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福建省2012届普通高中毕业班4月质量检查试题(数学理)WORD版


2012 年福建省普通高中毕业班质量检查







学 共 50 分)

第Ⅰ卷(选择题
有一项是符合题目要求的. 1.在复平面上,复数 z ? (?2 ? i)i 的对应点所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

一、选择题:

本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只

D.第四象限 )

2.平面向量 a ? ? 2,1? , b ? ? m, ?2? ,若 a 与 b 共线,则 m 的值为( A. ?1 3.双曲线 B. ?4 C.1 D.4

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程是 2 x ? y ? 0 ,则其离心率为( a 2 b2
B.



A. 5

5 2

C. 3

D.5

4.若集合 A ? {x | x 2 ? x ? 2 ? 0} , B ? {x | ?2 ? x ? a} , 则“ A ? B ? ? ”的充要条件是 A. a ? ?2 B. a ? ?2 C. a ? ?1 D. a ? ?1

5. 某几何体的三视图如图所示, 且该几何体的体积是 3 , 则正视图中的 x

2

的值是 A.2 B.

9 2

C.

3 2

D.3

6. 已知 ?an ? 是公差为 2 的等差数列, a1 , a3 , a4 成等比数列, 且 则数列 ?an ? 的前 9 项和等于

A .0

B .8

C .144

D .162

7.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 8,则输入的数是 A. 2 或 2 2 B. 2 2 或 ? 2 2 C. ? 2 或 ? 2 2 D. 2 或 ? 2 2

8. a ? 0 , 设 若关于 x 的不等式 x ? 最小值为 A. 16 B. 9

a ? 5 在 x ? (1 , ? ?) 恒成立, 则 a 的 x ?1

C.

4

D. 2

9.有 3 个男生和 3 个女生参加某公司招聘,按随机顺序逐个进行面试,那么

任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是

A.1 2

B.1 4

C. 1 24

D. 1 144

10.定义在 R 上的函数 f ( x ) 及其导函数 f ?( x ) 的图象都是连续不断的曲线,且对于实数

a, b(a ? b) ,有 f ?(a) ? 0, f ?(b) ? 0 .现给出如下结论:
① ?x0 ?[a, b], f ( x0) ;② ?x0 ?[a, b], f ( x0) f (b) ; =0 ? ③ ?x0 ?[a, b], f ( x0) f (a) ;④ ?x0 ?[a, b], f (a) f (b) ? f ?( x0 )(a ? b) . ? ? 其中结论正确的个数是 A. 1 B. 2

C. 3 第Ⅱ卷(非选择题

D. 4 共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11.

? ?x
2 ?2
3

3

? 1? dx ?
1 5 ) 展开式的常数项是 x2

. .

12. ( x ?

13.圆 C 过坐标原点,圆心在 x 轴的正半轴上.若圆 C 被直线 x ? y ? 0 截得的弦长为 2 2 , 则圆 C 的方程是__________.

? x ? 2 y ? 0, ? 14.在平面直角坐标系中,不等式组 ? 2 x ? y ? 0, ( a ? 0 )表示的平面区域的面积为 5, ?x ? a ?
直线 mx-y+m=0 过该平面区域,则 m 的最大值是 .

15. 对于非空实数集 A , A* ?{y ? ?A , ?x } . 记 设非空实数集合 M ? P , m ? 1 时, 若 x y 则 m ? P . 现给出以下命题: ①对于任意给定符合题设条件的集合 M、P,必有 P* ? M * ; ②对于任意给定符合题设条件的集合 M、P,必有 M * ?P ? ? ; ③对于任意给定符合题设条件的集合 M、P,必有 M ? P* ? ? ; ④对于任意给定符合题设条件的集合 M、P,必存在常数 a ,使得对任意的 b ? M * , 恒有 a ? b ? P * , 其中正确的命题是 . (写出所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分 13 分) 阅读下面材料: 根据两角和与差的正弦公式,有

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ------① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ------②
由①+② 得 sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 2sin ? cos ? ------③

A? B A? B ,? ? 2 2 A? B A? B cos 代入③得 sin A ? sin B ? 2sin . 2 2
令 ? ? ? ? A, ? ? ? ? B 有 ? ? (Ⅰ) 类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:

cos A ? cos B ? ?2sin

A? B A? B sin ; 2 2

(Ⅱ)若 ?ABC 的三个内角 A, B, C 满足 cos 2 A ? cos 2B ? 1? cos 2C ,试判断 ?ABC 的 形状. (提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论) 17. (本小题满分 13 分) 在直角梯形 ABCD 中,AD??BC, BC ? 2 AD ? 2 AB ? 2 2 , ?ABC ? 90 ,如图(1) .把
?

?ABD 沿 BD 翻折,使得平面 ABD ? 平面BCD .
(Ⅰ)求证: CD ? AB ; (Ⅱ)若点 M 为线段 BC 中点,求点 M 到平面 ACD 的距离; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在点 N,使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60 ?若存在,求 出
?

BN 的值;若不存在,说明理由. BC

18. (本小题满分 13 分) 2012 年 3 月 2 日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民 区中的 PM2.5 年平均浓度不得超过 35 微克/立方米,PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超

过 75 微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年 40 天的 PM2.5 的 24 小时 平均浓度的监测数据,数据统计如下:

PM2.5(微克/立方 组别 米) 第一组 第二组 第三组 第四组 第三组 第四组 (0,15] (15,30] (30,45] (45,60] (60,75] (75,90) 4 12 8 8 4 4 0.1 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 频数(天) 频率

(Ⅰ)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程); (Ⅱ)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从 PM2.5 的年平均浓度考虑, 判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由;

(Ⅲ)将频率视为概率,对于去年的某 2 天,记这 2 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时平 均浓度符合环境空气质量标准的天数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E ( ? ) . 19. (本小题满分 13 分) 已知 F (?1,0), F2 (1,0) 为平面内的两个定点,动点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 2 2 ,记点 P 的轨 1 迹为曲线 ? . (Ⅰ)求曲线 ? 的方程;

B C (Ⅱ) 设点 O 为坐标原点, A , , 是曲线 ? 上的不同三点, OA ? OB ? OC ? 0 . 点 且
(ⅰ)试探究:直线 AB 与 OC 的斜率之积是否为定值?证明你的结论; (ⅱ)当直线 AB 过点 F 时,求直线 AB 、 OC 与 x 轴所围成的三角形的面积. 1 20.(本小题满分 14 分) 设函数 f (x) 的图象是由函数 g ( x) ? cos x ? 3 sin x cos x ?
2

??? ??? ??? ? ? ?

?

1 的图象经下列两个步 2

骤变换得到:

(1)将函数 g (x) 的图象向右平移

? 个单位,并将横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标 12

不变) ,得到函数 h( x) 的图象; (2) 将函数 h( x) 的图象上各点的纵坐标缩短为原来的 m(0 ? m ? 1 ) 倍 (横坐标不变) ,

2

并将图象向上平移 1 个单位,得到函数 f (x) 的图象. (Ⅰ)求 f (x) 的表达式; (Ⅱ)判断方程 f ( x) ? x 的实根的个数,证明你的结论; (Ⅲ)设数列 {an } 满足 a1 ? 0, an?1 ? f (an ) ,试探究数列 {an } 的单调性,并加以证明. 21.本题有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如 、 、 果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知向量 ?

?1 ? 1? ? 在矩阵 M ? ? ?0 ? ? 1? ?
2

m? ? 0? ? 变换下得到的向量是 ? ? ? ?1? . ? 1? ? ?
?1

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)求曲线 y ? x ? y ? 0 在矩阵 M 对应的线性变换作用下得到的曲线方程.

(2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知

4 点 M 的极坐标为 ( 2 ,

?

? x ? 1 ? 2 cos ? , ? ) ,曲线 C 的参数方程为 ? (?为参数) . 4 ? y ? 2 sin ? ?

(Ⅰ)求直线 OM 的直角坐标方程; (Ⅱ)求点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值. (3) (本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 设实数 a, b 满足 2a ? b ? 9 . (Ⅰ)若 9 ? b ? a ? 3 ,求 x 的取值范围; (Ⅱ)若 a, b ? 0 ,且 z ? a b ,求 z 的最大值.
2

2011 年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准

一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 1.C; 2.B; 3.A; 4.C; 5.C; 6.A; 7.D; 8.C; 9.B; 10.B

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分.
2 11.4 ; 12.10; 13. ? x ? 2 ? ? y ? 4 ; 14. 4 ; 2

3

15.①④.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.本小题主要考查两角和与差三角公式、 二倍角公式、 三角函数的恒等变换等基础知识, 考查运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分 13 分. 解法一:(Ⅰ)证明:因为 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ?sin ? sin ? ,------①

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
②?????????????????2 分 ① ② 得



------

cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?2sin ? sin ?

.------

③????????????3 分 令 ? ? ? ? A, ? ? ? ? B 有 ? ? 代 入

A? B A? B ,? ? , 2 2
③ 得

cos A ? cos B ? ?2sin

A? B A? B sin .???????????????6 分 2 2

(Ⅱ)由二倍角公式, cos 2 A ? cos 2 B ? 1 ? cos 2C 可化为

1 ? 2sin 2 A ? 1 ? 2sin 2 B ? 1 ?1 ? 2sin 2 C ,?????????????????
9分 所以 sin A ? sin C ? sin B .?????????????????10 分
2 2 2

设 ?ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c , 由正弦定理可得 a ? c ? b .????????????????12 分
2 2 2























?ABC











形.?????????????????13 分 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式, cos 2 A ? cos 2 B ? 1 ? cos 2C 可化为

?2sin ? A ? B? sin ? A ? B? ? 1?1? 2sin 2 C ,?????????????????8 分
因为 A,B,C 为 ?ABC 的内角,所以 A ? B ? C ? ? , 所以 ? sin ? A ? B? sin ? A ? B ? ? sin 2 ? A ? B ? . 又因为 0 ? A ? B ? ? ,所以 sin ? A ? B? ? 0 , 所以 sin ? A ? B ? ? sin ? A ? B ? ? 0 . 从而 2sin A cos B ? 0 .?????????????????10 分 又 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 0 , ?B ? 故 12 分 所以 ?ABC 为直角三角形. ?????????????????13 分 17. 本小题主要考查直线与直线、 直线与平面、 平面与平面等基础知识, 考查空间想象能力、 推理论证能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想.满分 13 分. 解法一: (Ⅰ) 由已知条件可得 BD ? 2, CD ? 2, CD ? BD . ???????????? 2分 ∵ 平面 ABD ? 平面BCD , 平面ABD ? 平面BCD ? BD . ∴ CD ? 平面ABD .??????????????3 分

?
2

.?????????????????

AB 又∵ ? 平面ABD ,∴ CD ? AB .??????????????4 分
(Ⅱ)以点 D 为原点, BD 所在的直线为 x 轴, DC 所在的直线为 y 轴,建立空间直 角坐标系,如图.由已知可得 A(1,0,1), B(2,0,0), C(0, 2,0), D(0,0,0), M (1,1, 0) . ∴ CD ? (0, ?2,0), AD ? (?1,0, ?1) .??????6 分 设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 则 CD ? n, AD ? n ∴ ?

??? ?

??? ?

? y ? 0, ? x ? z ? 0,

令 x ? 1 ,得平面 ACD 的一个法向量为 n ? (1,0,?1) , ∴ 点 M 到 平 面

A

C

的D





? ???? ? n ? MC d ? ???? ? 2 .?????????????????8 分 ? 2 MC
( Ⅲ ) 假 设 在 线 段 BC 上 存 在 点 N , 使 得 AN 与 平 面 A C D所 成 角 为

60? .????????9 分
设 BN ? ? BC, 0 ? ? ? 1 ,则 N (2 ? 2? , 2? , 0) , ∴ AN ? (1 ? 2?, 2?, ?1) , 又∵平面 ACD 的法向量 n ? (1,0,?1) 且直线 AN 与平面 ACD 所成角为 60 ,
?

??? ?

??? ?

????

???? ? AN ? n 3 ,?????????????????11 分 ∴ sin 600 ? ???? ? ? 2 AN ?n
可得 8? ? 2? ? 1 ? 0 ,
2

∴? ?

1 1 或? ? ? (舍去) . 4 2

? 综 上 , 在 线 段 BC 上 存 在 点 N , 使 AN 与 平 面 A C D 所 成 角 为 60 , 此 时

BN 1 ? .????13 分 BC 4
解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)由已知条件可得 AB ? AD , AB ? AD ?

2 ,∴ S ?ABD ?

1 AB ? AD ? 1 . 2

由(Ⅰ)知 CD ? 平面ABD ,即 CD 为三棱锥 C-ABD 的高,又 CD=2, ∴ VC ? ABD ?

1 2 CD ? S ?ABD ? , 3 3

又∵点 M 为线段 BC 中点, ∴ 点 M 到 平 面 A C D的 距 离 等 于 点 B 到 平 面 ACD 的 距 离 的

1 ,??????????6 分 2 1 1 1 ∴ VM ? ADC ? VB ? ADC ? VC ? ABD ? , 2 2 3 1 AD ? DC ? 2 , 2 设点 M 到平面 ACD 的距离为 d ,则 1 d ? S?ADC ? 1 ,即 1 ? d ? 2 ? 1 3 3 3 3
∵ CD ? AD ,AD= 2 ,CD=2,∴ S ?ACD ?

解 得 d

=

2 , ∴ 设 点 2

M

到 平 面

ACD 的 距 离 等 于

2 .?????????????8 分 2
(Ⅲ)同解法一. 解法三: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)∵点 M 为线段 BC 中点, ∴ 点 M 到 平 面 A C D 距 离 等 于 点 B 到 平 面 A C D 距 离 的 的 的

1 ,????????????6 分 2
由已知条件可得 AB ? AD ,由(Ⅰ)知 AB ? CD , 又 AD ? CD ? D ,∴ AB ? 平面ACD , ∴点B到平面 ACD 的距离等于线段 AB 的长. ∵

AB ? 2









M







ACD











2 ?????????????????8 分 2
(Ⅲ)同解法一. 18.本小题主要考查频率分布直方表、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查数据 处理能力、运算求解能力以及应用用意识,考查必然与或然思想等.满分 13 分. 解 : ( Ⅰ ) 众 数 为 22.5 微 克 / 立 方 米 , 中 位 数 为 37.5 微 克 / 立 方 米.??????????????4 分

(Ⅱ)去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为

7.5 ? 0.1 ? 22.5 ? 0.3 ? 37.5 ? 0.2 ? 52.5 ? 0.2 ? 67.5 ? 0.1 ? 82.5 ? 0.1 ? 40.5 (微克/立
方米).???????6 分 因为 40.5 ? 35 ,所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准, 故该居民区的环境需要改进.?????????????????8 分 (Ⅲ)记事件 A 表示“一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准” ,则

P ( A) ?

9 .??????9 分 10

随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2.且 ? ? B (2,

9 ). 10

所以 P(? ? k ) ? C2 (
k

9 k 9 ) (1 ? ) 2?k (k ? 0,1, 2) ,????????????????11 分 10 10

所以变量 ? 的分布列为

?
p

0

1

2

1 100

18 100

81 100
?????????????

???12 分

E? ? 0 ?

1 18 81 ? 1? ? 2? ? 1.8 100 100 100







,



E? ? nP ? 2 ?

9 ? 1.8 10

(天). ????????13 分 19.本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理 论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想等.满分 13 分. 解法一: (Ⅰ)由条件可知, 点 P 到两定点 F (1,0), F2 (?1,0) 的距离之和为定值 2 2 , 1 所 以 点

P











F1 (1,0), F2 (?1,0)











圆.????????????????2 分 又a ?

2 , c ? 1 ,所以 b ? 1 ,

x2 ? y 2 ? 1.????????????????4 分 故所求方程为 2
(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) . 由

??? ??? ??? ? ? ? ? OA ? OB ? OC ? 0





x1 ?

x2 0 ?

,? x3

y1 ? y2 ? y3 ? 0 .??????????5 分
(ⅰ)可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? n (k ? 0) ,

代入 x 2 ? 2 y 2 ? 2 并整理得, (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4knx ? 2n2 ? 2 ? 0 ,

4kn 2n , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2n ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 4kn 2n 1 ,? ) , kOC ? ? 从而可得点 C 的坐标为 ( . 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2k 1 ? ? , 所 以 直 线 AB 与 OC 的 斜 率 之 积 为 定 因 为 k A B k O? C 2
依题意, ? ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? 值.???????????8 分 (ⅱ)若 AB ? x 轴时, A(?1,

??? ??? ??? ? ? ? ? 2 2 ), B(?1, ? ) ,由 OA ? OB ? OC ? 0 , 2 2

得点 C (2, 0) ,所以点 C 不在椭圆 ? 上,不合题意. 因此直线 AB 的斜率存在.???????????9 分 由 ( ⅰ ) 可 知 , 当 直 线 AB 过 点 F 时 , 有 n ? k , 点 C 的 坐 标 为 1

4k 2 2k ( ,? ). 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
代入 x 2 ? 2 y 2 ? 2 得,

16k 4 8k 2 ? ? 2 ,即 4k 2 ? 1 ? 2k 2 , 2 2 2 2 (1 ? 2k ) (1 ? 2k )
???????????11 分

所以 k ? ?

2 . 2

(1)当 k ?

1 2 2 时,由(ⅰ)知, k ? kOC ? ? ,从而 kOC ? ? . 2 2 2

故 AB 、 OC 及 x 轴所围成三角形为等腰三角形,其底边长为 1 ,且底边上的高

1 2 2 1 2 2 ,所求等腰三角形的面积 S ? ?1? . ? h? ? ? 2 4 8 2 2 4
(2)当 k ? ?

1 2 2 时,又由(ⅰ)知, k ? kOC ? ? ,从而 kOC ? , 2 2 2

同理可求直线 AB 、 OC 与 x 轴所围成的三角形的面积为

2 . 8

综 合 ( 1 ) 2 ) 直 线 AB 、 OC 与 x 轴 所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为 ( ,

2 .???????13 分 8
解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) . 由

??? ??? ??? ? ? ? ? OA ? OB ? OC ? 0





x1 ?

x2 0 ?

,? x3

y1 ? y2 ? y3 ? 0 .?????????5 分
( ⅰ ) 因 为 点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 在 椭 圆 上 , 所 以 有 : x12 ? 2 y12 ? 2 ,

x22 ? 2 y22 ? 2 ,
两式相减,得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 , 从而有

y1 ? y2 y1 ? y2 1 ? ?? . x1 ? x2 x1 ? x2 2 y3 , x3

又 y1 ? y2 ? ? y3 , kOC ?

? 所 以 k A Bk

O

?? C

1 , 即 直 线 AB 与 OC 的 斜 率 之 积 为 定 2

值.????????????8 分 (ⅱ)同解法一. 20.本题考查三角恒等变化、三角函数的图象与性质、零点与方程的根、数学归纳法等基础 知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊 与一般思想等.满分 14 分. 解:(Ⅰ) g ? x ? ? cos x ? 3 sin x cos x ?
2

1 1 ? cos 2 x 3 1 ? ? sin 2 x ? ???? 2 2 2 2

???2 分

1 3 ?? ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin ? 2 x ? ? ??????????3 分 2 2 6? ?

?h ? x ? ? sin x ,??????????4 分 f ? x ? ? m sin x ? 1.??????????5 分

(Ⅱ)方程 f ( x) ? x 有且只有一个实根. ??????????6 分 理由如下: 由(Ⅰ)知 f ? x ? ? m sin x ? 1,令 F ? x ? ? f ? x ? ? x ? m sin x ? x ?1 , 因为 F ? 0? ? 1 ? 0 ,又因为 0 ? m ?

1 ? 3 ? ?? ? ,所以 F ? ? ? m ? ? 1 ? ? ? 0 . 2 2 2 2 ?2?

所以 F ? x ? ? 0 在 ? 0, 又因为 F
'

? ?

??

? 至少有一个根. ??????????7 分 2?
1 ? 0, 2

? x ? ? m cos x ? 1 ? m ? 1 ? ?

所以函数 F ? x ? 在 R 上单调递减, 所以函数 F ? x ? 在 R 上有且只有一个零点, 即方程 f ? x ? ? x 有且只有一个实根. ??????????9 分 (Ⅲ)因为 a1 ? 0, an?1 ? f ? an ? ? m sin an ? 1, 所以a2 ? 1 ? a1 , 又 a3 ? m sin1 ? 1 ,因为 0 ? 1 ? ? ,所以 0 ? sin1 ? 1 ,所以 a3 ? 1 ? a2 .

2

由此猜测 an ? an?1 (n ? 2) ,即数列 ?an ? 是单调递增数列. ?????????? 11 分 以下用数学归纳法证明: n ? N , 且 n ? 2 时, an ? an?1 ? 0 成立. (1)当 n ? 2 时, a2 ? 1, a1 ? 0 ,显然有 a2 ? a1 ? 0 成立. (2)假设 n ? k ( k ? 2) 时,命题成立,即 ak ? ak ?1 ? 0(k ? 2) .?????????? 12 分 则 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? f ? ak ? ? m sin ak ? 1,

1 1 ? ,所以 ak ? f ? ak ?1 ? ? m sin ak ?1 ? 1 ? m ? 1 ? ? 1 ? . 2 2 2 ? 上单调递增, 0 ? a ? a ? ? , 又 sin x 在 0, k ?1 k 2 2
因为 0 ? m ?

? ?

所以 sin ak ? sin ak ?1 ? 0 ,所以 m sin ak ? 1 ? m sin ak ?1 ? 1 , 即 sin ak ?1 ? m sin ak ?1 ? 1 ? f (ak ?1 ) ? ak ? 0 ,

即 n ? k ? 1 时,命题成立. ??????????13 分 综合(1) ,(2), n ? N , 且 n ? 2 时, an ? an?1 成立. 故数列 ?an ? 为单调递增数列. ??????????14 分 21. (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 (1) 本小题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.潢 分 7 分. 解: (Ⅰ)因为 ? ? 所以 ? ?

?1 ?0

m ?? 1 ? ?1 ? m ? ?? ? ? ? ?, 1 ?? ? 1? ? ? 1 ? ?? ? ? ?

?1 ? m ? ? 0 ? ? ? ? ? ,即 m =1.????????????????3 分 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 1? ?1 1? ?1 ? ,所以 M ?1 ? ? ? 1? ?0 ? 1? ? .?????????????4 1?

(Ⅱ)因为 M ? ? ?0 ? 分

设曲线 y 2 ? x ? y ? 0 上任意一点 ( x , y) 在矩阵 M

?1

所对应的线性变换作用下的像是

( x? , y?) .
由? 所

? x? ? ?1 ? 1?? x ? ? x ? y ? ??? ?? ? ? ? ?, ? y? ? ? 0 1?? y ? ? y ?


?????????????????5 分

y ? x ? ? ?, ? ? y ? y?

x



? x ? x? ? y?, ? ? y ? y?







线

y2 ? x ? y ? 0



y?2 ? x? .?????????6 分
由 ( x , y) 的任意性可知,
2 曲 线 y ?x? y ?0 在 矩 阵 M
?1

对应的线性变换作用下的曲线方程为

y 2 ? x . ??????7 分
(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合 思想.满分 7 分.

4 解: (Ⅰ)由点 M 的极坐标为 ( 2 ,

?
4

) 得点 M 的直角坐标为 ( , 4) , 4

所以直线 OM 的直角坐标方程为 y ? x .????????????????3 分

(Ⅱ)由曲线 C 的参数方程 ?

? x ? 1 ? 2 cos ? , ? ? y ? 2 sin ? ?

(?为参数)

化为普通方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 ,???????????5 分 圆心为 A(1 , 0) , ,半径为 r ?

2.

由于点 M 在曲线 C 外,故点 M 到曲线 C 上的点的距离最小值为

MA ? r ? 5 ? 2 .????7 分
(3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 本小题主要考查绝对不等式、不等式证明等基础知识,考查推理论证能力, 考查化归与 转化思想.满分 7 分. 解: (Ⅰ)由 2a ? b ? 9 得 9 ? b ? 2a ,即 | 6 ? b |? 2 | a | . 所以 9 ? b ? a ? 3 可化为 3 a ? 3 ,即 a ? 1 ,解得 ?1 ? a ? 1 . 所以 a 的取值范围 ?1 ? a ? 1 .????????????????4 分 (Ⅱ)因为 a , b ? 0 , 所以

z ? a 2b ? a ? a ? b ? (

a?a?b 3 2a ? b 3 ) ?( ) ? 33 ? 27 ,?????????????6 分 3 3

当且仅当 a ? b ? 3 时,等号成立. 故 z 的最大值为 27.????????????????7 分


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