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2014年高三数学(理科)试卷(3)


2014 年高三数学(理科)试卷(3)
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷 考生注意: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ,并贴好条形码.请认真核准条 形码上的准考证号、姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.本卷共 1

2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( ) A. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

B. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

C. ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1
2 2

D. x ? ( y ? 3) ? 1
2 2

2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( A. “若一个数是负数,则它的平方不是正数” B. “若一个数的平方是正数,则它是负数” C. “若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D. “若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 3. ( x ? 2) 的展开式中 x 3 的系数是(
6



)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C.80 D.160

A.20 4. 函数 y ?

B.40

e x ? e? x 的图像大致为( e x ? e? x
y 1 O 1 x 1 O1 y

). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m y y

1 x O 1 x O

1 1 D x

A

B

C

5.在 R 上定义运算⊙: a ⊙ b ? ab ? 2a ? b ,则满足 x ⊙ ( x ? 2) <0 的实数 x 的取值范围为 ( ). A.(0,2) B.(-2,1) C. (??,?2) ? (1,??) D.(-1,2) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6. 定

-1-

义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? A.-1 B. -2

x?0 ?log 2 (4 ? x), ,则 f(3)的值为( ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
C.1 D. 2
2

)

7.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:c m )为 (A)48+12 2 (B)48+24 2 (C)36+12 2 (D)36+24 2

8 已 知 O , N , P 在 ?ABC 所 在 平 面 内 , 且 OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 , 且

PA? PB? PB? PC? PC PA ? ,则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的
(A)重心 外心 垂心 (C)外心 重心 垂心 (B)重心 外心 内心 (D)外心 重心 内心

9.若函数 y ? f ( x) 的导函数在区间 [a, b] 上是增函数, ... 则函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象可能是 y y y y

o

a

b x A .

o

a

b x B.

o

a

o b x C.

a

b x D.

10.设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义,对于给定的正数 K,定义函数

? f ( x ) ,f x( ?) K , 1 ?x f K ( x) ? ? 取函数 f ( x) ? 2 。当 K = 时,函数 f K ( x) 的单调递增区间为 2 ? K , f ( x) ? K .
A . (??,0) B. (0, ??) C . (??, ?1) D . (1, ??)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案写在答题卡相应位置上. 11 .某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项 运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12.若 x ? 0 ,则 x ? 13.在 (1 ? .

2 的最小值为 x

. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (用数字作答).

x )4 的展开式中, x 的系数为

14. 已知函数 y=sin ? x+ ? ) ? >0, - ? ? ? < ? ) ( ( 的图像如图所示, 则

? =________________

-2-

15.等差数列{ an }前 n 项和为 S n 。已知 am?1 + am?1 - a 2 m =0, S 2 m ?1 =38,则 m=_______

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos

A 2 5 , ? 2 5

??? ???? ? AB ? AC ? 3 .

(I)求 ?ABC 的面积;

(II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

17.在 1, 2, 3,? , 9 这 9 个自然数中,任取 3 个数. (I)求这 3 个数中恰有 1 个是偶数的概率; (II)设 ? 为这 3 个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为 1, 2,3 ,则有两组相邻的数 2 .求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E? . 1, 2 和 2,3 ,此时 ? 的值是 2 ) 0 0 9 0 4 2 3 18. 如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1) 设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 证明:平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. 2 0 0 9 0 4 2 -33 A1 D1 C1 B1 D E A F B

E1

C

19. (本小题满分 12 分) 袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现一次有放回地随机摸取 3 次,每次摸取一 个球 (I)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅱ)若摸到红球时得 2 分,摸到黑球时得 1 分,求 3 次摸球所得总分为 5 的概率。

20. 等比数列{ an }的前 n 项和为 S n , 已知对任意的 n ? N ?

,点 (n , Sn ) ,均在函数

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn

21.设函数 f ? x ? ? x ? aIn ?1 ? x ? 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? x2
2

(I)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; (II)证明: f ? x2 ? ?

1 ? 2 In2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4

-4-

参考答案
一、选择题 1——5 A 二、填空题 11. 12 12.2 根号 2 13. 6 14. B A D B. 6—10 B. A C A C

9? 10

15. 10

三、解答题 16.解析: (I)因为 cos

??? ???? ? A 2 5 A 3 4 ,? cos A ? 2cos 2 ? 1 ? ,sin A ? ,又由 AB ? AC ? 3 , ? 2 5 2 5 5
1 bc sin A ? 2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2

得 bc cos A ? 3, ?bc ? 5 ,? S?ABC ?

( II ) 对 于 bc ? 5 , 又 b ? c ? 6 , ?b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 , 由 余 弦 定 理 得

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 20 ,? a ? 2 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
17.解析: (I)记“这 3 个数恰有一个是偶数”为事件 A,则 P( A) ? (II)随机变量 ? 的取值为 0,1, 2, ? 的分布列为
1 C4C5 2 10 ? ; 3 C9 21

?
P

0

1

2

5 12

1 2

1 12

所以 ? 的数学期望为 E? ? 0 ?

5 1 1 2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ? 1? ? 2 ? ? 12 2 12 3

18.证明:(1)在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,取 A1B1 的中点 F1, 连接 A1D,C1F1,CF1,因为 AB=4, CD=2,且 AB//CD, // 所以 CD = A1F1,A1F1CD 为平行四边形,所以 CF1//A1D, 又因为 E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点,所以 EE1//A1D, 所以 CF1//EE1,又因为 EE1 ? 平面 FCC 1 , CF1 ? 平面 FCC 1 , 所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 . (2)连接 AC,在直棱柱中,CC1⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD, 所以 CC1⊥AC,因为底面 ABCD 为等腰梯形,AB=4, BC=2, F 是棱 AB 的中点,所以 CF=CB=BF,△BCF 为正三角形,
-5-

D1 A1 F1 E1 E A D1 A1 F D

C1 B1

C B C1 B1 D

E1 E A

C F B

?BCF ? 60? ,△ACF 为等腰三角形,且 ?ACF ? 30?
所以 AC⊥BC, 又因为 BC 与 CC1 都在平面 BB1C1C 内且交于点 C, 所以 AC⊥平面 BB1C1C,而 AC ? 平面 D1AC, 所以平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. 19 解: (I)一共有 8 种不同的结果,列举如下: (红、红、红、、 )(红、红、黑)(红、黑、红)(红、黑、黑)(黑、红、红)(黑、 、 、 、 、 红、黑)(黑、黑、红)(黑、黑、黑) 、 、 (Ⅱ)记“3 次摸球所得总分为 5”为事件 A 事件 A 包含的基本事件为: (红、红、黑)(红、黑、红)(黑、红、红)事件 A 、 、 包含的基本事件数为 3 由(I)可知,基本事件总数为 8,所以事件 A 的概率为 P( A) ?
x

3 8

20.解:因为对任意的 n ? N ? ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图 像上.所以得 S n ? b n ? r , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? b n ? r ? (b n ?1 ? r ) ? b n ? b n ?1 ? (b ? 1)b n ?1 , 又因为{ an }为等比数列, 所以 r ? ?1 , 公比为 b , (2)当 b=2 时, an ? (b ? 1)b n ?1 ? 2n ?1 , 则 Tn ? 所以 an ? (b ? 1)b n ?1

bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 Tn ? ? 4 ? 5 ? ? ? n?1 ? n? 2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n ?1 相减,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? (1 ? n ?1 ) 1 23 n ?1 3 1 n ?1 2 ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 1 4 2 2 2 2 1? 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以 Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2
21.解: (I) f ? ? x ? ? 2 x ?
2

a 2x2 ? 2x ? a ? ( x ? ?1) 1? x 1? x
1 。由题意知 x1、x2 是方程 g ( x ) ? 0 的两个 2

令 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? a ,其对称轴为 x ? ?

-6-

均大于 ?1 的不相等的实根,其充要条件为 ?

? ? ? 4 ? 8a ? 0 1 ,得 0 ? a ? 2 ? g (?1) ? a ? 0

⑴当 x ? (?1, x1 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 (?1, x1 ) 内为增函数; ⑵当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x1 , x2 ) 内为减函数; ⑶当 x ? ( x2, ? ?) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x2, ? ?) 内为增函数; (II)由(I) g (0) ? a ? 0,??

1 ? x2 ? 0 , a ? ?(2 x 2 2 +2x2 ) 2

? f ? x2 ? ? x2 2 ? aln ?1 ? x2 ? ? x2 2 ? (2 x 2 2 +2x2 )ln ?1 ? x2 ?
设 h ? x ? ? x 2 ? (2 x 2 ? 2 x)ln ?1 ? x ? ( x ? ? ) , 则 h? ? x ? ? 2 x ? 2(2 x ? 1)ln ?1 ? x ? ? 2 x ? ?2(2 x ? 1)ln ?1 ? x ? ⑴当 x ? (?

1 2

1 1 , 0) 时, h? ? x ? ? 0,? h( x) 在 [? , 0) 单调递增; 2 2

⑵当 x ? (0, ??) 时, h? ? x ? ? 0 , h( x ) 在 (0, ??) 单调递减。

1 1 1 ? 2ln 2 ?当x ? (? , 0)时, h ? x ? ? h(? ) ? 2 2 4 1 ? 2 In2 故 f ? x2 ? ? h( x2 ) ? .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4

-7-


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