ? ? ? ? ? )? ) ?. 当 m ? 1, 得 2 22 2 2 2 2 m ?1 m ?1 ? ? ? 51 51 5151 52 52 52 52 51 51 51 51 m m m m m m m m m m m ? ? ? ? ))? )) ? ? ? . 2 22 2 2 22 1 1 ? 1 1 ?m ? ? m m

00 ? 0? 0 ? m m ? m ?m ? ? 1, 1, 1, ? 得 得 1, 得 t得 tt ? ? ? t50 50 ? 50 且 50 且 且 且 ttt? ? ? tN ? NN ? ? ? S S S? S ? ?2( ? 2( ? ?? 当 2 2( ?

?? ?

(3)解: c ?

mt ? m100 ? m2t ? 0, d ? 2 2

① d? dd ? ? ? ?

100 100 100 t 2t t m m m ?? ? 22m 2 ,c ? ,, c d ? d 恒成立, 22 2

m100 ? m2t ? 0由 ? mt ? m50 得,当 m ? 1 时, t ? 50 ;当 0 ? m ? 1 时, t ? 50
② d ?

m100 ? m2t mt , 如 c ? d, 则 ? 2 2

m100 ? m2t m100 m50 ? m2 t ? 即m t ? , 2 2 2

?t ? 50 1 1 ? 即50 - log log 2 t? ? 50 ? 2? ?t 50 当 m ? 1, ? . 50 1 mm 2 2 t ? 50 ? log 2 m ? ? 2 ?t ? 50 11 ? 即50 50< < 50 log ?tt ? 50 ? - log 当 0 ? m ? 1, ? 1 m 2 m 2 22 t ? 50 ? log m 2 ? ? 2

已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两焦点分别为 F1、F2 , P 是椭圆在第一象限内的一点,并满足 4 2 PF1 ? PF2 ? 1 ,过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点.

(1)求 P 点坐标; (2)当直线 PA 经过点 (1 , 2) 时,求直线 AB 的方程; (3)求证直线 AB 的斜率为定值. ( 1 ) 由 题 可 得 F1 (? 2,0) , F2 ( 2,0) , 设 P0 ( x0 , y 0 ) ( x0 ? 0, y 0 ? 0) 则 (1 分) PF1 ? (? 2 ? x0 , ? y0 ) , PF2 ? ( 2 ? x0 , ? y0 ) ,∴ PF1 ? PF2 ? x02 ? y02 ? 2 ? 1 ,

x0 2 y0 2 ? ? 1, ∵点 P( x0 , y0 ) 在曲线上,则 (2 分)解得点 P 的坐标为 ( 2,1) . (4 分) 4 2 (2)当直线 PA 经过点 (1 , 2) 时,则 PA 的斜率为 ?1 ,因两条直线 PA、PB 的倾斜角
互补,故 PB 的斜率为 1 ,

? ? y ? 1 ? ?x ? 2 ? 3x 2 ? 4( 2 ? 1)x ? 2 ? 4 2 ? 0 得, x1 ? 2, x2 ? 2 ? 4 y2 3 ? ?1 ? ?4 2 2 ? 4 ,故 y ? 2 2 ? 1 , 2 ? 4 , y ? ? 2 2 ? 1 (4 分) 即 xA ? (2 分)同理得 xB ? A B 3 3 3 3 2 x?2 ∴直线 AB 的方程为 y ? (6 分) 2 3 (3) 依题意,直线 PA、PB 的斜率必存在,不妨设 BP 的方程为: ? ? y ? 1 ? k(x ? 2) y ?1 ? k(x ? 2)(k ? 0) .由 ? x 2 y 2 得 ? ?1 ? ?4 2 2 2 (2 分)设 B( xB , y B ) ,则 (2k ?1) x ? 4k ( 2k ?1) x ? 4k 2 ? 4 2k ? 2 ? 0 ,
由 ? x2

2 2k 2 ? 4 k ? 2 2 2k 2 ? 4k ? 2 4k ( 2k ? 1) , xB ? ,同理 xA ? , 2 ? xB ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 8k 4 2k 则 x A ? xB ? ,同理 y A ? yB ? ?k ( xA ? xB ? 2 2) ? .(4 分) 2 2k ? 1 2k 2 ? 1 y ? yB 2 所以: AB 的斜率 k AB ? A 为定值. (6 分) ? xA ? xB 2 ? ? 已知复数 z1 ? 2sin ? ? 3i, z2 ? 1 ? (2cos? )i , ? ? [ , ] . 3 2 (1)若 z1 ? z2 为实数,求角 ? 的值;
(2) 若复数 z1 , z2 对应的向量分别是 a, b , 存在 ? 使等式 (? a ? b ) ? ( a ? ? b ) ? 0 成立, 求实数 ? 的取值范围. 解: (1) z1 ? z 2 ? (2 sin ? ? 3i)? 1 ? (2 cos? )i? …………………………2 分 ? (2sin ? ? 2 3 cos? ) ? (2sin 2? ? 3)i ? R ,
? ? ? ?

? sin 2? ?

2

3 ,……………………………………………………………………4 分 2

2? 2 ? ? 2? ? ? ,? 2? ? ? ,即 ? ? .……………………………………6 分 3 3 3
2

(2) a ? b ? 8 ,………………………………………………………………………8 分

a ? b ? 2sin ? ? 2 3 cos? ,………………………………………………………10 分
(? a ? b ) ? ( a ? ? b ) ? ? ( a ? b ) ? (1 ? ?2 ) a? b ? 0 .
? ? ? ?

?2

?2

? ?

得 8? ? (1 ? ?2 )(2 sin? ? 2 3 cos? ) ? 0 , 整理得

? ? 1 ? [0, ] ,所以 sin(? ? ) ? [0, ] . 3 6 3 2 1 2? ? 0 即可, 只要 ? ? 2 1 ? ?2
因为 ? ?

?

2? ? ? ? sin(? ? ) .……12 分 2 1? ? 3

解得 ? ? ?2 ? 3 或 ? 2 ? 3 ? ? ? 0 .


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