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高考数学 数列专题复习

时间:2016-02-23


专题一
【知识框架】

数列

定义 项,通项 数列基础知识 数列表示法 数列分类 数列 等差数列 等比数列 特殊数列 定义 通项公式 前n项和公式 性质 其他特殊数列求和

【知识要点 1】
一、数列的概念
1. 数列是按一定顺序排列的一列数,记作 a1,a2,a3……an,……简记{an

}. 2. 数列{an}的第 n 项 an 与项数 n 的关系若用一个公式 an=f(n)给出,则这个公式叫做这个数列的通项公式。 3. 如果已知数列{an}的第一项(或前几项) ,且任何一项 an 与它的前一项 an-1(或前几项)间的关系可以用一个 式子来表示,即 an =f(an-1)或 an =f(an-1,an-2) ,那么这个式子叫做数列{an}的递推公式. 4. 数列可以看做定义域为 N*(或其子集)的函数,当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值,它的图 像是一群孤立的点。 二、数列的表示方法: 列举法、图示法、解析法(用通项公式表示)和递推法(用递推关系表示) 。 三、数列的分类 1. 按照数列的项数分:有穷数列、无穷数列。 2. 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分:有界数列、无界数列。 3. 从函数角度考虑分: (考点) ①递增数列:对于任何 n∈ N+,均有 an+1 > an ②递减数列:对于任何 n∈ N+,均有 an+1 < an ③摆动数列:例如:1,-1,1,-1,1,-1…? ? ? ? ④常数数列:例如:6,6,6,6,6,6… ⑤有界数列:存在正数 M,使 an <M, n∈N+ ⑥无界数列:对于任何正数 M,总有项 an,使得|an|>M 四、an 与 Sn 的关系: (考点) 1. Sn = a1+a2+a3+…+an=

?a
i ?1

n

i

2. an=

S1 Sn-Sn-1

(n=1) (n≥2)

-1-

【例题 1】已知数列{an}是递增数列,其通项公式为 an=n2+λn(n=1,2,3…) ,则实数 λ 的取值范围 [解析]: ∵数列{an}的通项公式为 an=n2+λn(n=1,2,3…) 数列是递增数列 ∴an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)- n2-λn =2n+1+λ>0 恒成立 ∵2n+1+λ 的最小值是 3+λ ∴3+λ>0 ∴λ>-3 实数 λ 的取值范围是(-3,+∞) 2 【例题 2】数列{an}的通项公式为 an=3n -28n,则数列各项中最小项是( B ) A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 [解析 1]:an=f(n)= 3n2-28n,f(n)是一元二次函数,其图像开口向上,有最低点,最低点是 由于 n∈ N+,故取 n=4 和 n=5 代入,得到 a4=-64,a5=-65,故选择 B [解析 2]: an≥an-1 3n2-28n≥3(n-1)2-28(n-1) 设 an 为数列的最小项,则有 代入化简得到 an≤an+1 3n2-28n≤3(n+1)2-28(n+1) 25 31 ? n ? 解得: 故 n=5



28 6

6

6

【练习 1】在数列 1,1,2,3,5,8,x,21,34,55 中,x 的值为( D ) A.10 B.11 C.12 D.13 2 【练习 2】数列{an}的前 n 项和 Sn=n -4n+1,则 an

an=

-2 2n-5

(n=1) (n≥2)

【知识要点 2 等差数列】
1. 定义:如果数列{an}从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这 个常数叫等差数列的公差。即 an-an-1=d(n∈N+,且 n≥2) ,或者 an+1-an=d(n∈N+) 2. 通项公式: an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d (公式的变形) an=an+b 其中 a=d,b= a1-d 3. 前 n 项和公式:

Sn ?

n(a1 ? an ) 2

S n ? na1 ?

n(n - 1) d 2

(公式的变形) Sn=An2+Bn

其中 A=

d 2

B= a1 ?

d 2

4. 性质: (1)公式变形

a+b ,那么 A 叫做 a 和 b 的等差中项. 2 (3)若{ an }为等差数列,且有 k+l=m+n, 则 ak + al = am + an
(2)如果 A= (4)若 {an },{bn } 为等差数列则{ pan + qbn }是等差数列,其中 p,q 均为常数 (5)若{ an }为等差数列,则 ak , ak+m, ak+2 m,... (k,m ? N )组成公差为 md 的等差数列.
*

(6)若 Sm, S2 m, S3m 分别为{ an }的前 n 项,前 2m 项,前 3m 项的和,则 Sm , S2 m - Sm , S3m - S2 m 成等差数列. (7)若{ an }设等差数列,则 {

Sn 1 } 是等差数列,其首项与{ an }首项相同,公差是{ an }公差的 n 2
若项数为 2n-1,则 S 偶=(n-1)an,S 奇=nan,

(7)非零等差数列奇数项与偶数项的性质 若项数为 2n,则 S 偶-S 奇=nd,

S偶 a ? n S奇 an ? 1

S偶 n ? S奇 n-1

5. 判断: ①定义法:an+1-an=d(n∈N+) ② 中项法: 2an+1=an+ an+2 ? ? ?

{ an }为等差数列。

③通项公式法:an=an+b(a,b 为常数)? ?? ④前 n 项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B 为常数)? ? ?
-2-

【例题 1】已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,若 S8 ? 4S4 ,则 a10 ? ( B )

19 (C) 10 (D) 12 2 n(n - 1) d [解析]:∵ S n ? na1 ? d=1 ∴S8=8a1+28 S4=4a1+6 2 19 ∵S8=4 S4 ∴ a1=0.5 an=a1+(n-1)d ∴a10= 2
(A) (B) 【例题 2】在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 25 ,则 a2 ? a8 =

17 2

10

.

[ 解析 ] :因为 ?an ? 是等差数列,所以 a3 ? a7 ? a4 ? a6 ? a2 ? a8 ? 2a5 , a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 5a5 ? 25 即

a5 ? 5 ,所以 a2 ? a8 ? 2a5 ? 10 ,故应填入 10 .

【知识要点 3 等比数列】
1. 定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个不为零的常熟,那么这个数列就叫做 等比数列.这个常熟叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示,及 2. 通项公式: 如果等比数列 {an }的公比为 q,那么它的通项公式为 an 3. 前 n 项和公式: 设等比数列{ an }的公比为 q,其前 n 项和 Sn = 4. 性质: (1) 等比数列{ an }满足 满足 或 或 na1

an+1 = q( n ? N * ) an

= a1qn-1 .
(q=1) (q≠1)

a1(1 ? q n ) 或 a1 ? an q 1?q 1?q
时,{ an }是递增数列; 时,{ an }是递减数列.

当 q=1 时,{ an }为常数数列; 当 q<0 时,{ an }为摆动数列,且所有奇数项与 a1同号,所有偶数项与 a1异号. (2)对于正整数 m,n,p,q,若 m+n=p+q,则在等比数列{ an }中, am, an , a p , aq 的关系为: am ·an = a p ·aq (3)若{ an },{ bn }为等比数列(项数相同) ,则{ l an }( l ≠0),{

1 a 2 },{ a n },{ an ·bn },{ n }仍是等比数列. an bn

(4)如果 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,且 G=±√ab。不是任何两数都有等比中项,只 有同号两数才存在等比中项,且有两个等比中项。 【例题 1】已知数列 {an } 是递增的等比数列, a1 ? a4 ? 9, a2a3 ? 8 ,则数列 {an } 的前 n 项和等于

2n ? 1

.

a1 (1 ? q n ) 1 ? 2n ? ? 2n ? 1 [解析]:由题意解得:a1=1,a4=8, q=2,那么 Sn ? 1? q 1? 2
【例题 2】数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,若 Sn ? 126 ,则 n ? [解析]:∵an+1=2an ∴数列 ?an ? 是等比数列,q=2 ∵Sn= 6 .

a1(1 ? q n ) =126 1?q

其中 a1=2

∴n=6

-3-

【知识要点 4】★(大题)
一、考点 1:求 an:
1. 归纳法(由特殊到一般即找规律) 由于归纳法求解通项的题目一般在选择填空常见,较少出现在大题中。 2. 利用 Sn 与 an 的关系求通项公式 由 Sn 求 an 时,要分 n=1 和 n≥2 两种情况讨论,然后验证两种情况能否用统一的式子表示。若不能,则分段表 示. 3. 由递推关系求数列的通项公式【累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法) 、迭代法、对数变换法、 倒数变换法、换元法(目的是去递推关系式中出现的根号) 、数学归纳法、不动点法(递推式是一个数列通 项的分式表达式) 、特征根法】 1.累加法:若已知 a1且 an - an-1 = f (n)(n ? 2) 则

(an - an-1 ) + (an-1 - an-2 ) + ... + (a3 + a2 ) + (a2 + a1 ) = an + a1 = f (n) + f (n -1) + ... + f (3) + f (2) ,即 an = a1 + f (2) + f (3) + ... + f (n - 1) + f (n) .
2.累乘法:若已知 a1且

an a a a a = f (n)(n ? 2), 则 n · n-1 ·...· 3 · 2 = f (n)· f (n - 1)·....· f (3)· f (2) ,即 an-1 an-1 an-2 a2 a1 an = a1 ·a2 ·f (2)·f (3)·...·f (n - 1) f (n) b 可用待定系数法求出. p -1

3.换元法:若已知 a1且 an = pan-1 + b(n ? 2, 且 p p ? 0, p ? 1)则令 bn = an + l ,可得{ bn }(其中 bn = pbn-1 )为 等比数列,其中 l =

【例题 1】已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 (累加法) ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 。 【例题 2】已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 (累乘法) 解:因为 an?1 ? 2(n ? 1)5 ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则
n

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ?? ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2n ?1[n(n ? 1) ?? ? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2) ??? 2?1 ? 3 ? 3 ? 2n ?1 ? 5
n ( n ?1) 2

? n!
n ?1

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2

?5

n ( n ?1) 2

? n!.

-4-

二、考点 2:求 Sn:
1.公式法:直接用等差、等比数列的求和公式求解 2.倒序相加法:在数列{ an }中,与首末两端等“距离”的两项和相等或可构成能求和的新数列,可用倒序相加 法求此数列的前 n 项和。 (此法在实际解体过程中并不常用,例子:等差数列前 n 项和公式推导) 3.错位相减法:在数列{ an bn }中,{ an }是等差数列,{ bn }是等比数列,可用错位相减法求此数列的前 n 项和. 4.裂项相消法:把数列的每一项拆成两项之差,求和时有些部分可以相互抵消,从而达到求和的目的. 5.分组转化求和法:若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列组成,则求和时可用分组转化法分 别求和再相加减。即把复杂的通项公式求和的任务转化为简单的等差和等比的求和。 6.并项求和法:一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 an 用两项合并求解. 【例题 1】设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an ? 1 ? an ? 3 ? 22n ? 1 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令

= (-1)n f (n) 类型,可采

(错位相减法) bn ? nan ,求数列的前 n 项和 Sn 。 [解析]: (1)由已知,当 n≥1 时, an?1 ? [(an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? ?? (a2 ? a1 )] ? a1

? 3(22n?1 ? 22n?3 ? ? ? 2) ? 2
? 22( n ?1) ?1 。 而 a1 ? 2, 所以数列{ an }的通项公式为 an ? 22n?1 。

(2)由 bn ? nan ? n ? 22n?1 知

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ? ?? n ? 22n?1
从而
3 5 7 22 ? Sn ? 1 ? 2 ? ?2 2 ? ? 3? 2 ?? n ? n?2



2 1②

① -②得 (1 ? 22 ) ? Sn ? 2 ? 23 ? 25 ? ?? 22n?1 ? n ? 22n?1 即
1 Sn ? [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] 9

【例题 2】求数列

1 1? 2

,

1 2? 3 1

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和。 (裂项相消法)

[解析]:设 a n ?

? n ?1 ? n n ? n ?1 1 1 1 ? ? ??? ? 则 Sn ? 1? 2 2? 3 n ? n ?1

(裂项) (裂项求和)

= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1

-5-


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