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【物理竞赛讲义】第01部分 力&物体的平衡

时间:2010-02-16


第一部分

力&物体的平衡

第一讲 力的处理
一、矢量的运算 1、加法 表达: a + b = c 。 名词: c 为“和矢量” 。 法则:平行四边形法则。如图 1 所示。 和矢量大小:c = 的夹角。 和矢量方向: c 在 a 、 b 之间,和 a 夹角β = arcsin 2、减法 表达: a = c - b 。 名词: c

为“被减数矢量” , b 为“减数矢量” , a 为“差矢量” 。 法则:三角形法则。如图 2 所示。将被减数矢量和减数矢量的起 始端平移到一点,然后连接两时量末端,指向被减数时量的时量,即是 差矢量。 差矢量大小:a =

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? ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos? ,其中α 为 a 和 b

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b sin ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos?

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? ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos? ,其中θ 为 c 和 b 的夹角。

差矢量的方向可以用正弦定理求得。 一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。 例题:已知质点做匀速率圆周运动,半径为 R ,周期为 T ,求它在 大小。 解说:如图 3 所示,A 到 B 点对应 设为 v A 、 v B 和 v C 。 根据加速度的定义 a =

1 1 T 内和在 T 内的平均加速度 4 2

1 1 T 的过程,A 到 C 点对应 T 的过程。这三点的速度矢量分别 4 2

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? ? ? ? vt ? v0 v ? vA ? 得: a AB = B , t t AB

? ? vC ? vA ? a AC = t AC
由于有两处涉及矢量减法,设两个差矢量 ?v 1 = v B -

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1

? ? ? ? ? v A , ?v 2 = v C - v A ,根据三角形法则,它们在图 3 中的大小、方向已绘出( ?v 2 的“三角形”已
被拉伸成一条直线) 。 本题只关心各矢量的大小,显然:

vA = vB = vC =

2 ?R ,且: ?v 1 = T

2 vA =

4 ?R 2 2?R , ?v 2 = 2 v A = T T

所以: a AB =

?v1 t AB

4 ?R 2 2?R ?v 2 8 2?R T = 8 ?R 。 T = = , a AC = = 2 T T T2 t AC T 2 4

(学生活动)观察与思考:这两个加速度是否相等,匀速率圆周运动是不是匀变速运动? 答:否;不是。 3、乘法 矢量的乘法有两种:叉乘和点乘,和代数的乘法有着质的不同。 ⑴ 叉乘 表达: a × b = c 名词: c 称“矢量的叉积” ,它是一个新的矢量。 叉积的大小:c = absinα ,其中α 为 a 和 b 的夹角。意义:

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? ? ? c 的大小对应由 a 和 b 作成的平行四边形的面积。
叉积的方向:垂直 a 和 b 确定的平面,并由右手螺旋定则 确定方向,如图 4 所示。 显然, a × b ≠ b × a ,但有: a × b = - b × a ⑵ 点乘 表达: a · b = c 名词:c 称“矢量的点积” ,它不再是一个矢量,而是一个标量。 点积的大小:c = abcosα ,其中α 为 a 和 b 的夹角。 二、共点力的合成 1、平行四边形法则与矢量表达式 2、一般平行四边形的合力与分力的求法 余弦定理(或分割成 RtΔ )解合力的大小 正弦定理解方向 三、力的分解 1、按效果分解 2、按需要——正交分解

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2

第二讲 物体的平衡
一、共点力平衡 1、特征:质心无加速度。 2、条件:Σ F = 0 ,或 ?Fx = 0 , ?Fy = 0 例题:如图 5 所示,长为 L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂,绳子与水平方向的夹角在图 上已标示,求横杆的重心位置。 解说:直接用三力共点的知识解题,几何关系比 较简单。 答案:距棒的左端 L/4 处。 (学生活动)思考:放在斜面上的均质长方体, 按实际情况分析受力,斜面的支持力会通过长方体的 重心吗? 解:将各处的支持力归纳成一个 N ,则长方体受三个力(G 、f 、N) 必共点,由此推知,N 不可能通过长方体的重心。正确受力情形如图 6 所 示(通常的受力图是将受力物体看成一个点,这时,N 就过重心了) 。 答:不会。 二、转动平衡 1、特征:物体无转动加速度。 2、条件:Σ M = 0 ,或Σ M+ =Σ M如果物体静止,肯定会同时满足两种平衡,因此用两种思路均可解题。 3、非共点力的合成 大小和方向:遵从一条直线矢量合成法则。 作用点:先假定一个等效作用点,然后让所有的平行力对这个作用点的和力矩为零。

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第三讲 习题课
1、如图 7 所示,在固定的、倾角为α 斜面上,有一块可以转动的夹板 (β 不定) ,夹板和斜面夹着一个质量为 m 的光滑均质球体,试求: β 取何值时,夹板对球的弹力最小。 解说:法一,平行四边形动态处理。 对球体进行受力分析,然后对平行四边形中的矢量 G 和 N1 进行平 移,使它们构成一个三角形,如图 8 的左图和中图所示。 由于 G 的大小 和方向均不变,而 N1 的方向不可变, 当 β 增 大 导 致 N2 的方向改变时,N2 的变化和 N1 的方 向变化如图 8 的右 图所示。 显然,随着 β
3

增大,N1 单调减小,而 N2 的大小先减小后增大,当 N2 垂直 N1 时,N2 取极小值,且 N2min = Gsinα 。 法二,函数法。 看图 8 的中间图,对这个三角形用正弦定理,有:

N2 G G sin ? = ,即:N2 = ,β 在 0 到 180°之间取值,N2 的极值讨论是很容易的。 sin ? sin ? sin ?
答案:当β = 90°时,甲板的弹力最小。 2、把一个重为 G 的物体用一个水平推力 F 压在竖直的足够高的墙壁上,F 随时间 t 的变化规律如图 9 所示,则在 t = 0 开始物体所受的摩擦力 f 的变化图线是图 10 中的哪一个?

解说:静力学旨在解决静态问题和准静态过程的问题,但本题是一个例外。物体在竖直方向的运动 先加速后减速,平衡方程不再适用。如何避开牛顿第二定律,是本题授课时的难点。 静力学的知识,本题在于区分两种摩擦的不同判据。 水平方向合力为零,得:支持力 N 持续增大。 物体在运动时,滑动摩擦力 f = μ N ,必持续增大。但物体在静 止后静摩擦力 f′≡ G ,与 N 没有关系。 对运动过程加以分析,物体必有加速和减速两个过程。据物理常 识,加速时,f < G ,而在减速时 f > G 。 答案:B 。 3、如图 11 所示,一个重量为 G 的小球套在竖直放置的、半径为 R 的 光滑大环上, 另一轻质弹簧的劲度系数为 k ,自由长度为 L (L<2R) , 一端固定在大圆环的顶点 A ,另一端与小球相连。环静止平衡时位于 大环上的 B 点。试求弹簧与竖直方向的夹角θ 。 解说:平行四边形的三个矢量总是可以平移到一个三角形中去讨 论,解三角形的典型思路有三种:①分割成直角三角形(或本来就是 直角三角形) ;②利用正、余弦定理;③利用力学矢量三角形和某空 间位置三角形相似。本题旨在贯彻第三种思路。 分析小球受力→矢量平移,如图 12 所示,其中 F 表示弹簧弹力,N 表示大环的支持力。 (学生活动)思考:支持力 N 可不可以沿图 12 中的反方向? (正交分解看水平方向平衡——不可以。 ) 容易判断,图中的灰色矢量三角形和空间位置三角形Δ AOB 是 相似的,所以:

F AB ? G R
由胡克定律:F = k( AB - R)





4

几何关系: AB = 2Rcosθ 解以上三式即可。 答案:arccos



kL 。 2(kR ? G )

(学生活动)思考:若将弹簧换成劲度系数 k′较大的弹 簧, 其它条件不变, 则弹簧弹力怎么变?环的支持力怎么变? 答:变小;不变。 (学生活动)反馈练习:光滑半球固定在水平面上,球 心 O 的正上方有一定滑轮,一根轻绳跨过滑轮将一小球从图 13 所示的 A 位置开始缓慢拉至 B 位置。 试判断: 在此过程中, 绳子的拉力 T 和球面支持力 N 怎样变化? 解:和上题完全相同。 答:T 变小,N 不变。 4、如图 14 所示,一个半径为 R 的非均质圆球,其重心不在球心 O 点,先将它置于水平地面上,平衡时 球面上的 A 点和地面接触; 再将它置于倾角为 30°的粗糙斜面上, 平衡 时球面上的 B 点与斜面接触, 已知 A 到 B 的圆心角也为 30°。 试求球体 的重心 C 到球心 O 的距离。 解说:练习三力共点的应用。 根据在平面上的平衡, 可知重心 C 在 OA 连线上。 根据在斜面上的平 衡,支持力、重力和静摩擦力共点,可以画出重心的具体位置。几何计 算比较简单。 答案:

3 R 。 3

(学生活动)反馈练习:静摩擦足够,将长为 a 、厚为 b 的砖块码 在倾角为θ的斜面上,最多能码多少块? 解:三力共点知识应用。 答:

a ctg ? 。 b

4、两根等长的细线,一端拴在同一悬点 O 上,另一端各系一个小球,两球的质量分别为 m1 和 m2 ,已知 两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角 度,分别为 45 和 30°,如图 15 所示。则 m1 : m2 为多少? 解说:本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学问题。 对两球进行受力分析,并进行矢量平移,如图 16 所示。

首先注意,图 16 中的灰色三角形是等腰 三角形,两底角相等,设为α 。 而且,两球相互作用的斥力方向相反,
5

大小相等,可用同一字母表示,设为 F 。 对左边的矢量三角形用正弦定理,有:

m 1g F = sin 45? sin ?



同理,对右边的矢量三角形,有: 解①②两式即可。 答案:1 : 2 。

m 2g F = sin 30? sin ?



(学生活动)思考:解本题是否还有其它的方法? 答:有——将模型看成用轻杆连成的两小球,而将 O 点看成转轴,两球的重力对 O 的力矩必然是平 衡的。这种方法更直接、简便。 应用:若原题中绳长不等,而是 l1 :l2 = 3 :2 ,其它条件不变,m1 与 m2 的比值又将是多少? 解:此时用共点力平衡更加复杂(多一个正弦定理方程) ,而用力矩平衡则几乎和“思考”完全相同。 答:2 :3 2 。 5、如图 17 所示,一个半径为 R 的均质金属球上固定着一根长为 L 的轻质细杆,细杆的左端用铰链与墙 壁相连,球下边垫上一块木板后,细杆恰好水平,而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之间 有摩擦(已知摩擦因素为μ ) ,所以要将木板从球下面向右抽出时,至少需要大小为 F 的水平拉力。试 问:现要将木板继续向左插进一些,至少需要多大的水平推力? 解说:这是一个典型的力矩平衡的例题。 以球和杆为对象,研究其对转轴 O 的转动平衡, 设木板拉出时给球体的摩擦力为 f ,支持力为 N , 重力为 G ,力矩平衡方程为: f R + N(R + L)= G(R + L) ① 球和板已相对滑动,故:f = μ N ② 解①②可得:f =

?G (R ? L) R ? L ? ?R

再看木板的平衡,F = f 。 同理,木板插进去时,球体和木板之间的摩擦 f′=

?G (R ? L) = F′。 R ? L ? ?R

答案:

R ? L ? ?R F 。 R ? L ? ?R

第四讲 摩擦角及其它
一、摩擦角 1、全反力:接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称全反力,一般用 R 表示,亦称接触反力。 2、摩擦角:全反力与支持力的最大夹角称摩擦角,一般用φ m 表示。
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此时,要么物体已经滑动,必有:φ m = arctgμ (μ 为动摩擦因素) ,称动摩擦力角;要么物体达 到最大运动趋势,必有:φ ms = arctgμ s(μ s 为静摩擦因素) ,称静摩擦角。通常处理为φ m = φ ms 。 3、引入全反力和摩擦角的意义:使分析处理物体受力时更方便、更简捷。 二、隔离法与整体法 1、隔离法:当物体对象有两个或两个以上时,有必要各个击破,逐个讲每个个体隔离开来分析处理, 称隔离法。 在处理各隔离方程之间的联系时,应注意相互作用力的大小和方向关系。 2、整体法:当各个体均处于平衡状态时,我们可以不顾个体的差异而讲多个对象看成一个整体进行 分析处理,称整体法。 应用整体法时应注意“系统” 、 “内力”和“外力”的涵义。 三、应用 1、物体放在水平面上,用与水平方向成 30°的力拉物体时,物体匀速前进。若此力大小不变,改为 沿水平方向拉物体,物体仍能匀速前进,求物体与水平面之间的动摩擦因素μ 。 解说:这是一个能显示摩擦角解题优越性的题目。可以通过不同解法的比较让学生留下深刻印象。 法一,正交分解。 (学生分析受力→列方程→ 得结果。 ) 法二,用摩擦角解题。 引进全反力 R ,对物体两个平衡状态进行受 力分析,再进行矢量平移,得到图 18 中的左图和 中间图(注意:重力 G 是不变的,而全反力 R 的 方向不变、F 的大小不变) ,φ m 指摩擦角。 再将两图重叠成图 18 的右图。由于灰色的三 角形是一个顶角为 30°的等腰三角形,其顶角的 角平分线必垂直底边??故有:φ m = 15°。 最后,μ = tgφ m 。 答案:0.268 。 (学生活动)思考:如果 F 的大小是可以选择的,那么能维持物体匀速前进的最小 F 值是多少? 解:见图 18,右图中虚线的长度即 Fmin ,所以,Fmin = Gsinφ m 。 答:Gsin15°(其中 G 为物体的重量) 。 2、如图 19 所示,质量 m = 5kg 的物体置于一粗糙斜面上,并用一平行斜面的、大小 F = 30N 的推 力推物体,使物体能够沿斜面向上匀速运动,而斜面体始终静止。已知斜面的质量 M = 10kg ,倾角为 2 30°,重力加速度 g = 10m/s ,求地面对斜面体的摩擦力大小。 解说:本题旨在显示整体法的解题的优越性。 法一,隔离法。简要介绍?? 法二,整体法。注意,滑块和斜面随有相对运动,但 从平衡的角度看, 它们是完全等价的, 可以看成一个整体。 做整体的受力分析时,内力不加考虑。受力分析比较 简单,列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。 答案:26.0N 。 (学生活动)地面给斜面体的支持力是多少? 解:略。 答:135N 。 应用:如图 20 所示,一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上,斜面的倾角为θ 。另一质量 为 m 的滑块恰好能沿斜面匀速下滑。若用一推力 F 作用在滑块上,使之能沿斜面匀速上滑,且要求斜面

7

体静止不动,就必须施加一个大小为 P = 4mgsinθ cosθ 的水平推力作用于斜面体。使满足题意的这个 F 的大小和方向。 解说:这是一道难度较大的静力学题,可以动用一切可能的工具解题。 法一:隔离法。 由第一个物理情景易得,斜面于滑块的摩擦因素μ = tgθ 对第二个物理情景,分别隔离滑块和斜面体分析受力,并 将 F 沿斜面、垂直斜面分解成 Fx 和 Fy ,滑块与斜面之间的两 对相互作用力只用两个字母表示(N 表示正压力和弹力,f 表 示摩擦力) ,如图 21 所示。 对滑块, 我们可以考查沿斜面方向和垂直斜 面方向的平衡—— Fx = f + mgsinθ Fy + mgcosθ = N 且 f = μ N = Ntgθ 综合以上三式得到: Fx = Fytgθ + 2mgsinθ ① 对斜面体,只看水平方向平衡就行了—— P = fcosθ + Nsinθ 即:4mgsinθ cosθ =μ Ncosθ + Nsinθ 代入μ 值,化简得:Fy = mgcosθ ② ②代入①可得:Fx = 3mgsinθ 最后由 F = Fx ? Fy 解 F 的大小,由 tgα =
2 2

Fy Fx

解 F 的方向(设α 为 F 和斜面的夹角) 。

答案:大小为 F = mg 1 ? 8 sin 2 ? ,方向和斜面夹角α = arctg( ctg ? )指向斜面内部。 法二:引入摩擦角和整体法观念。 仍然沿用“法一”中关于 F 的方向设置(见图 21 中的α 角) 。 先看整体的水平方向平衡,有:Fcos(θ - α ) = P ⑴ 再隔离滑块,分析受力时引进全反力 R 和摩擦角φ ,由于简化后只有三个力(R、mg 和 F) ,可以将 矢量平移后构成一个三角形,如图 22 所示。

1 3

8

在图 22 右边的矢量三角形中,有: 注意:φ = arctgμ = arctg(tgθ ) = θ 解⑴⑵⑶式可得 F 和α 的值。

F mg mg = = sin(? ? ?) sin ?90? ? (? ? ?)? cos(? ? ?)

⑵ ⑶

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